የእኩልታዎች ስርዓት. ከምሳሌዎች ጋር (2019) ዝርዝር ንድፈ ሐሳብ። በሁለት ተለዋዋጮች ውስጥ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎች

በሁለት ያልታወቁ ነገሮች ውስጥ የመስመራዊ እኩልታ ጽንሰ-ሀሳብን አስቀድመን እናውቀዋለን። እኩልታዎች በአንድ ችግር ውስጥ በግል ወይም በአንድ ጊዜ ብዙ እኩልታዎች ሊኖሩ ይችላሉ። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, እኩልታዎች ወደ እኩልታዎች ስርዓት ይጣመራሉ.

የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምንድነው?

የእኩልታዎች ስርዓት- እነዚህ ሁሉንም የጋራ መፍትሔዎቻቸውን ለማግኘት አስፈላጊ የሆኑ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልታዎች ናቸው. ብዙውን ጊዜ, የእኩልታዎችን ስርዓት ለመጻፍ, በአምድ ውስጥ የተፃፉ እና አንድ የተለመደ ጥምዝ ቅንፍ ይሳሉ. የስርዓት ቀረጻ መስመራዊ እኩልታዎችከዚህ በታች ቀርቧል.

( 4x + 3ይ = 6
( 2x + y = 4

ይህ ግቤት ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር የሁለት እኩልታዎች ስርዓት ተሰጥቷል ማለት ነው። በስርአቱ ውስጥ ሶስት እኩልታዎች ቢኖሩ ኖሮ እኛ የምንናገረው ስለ ሶስት እኩልታዎች ስርዓት ነው። እና ስለዚህ ለማንኛውም የእኩልታዎች ብዛት።

በስርአት ውስጥ ያሉት ሁሉም እኩልታዎች መስመራዊ ከሆኑ እኛ የምንለው የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ተሰጥቷል። ከላይ ባለው ምሳሌ የሁለት መስመር እኩልታዎች ስርዓት ቀርቧል። ከላይ እንደተገለፀው ስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄዎች ሊኖሩት ይችላል. ከዚህ በታች ስለ "አጠቃላይ መፍትሄ" የሚለውን ቃል እንነጋገራለን.

መፍትሄው ምንድን ነው?

ሁለት የማይታወቁ የሁለት እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ጥንድ ቁጥሮች (x,y) ነው, እነዚህን ቁጥሮች ወደ ስርዓቱ እኩልታዎች ከተተካ, እያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልታዎች ወደ እውነተኛ እኩልነት ይቀየራሉ.

ለምሳሌ፣ የሁለት መስመር እኩልታዎች ስርዓት አለን። ለመጀመሪያው እኩልታ መፍትሄው ይህንን እኩልነት የሚያሟሉ ሁሉም ጥንድ ቁጥሮች ይሆናሉ.

ለሁለተኛው እኩልታ, መፍትሄው ይህንን እኩልነት የሚያሟሉ ጥንድ ቁጥሮች ይሆናሉ. የመጀመሪያዎቹን እና የሁለተኛውን እኩልታዎች የሚያረኩ ጥንድ ቁጥሮች ካሉ, እነዚህ ጥንድ ቁጥሮች በሁለት የማይታወቁ ሁለት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይሆናሉ.

ግራፊክ መፍትሄ

በሥዕላዊ መግለጫው ፣ ለአንድ መስመራዊ እኩልታ መፍትሄው በአውሮፕላኑ ላይ ያሉ የአንድ የተወሰነ መስመር ነጥቦች ናቸው።

ለመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት, በርካታ ቀጥታ መስመሮች ይኖረናል (እንደ እኩልታዎች ብዛት). እና የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ሁሉም መስመሮች የሚገናኙበት ነጥብ ይሆናል. እንደዚህ አይነት ነጥብ ከሌለ ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች አይኖረውም. ሁሉም መስመሮች እርስ በርስ የሚገናኙበት ነጥብ የእያንዳንዳቸው መስመሮች ናቸው, ስለዚህ መፍትሄው አጠቃላይ ይባላል.

በነገራችን ላይ የስርአቱን እኩልታዎች ግራፍ ማቀድ እና የጋራ ነጥባቸውን ማግኘት የእኩልታዎች ስርዓትን ለመፍታት አንዱ መንገድ ነው። ይህ ዘዴግራፊክ ተብሎ ይጠራል.

መስመራዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ሌሎች መንገዶች

የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶች በሁለት ተለዋዋጮች ለመፍታት ሌሎች መንገዶች አሉ። የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶች ከሁለት የማይታወቁ ጋር ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች።

የእርስዎን ግላዊነት መጠበቅ ለእኛ አስፈላጊ ነው። በዚህ ምክንያት፣ የእርስዎን መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም እና እንደምናከማች የሚገልጽ የግላዊነት ፖሊሲ አዘጋጅተናል። እባኮትን የግላዊነት ተግባሮቻችንን ይከልሱ እና ማንኛውም አይነት ጥያቄ ካለዎት ያሳውቁን።

የግል መረጃ መሰብሰብ እና መጠቀም

የግል መረጃ አንድን የተወሰነ ሰው ለመለየት ወይም ለመገናኘት የሚያገለግል ውሂብን ያመለክታል።

እኛን በሚያገኙበት በማንኛውም ጊዜ የግል መረጃዎን እንዲያቀርቡ ሊጠየቁ ይችላሉ።

ከዚህ በታች ልንሰበስበው የምንችላቸው የግል መረጃ ዓይነቶች እና እንደዚህ ያለውን መረጃ እንዴት መጠቀም እንደምንችል አንዳንድ ምሳሌዎች አሉ።

ምን ዓይነት የግል መረጃ እንሰበስባለን

• በጣቢያው ላይ ጥያቄ ሲያስገቡ ልንሰበስብ እንችላለን የተለያዩ መረጃዎችስምህን፣ ስልክ ቁጥርህን፣ አድራሻህን ጨምሮ ኢሜይልወዘተ.

የእርስዎን የግል መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም፡-

• የምንሰበስበው የግል መረጃ በልዩ ቅናሾች፣ ማስተዋወቂያዎች እና ሌሎች ዝግጅቶች እና መጪ ክስተቶች እንድናገኝዎት ያስችሎታል።
• ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ አስፈላጊ ማስታወቂያዎችን እና ግንኙነቶችን ለመላክ የእርስዎን የግል መረጃ ልንጠቀም እንችላለን።
• የምንሰጣቸውን አገልግሎቶች ለማሻሻል እና አገልግሎታችንን በተመለከተ ምክሮችን ለመስጠት የግል መረጃን ለውስጣዊ ዓላማዎች ለምሳሌ ኦዲት ማድረግ፣ የመረጃ ትንተና እና የተለያዩ ጥናቶችን ልንጠቀም እንችላለን።
• በሽልማት እጣ፣ ውድድር ወይም ተመሳሳይ ማስተዋወቂያ ላይ ከተሳተፉ፣ ያቀረቡትን መረጃ መሰል ፕሮግራሞችን ለማስተዳደር ልንጠቀምበት እንችላለን።

ለሶስተኛ ወገኖች መረጃን ይፋ ማድረግ

ከእርስዎ የተቀበለውን መረጃ ለሶስተኛ ወገኖች አንገልጽም.

ልዩ ሁኔታዎች፡-

• አስፈላጊ ከሆነ - በህግ, በፍትህ ሂደት, በህግ ሂደቶች እና / ወይም በሩሲያ ፌዴሬሽን ግዛት ውስጥ ባሉ የመንግስት ባለስልጣናት የህዝብ ጥያቄዎች ወይም ጥያቄዎች ላይ - የግል መረጃዎን ይፋ ለማድረግ. እንዲህ ዓይነቱን ይፋ ማድረግ ለደህንነት፣ ለህግ አስከባሪ ወይም ለሌሎች የህዝብ ጠቀሜታ ዓላማዎች አስፈላጊ ወይም ተገቢ መሆኑን ከወሰንን ስለእርስዎ መረጃ ልንሰጥ እንችላለን።
• መልሶ ማደራጀት፣ ውህደት ወይም ሽያጭ በሚፈጠርበት ጊዜ የምንሰበስበውን ግላዊ መረጃ ለሚመለከተው ተተኪ ሶስተኛ አካል ልናስተላልፈው እንችላለን።

የግል መረጃ ጥበቃ

የእርስዎን ግላዊ መረጃ ከመጥፋት፣ ስርቆት እና አላግባብ መጠቀም፣ እንዲሁም ያልተፈቀደ መዳረሻ፣ ይፋ ከማድረግ፣ ከመቀየር እና ከመበላሸት ለመጠበቅ አስተዳደራዊ፣ ቴክኒካል እና አካላዊ ጨምሮ ጥንቃቄዎችን እናደርጋለን።

በኩባንያ ደረጃ የእርስዎን ግላዊነት በማክበር ላይ

የግል መረጃዎ ደህንነቱ የተጠበቀ መሆኑን ለማረጋገጥ፣ የግላዊነት እና የደህንነት ደረጃዎችን ለሰራተኞቻችን እናስተላልፋለን እና የግላዊነት ልማዶችን በጥብቅ እናስፈጽማለን።

1. የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት.
2. ስርዓቱን በጊዜ-ጊዜ መደመር (መቀነስ) የስርዓት እኩልታዎችን መፍታት.

የእኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት በመተካት ዘዴቀላል ስልተ ቀመር መከተል ያስፈልግዎታል:
1. ይግለጹ. ከማንኛውም እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ እንገልፃለን.
2. ምትክ. ከተገለፀው ተለዋዋጭ ይልቅ የተገኘውን እሴት ወደ ሌላ እኩልነት እንተካለን።
3. የተገኘውን እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ይፍቱ. ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን.

ለመወሰን ስርዓት በጊዜ-ጊዜ መደመር (መቀነስ) ዘዴያስፈልገዋል፡-
1. ተመሳሳይ ውህዶች የምንሰራበትን ተለዋዋጭ ይምረጡ።
2. እኩልታዎችን እንጨምራለን ወይም እንቀንሳለን, ይህም ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩል ይሆናል.
3. የተገኘውን መስመራዊ እኩልታ ይፍቱ። ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን.

የስርዓቱ መፍትሄ የተግባር ግራፎች መገናኛ ነጥቦች ናቸው.

ምሳሌዎችን በመጠቀም የስርዓቶችን መፍትሄ በዝርዝር እንመልከት.

ምሳሌ #1፡

በመተካት ዘዴ እንፍታ

2x+5y=1 (1 እኩልታ)
x-10y=3 (2ኛ እኩልታ)

1. ይግለጹ
በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ ተለዋዋጭ x ከ 1 ኮፊሸን ጋር መኖሩን ማየት ይቻላል, ይህም ማለት ተለዋዋጭ xን ከሁለተኛው እኩልታ ለመግለጽ በጣም ቀላል ነው.
x=3+10ይ

2. ከገለፅን በኋላ በተለዋዋጭ x ምትክ 3+10y ወደ መጀመሪያው እኩልታ እንተካለን።
2(3+10ይ)+5ይ=1

3. የተገኘውን እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ይፍቱ.
2(3+10ይ)+5y=1 (ቅንፍ ክፈት)
6+20ይ+5ይ=1
25ይ=1-6
25ይ=-5 |: (25)
y=-5፡25
y= -0.2

የእኩልታ ስርዓቱ መፍትሄው የግራፎቹ መገናኛ ነጥብ ነው፣ስለዚህ x እና y ን ማግኘት አለብን፣ ምክንያቱም የመገናኛ ነጥቡ x እና yን ያቀፈ ነው ፣በገለፅንበት የመጀመሪያ ነጥብ yን እንተካለን።
x=3+10ይ
x=3+10*(-0.2)=1

በመጀመሪያ ነጥቦችን መፃፍ የተለመደ ነው ተለዋዋጭ x እንጽፋለን, በሁለተኛው ቦታ ደግሞ ተለዋዋጭ y.
መልስ፡ (1; -0.2)

ምሳሌ #2፡

ቃል-በ-ጊዜ መደመር (መቀነስ) ዘዴን በመጠቀም እንፍታው።

3x-2y=1 (1 እኩልታ)
2x-3y=-10 (2ኛ እኩልታ)

1. ተለዋዋጭ እንመርጣለን, x እንመርጣለን እንበል. በመጀመሪያው እኩልዮሽ ውስጥ, ተለዋዋጭ x የ 3 ኮፊሸን አለው, በሁለተኛው ውስጥ - 2. ጥራቶቹን አንድ አይነት ማድረግ አለብን, ለዚህም እኩልታዎችን ለማባዛት ወይም በማንኛውም ቁጥር ለመከፋፈል መብት አለን. የመጀመሪያውን እኩልታ በ 2 ፣ እና ሁለተኛው በ 3 እናባዛለን እና አጠቃላይ ድምር 6 እናገኛለን።

3x-2ይ=1 |*2
6x-4y=2

2x-3ይ=-10 |*3
6x-9y=-30

2. ተለዋዋጭ xን ለማስወገድ ሁለተኛውን ከመጀመሪያው እኩል ቀንስ።
__6x-4y=2

5ይ=32 | :5
y=6.4

3. x ፈልግ. የተገኘውን y ወደ ማናቸውም እኩልታዎች እንተካለን, ወደ መጀመሪያው እኩልነት እንበል.
3x-2ይ=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

የመገናኛ ነጥብ x=4.6 ይሆናል; y=6.4
መልስ፡- (4.6፤ 6.4)

ለፈተናዎች በነጻ መዘጋጀት ይፈልጋሉ? አስተማሪ በመስመር ላይ በነጻ. ቀልድ የለም።

መመሪያዎች

የመደመር ዘዴ.
እርስ በእርስ በጥብቅ ሁለት መፃፍ ያስፈልግዎታል

549+45y+4y=-7፣ 45y+4y=549-7፣ 49y=542፣ y=542:49፣ y≈11።
በዘፈቀደ በተመረጠው (ከስርአቱ) እኩልታ፣ አስቀድሞ ከተገኘው “ጨዋታ” ይልቅ ቁጥር 11 አስገባ እና ሁለተኛው ያልታወቀውን አስላ።

X=61+5*11፣ x=61+55፣ x=116
የዚህ የእኩልታዎች ስርዓት መልሱ x=116፣ y=11 ነው።

የግራፊክ ዘዴ.
በመስመሮቹ በሒሳብ የተፃፉበትን የነጥብ መጋጠሚያዎች በተግባራዊ ሁኔታ ማግኘትን ያካትታል። የሁለቱም መስመሮች ግራፎች በተመሳሳዩ የማስተባበር ስርዓት ውስጥ በተናጠል መሳል አለባቸው. አጠቃላይ እይታ፡ – y=khx+b ቀጥ ያለ መስመርን ለመሥራት የሁለት ነጥቦችን መጋጠሚያዎች ማግኘት በቂ ነው, እና x በዘፈቀደ ይመረጣል.
ስርዓቱ ይስጥ፡ 2x – y=4

Y=-3x+1
የመጀመሪያውን በመጠቀም ቀጥተኛ መስመር ተሠርቷል, ለመመቻቸት y=2x-4 መፃፍ አለበት. ለ x (ቀላል) እሴቶችን ይዘው ይምጡ፣ ወደ ቀመር በመተካት፣ መፍታት እና yን ያግኙ። ቀጥ ያለ መስመር የሚሠራበት ሁለት ነጥቦችን እናገኛለን. (ሥዕሉን ይመልከቱ)
x 0 1

y -4 -2
ቀጥ ያለ መስመር የሚሠራው ሁለተኛውን እኩልታ በመጠቀም ነው: y=-3x+1.
እንዲሁም ቀጥተኛ መስመር ይገንቡ. (ሥዕሉን ይመልከቱ)

y 1 -5
በግራፉ ላይ ሁለት የተገነቡ የመስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ (መስመሮቹ የማይገናኙ ከሆነ, የእኩልታዎች ስርዓት ከሌለው - ስለዚህ).

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

ጠቃሚ ምክር

ተመሳሳይ የእኩልታዎች ስርዓት በሶስት ከተፈታ በተለያዩ መንገዶች, መልሱ ተመሳሳይ ይሆናል (መፍትሄው ትክክል ከሆነ).

ምንጮች፡-

• 8ኛ ክፍል አልጀብራ
• በመስመር ላይ ከሁለት የማይታወቁ ጋር እኩልታ መፍታት
• የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ከሁለት ጋር የመፍታት ምሳሌዎች

ስርዓት እኩልታዎችየሒሳብ መዝገቦች ስብስብ ነው፣ እያንዳንዱም በርካታ ተለዋዋጮች አሉት። እነሱን ለመፍታት በርካታ መንገዶች አሉ.

ያስፈልግዎታል

• - ገዥ እና እርሳስ;
• - ካልኩሌተር.

መመሪያዎች

ቅጹ ያላቸውን መስመራዊ እኩልታዎች የያዘውን የስርዓቱን የመፍታት ቅደም ተከተል እንመልከት፡ a1x + b1y = c1 እና a2x + b2y = c2. x እና y የማይታወቁ ተለዋዋጮች ሲሆኑ፣ እና b፣c ነጻ ቃላት ናቸው። ይህንን ዘዴ ሲተገበሩ, እያንዳንዱ ስርዓት ከእያንዳንዱ እኩልታ ጋር የሚዛመዱ የነጥቦች መጋጠሚያዎችን ይወክላል. ለመጀመር በእያንዳንዱ ሁኔታ አንድ ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር ይግለጹ. ከዚያ ተለዋዋጭ xን ወደ ማንኛውም የእሴቶች ቁጥር ያቀናብሩ። ሁለት በቂ ነው። በቀመር ውስጥ ይተኩ እና yን ያግኙ። የተቀናጀ ስርዓት ይገንቡ, በእሱ ላይ የተገኙትን ነጥቦች ምልክት ያድርጉ እና በእነሱ በኩል መስመር ይሳሉ. ተመሳሳይ ስሌቶች ለሌሎች የስርዓቱ ክፍሎች መከናወን አለባቸው.

የተገነቡት መስመሮች እርስ በርስ ከተገናኙ እና አንድ የጋራ ነጥብ ካላቸው ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው. እርስ በርስ ትይዩ ከሆነ የማይጣጣም ነው. እና መስመሮቹ እርስ በርስ ሲዋሃዱ እጅግ በጣም ብዙ መፍትሄዎች አሉት.

ይህ ዘዴ በጣም ምስላዊ እንደሆነ ይቆጠራል. ዋናው ጉዳቱ የተሰሉ ያልታወቁ ነገሮች ግምታዊ እሴቶች አሏቸው። የበለጠ ትክክለኛ ውጤቶች የሚቀርቡት አልጀብራ በሚባሉት ዘዴዎች ነው።

ለእኩልታዎች ስርዓት ማንኛውም መፍትሄ መፈተሽ ተገቢ ነው። ይህንን ለማድረግ በተለዋዋጮች ምትክ የተገኙትን ዋጋዎች ይተኩ. እንዲሁም ብዙ ዘዴዎችን በመጠቀም የእሱን መፍትሄ ማግኘት ይችላሉ. የስርዓቱ መፍትሄ ትክክል ከሆነ ሁሉም ሰው አንድ አይነት መሆን አለበት.

ብዙውን ጊዜ ከቃላቶቹ ውስጥ አንዱ የማይታወቅባቸው እኩልታዎች አሉ። እኩልታን ለመፍታት በእነዚህ ቁጥሮች የተወሰኑ የድርጊት ስብስቦችን ማስታወስ እና ማከናወን ያስፈልግዎታል።

ያስፈልግዎታል

• - የወረቀት ወረቀት;
• - ብዕር ወይም እርሳስ.

መመሪያዎች

ከፊትህ 8 ጥንቸሎች እንዳሉ አስብ, እና 5 ካሮት ብቻ አለህ. እስቲ አስበው, እያንዳንዱ ጥንቸል አንድ እንድታገኝ አሁንም ተጨማሪ ካሮትን መግዛት አለብህ.

ይህንን ችግር በቀመር መልክ እናቅርበው፡ 5 + x = 8. ቁጥር 3ን በ x ቦታ እንለውጠው።

ቁጥርን በ x ሲቀይሩ 5 ከ 8 ሲቀነሱ ተመሳሳይ ነገር አደረጉ። ስለዚህ ለማግኘት የማይታወቅቃል፣ የሚታወቀውን ቃል ከድምሩ ቀንስ።

20 ጥንቸሎች እና 5 ካሮት ብቻ አሉህ እንበል። እናስተካክለው። እኩልነት በውስጡ ለተካተቱት ፊደሎች የተወሰኑ እሴቶችን ብቻ የሚይዝ እኩልነት ነው። ትርጉማቸው መገኘት ያለባቸው ፊደሎች ተጠርተዋል. ከማይታወቅ ጋር እኩልታ ይፃፉ፣ x ይደውሉት። የጥንቸል ችግራችንን ስንፈታ የሚከተለውን እኩልታ እናገኛለን፡- 5+ x = 20።

በ 20 እና 5 መካከል ያለውን ልዩነት እንፈልግ. ሲቀንስ, የሚቀነስበት ቁጥር የሚቀነሰው ነው. የተቀነሰው ቁጥር ይባላል, እና የመጨረሻው ውጤት ልዩነቱ ይባላል. ስለዚህ, x = 20 - 5; x = 15. ለ ጥንቸሎች 15 ካሮት መግዛት ያስፈልግዎታል.

ቼክ: 5 + 15 = 20. እኩልታው በትክክል ተፈትቷል. እርግጥ ነው, ወደ እንደዚህ ዓይነት ቀላል ነገሮች ሲመጣ, መፈተሽ አስፈላጊ አይደለም. ሆኖም፣ ባለ ሶስት አሃዝ፣ ባለአራት አሃዝ፣ ወዘተ ቁጥሮች ጋር እኩልታዎች ሲኖሩዎት በእርግጠኝነት የስራዎን ውጤት ሙሉ በሙሉ እርግጠኛ ለመሆን ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል።

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

ጠቃሚ ምክር

ያልታወቀን ማይኒንድ ለማግኘት ወደ ልዩነቱ ንዑስ ክፍልን ማከል ያስፈልግዎታል።

ያልታወቀ ንዑስ ንኡስ ክፍል ለማግኘት፣ ልዩነቱን ከምንጩ መቀነስ ያስፈልግዎታል።

ጠቃሚ ምክር 4: የሶስት እኩልታዎች ስርዓት ከሶስት የማይታወቁ ጋር እንዴት እንደሚፈታ

በቂ ቁጥር ያላቸው እኩልታዎች ቢኖሩም ከሶስት የማይታወቁ የሶስት እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎች ላይኖራቸው ይችላል. የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም ወይም የ Cramer ዘዴን በመጠቀም ለመፍታት መሞከር ይችላሉ. የ Cramer ዘዴ ስርዓቱን ከመፍታት በተጨማሪ የማያውቁትን እሴቶች ከማግኘቱ በፊት ስርዓቱ ሊፈታ የሚችል መሆኑን ለመገምገም ያስችልዎታል።

መመሪያዎች

የመተኪያ ዘዴው በቅደም ተከተል አንድ የማይታወቅ በሁለት ሌሎች እና ውጤቱን ወደ ስርዓቱ እኩልታዎች በመተካት ያካትታል. የሶስት እኩልታዎች ስርዓት በአጠቃላይ መልክ ይስጥ፡

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

ከመጀመሪያው እኩልታ xን ይግለጹ፡ x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - እና በሁለተኛውና በሦስተኛው እኩልታዎች በመተካት yን ከሁለተኛው እኩልታ ይግለጹ እና በሦስተኛው ይተኩ። በስርዓት እኩልታዎች ቅንጅቶች በኩል ለ z መስመራዊ አገላለጽ ያገኛሉ። አሁን ወደ “ኋላ” ሂድ፡ zን ወደ ሁለተኛው እኩልታ ተካ እና y ፈልግ፣ እና z እና yን ወደ መጀመሪያው በመቀየር ለ x ፍታ። Z ከማግኘቱ በፊት ሂደቱ በአጠቃላይ በስዕሉ ላይ ይታያል. በአጠቃላይ ቅፅ ላይ ተጨማሪ መፃፍ በጣም አስቸጋሪ ይሆናል, በመተካት, ሁሉንም የማይታወቁትን በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ.

የክሬመር ዘዴ የስርዓት ማትሪክስ መገንባት እና የዚህን ማትሪክስ መወሰኛ ማስላት እና እንዲሁም ሶስት ተጨማሪ ረዳት ማትሪክቶችን ያካትታል። የስርዓት ማትሪክስ ለማይታወቁ የእኩልታዎች ቃላቶች ውህዶችን ያቀፈ ነው። በቀኝ-እጅ እኩልታዎች ላይ ቁጥሮችን የያዘ አምድ፣ የቀኝ-እጅ ጎኖች አምድ። በስርዓቱ ውስጥ ጥቅም ላይ አይውልም, ነገር ግን ስርዓቱን በሚፈታበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

እባክዎን ያስተውሉ

በስርዓቱ ውስጥ ያሉት ሁሉም እኩልታዎች ከሌሎች እኩልታዎች ነፃ የሆኑ ተጨማሪ መረጃዎችን መስጠት አለባቸው። ያለበለዚያ ስርዓቱ ከቁጥጥር ውጭ ስለሚሆን የማያሻማ መፍትሄ ማግኘት አይቻልም።

ጠቃሚ ምክር

የእኩልታዎችን ስርዓት ከፈቱ በኋላ የተገኙትን እሴቶች ወደ ዋናው ስርዓት ይተኩ እና ሁሉንም እኩልታዎች ያሟሉ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

በራሱ እኩልታከሶስት ጋር የማይታወቅብዙ መፍትሄዎች አሉት, ስለዚህ ብዙውን ጊዜ በሁለት ተጨማሪ እኩልታዎች ወይም ሁኔታዎች ይሟላል. የመነሻ መረጃው ምን እንደሆነ, የውሳኔው ሂደት በአብዛኛው የተመካ ነው.

ያስፈልግዎታል

• - የሶስት እኩልታዎች ስርዓት ከሶስት የማይታወቁ ጋር።

መመሪያዎች

ከሶስቱ ስርዓቶች ውስጥ ሁለቱ ከሶስቱ የማይታወቁ ነገሮች ሁለቱ ብቻ ካሏቸው፣ አንዳንድ ተለዋዋጮችን ከሌሎቹ አንፃር ለመግለጽ ይሞክሩ እና እነሱን በመተካት ይተኩ እኩልታከሶስት ጋር የማይታወቅ. በዚህ ጉዳይ ላይ ግባችሁ ወደ መደበኛው መለወጥ ነው እኩልታከማይታወቅ ሰው ጋር. ይህ ከሆነ, ተጨማሪው መፍትሄ በጣም ቀላል ነው - የተገኘውን እሴት ወደ ሌሎች እኩልታዎች ይተኩ እና ሌሎች የማይታወቁትን ሁሉ ያግኙ.

አንዳንድ የእኩልታዎች ስርዓቶች ከአንድ እኩልታ በሌላ ሊቀነሱ ይችላሉ። ሁለት የማይታወቁ ነገሮች በአንድ ጊዜ እንዲሰረዙ አንዱን ወይም ተለዋዋጭ ማባዛት ይቻል እንደሆነ ይመልከቱ። እንደዚህ አይነት እድል ካለ, ተጠቀሙበት, ቀጣዩ መፍትሄ አስቸጋሪ አይሆንም. ያስታውሱ በቁጥር ሲባዙ ሁለቱንም በግራ እና በቀኝ በኩል ማባዛት አለብዎት። በተመሳሳይ፣ እኩልታዎችን በሚቀንሱበት ጊዜ፣ የቀኝ እጅ ደግሞ መቀነስ እንዳለበት ማስታወስ አለብዎት።

የቀደሙት ዘዴዎች ካልረዱ ፣ ማንኛውንም እኩልታዎችን ከሶስት ጋር የመፍታት አጠቃላይ ዘዴን ይጠቀሙ የማይታወቅ. ይህንን ለማድረግ, እኩልታዎችን በ a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. አሁን ለx (A)፣ ያልታወቁ ማትሪክስ (X) እና የነጻ ተለዋዋጮች ማትሪክስ (B) የቁጥሮች ማትሪክስ ይፍጠሩ። እባክዎን የቁጥር ማትሪክስ በማይታወቁ ማትሪክስ በማባዛት የነጻ ቃላቶች ማትሪክስ ያገኛሉ ማለትም A*X=B።

በመጀመሪያ በማግኘቱ ማትሪክስ Aን ወደ ሃይሉ (-1) ያግኙ፣ ከዜሮ ጋር እኩል መሆን እንደሌለበት ልብ ይበሉ። ከዚህ በኋላ የተገኘውን ማትሪክስ በማትሪክስ B ማባዛት, በውጤቱም የተፈለገውን ማትሪክስ X ይቀበላሉ, ይህም ሁሉንም ዋጋዎች ያመለክታል.

እንዲሁም የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የሶስት እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ማግኘት ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ከስርዓቱ ማትሪክስ ጋር የሚዛመደውን የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ ∆ ያግኙ። ከዚያ በተከታታይ ሶስት ተጨማሪ መወሰኛዎችን ያግኙ ∆1 ፣ ∆2 እና ∆3 ፣ ከተዛማጅ አምዶች እሴቶች ይልቅ የነፃ ቃላትን እሴቶች በመተካት። አሁን x: x1=∆1/∆፣ x2=∆2/∆፣ x3=∆3/∆ ፈልግ።

ምንጮች፡-

• ከሶስት የማይታወቁ ጋር እኩልታዎች መፍትሄዎች

የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ሲጀምሩ ምን አይነት እኩልታዎች እንደሆኑ ይወቁ። መስመራዊ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች በደንብ ተጠንተዋል። የመስመር ላይ ያልሆኑ እኩልታዎች ብዙውን ጊዜ አይፈቱም። አንድ ልዩ ጉዳዮች ብቻ አሉ, እያንዳንዱም በተግባር ግለሰብ ነው. ስለዚህ የመፍትሄ ዘዴዎችን ማጥናት በመስመራዊ እኩልታዎች መጀመር አለበት. እንደነዚህ ያሉ እኩልታዎች በአልጎሪዝም ብቻ ሊፈቱ ይችላሉ.

መመሪያዎች

የሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ከሁለት የማይታወቁ X እና Y በማጥፋት እንዴት እንደሚፈቱ በመማር የመማር ሂደትዎን ይጀምሩ። a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2)። የእኩልታዎቹ ጥምርታዎች መገኛቸውን በሚያመለክቱ ጠቋሚዎች ይጠቁማሉ። ስለዚህ, Coefficient a21 በመጀመሪያ ደረጃ በሁለተኛው እኩልነት ውስጥ መጻፉን ያጎላል. በአጠቃላይ ተቀባይነት ባለው መግለጫ ስርዓቱ የተፃፈው አንዱ ከሌላው በታች ባሉት እኩልታዎች እና በጋራ በቀኝ ወይም በግራ በኩል ባለው ጥምዝ ቅንፍ ነው (ለተጨማሪ ዝርዝሮች ምስል 1 ሀ ይመልከቱ)።

የእኩልታዎች ቁጥር በዘፈቀደ ነው። በጣም ቀላሉን ይምረጡ፣ ለምሳሌ ከተለዋዋጮች አንዱ በ 1 ኮፊሸን የሚቀድም ወይም ቢያንስ ኢንቲጀር። ይህ እኩልታ (1) ከሆነ፣ ከዚያም የበለጠ ይግለጹ፣ ያልታወቀ Y በ X አንፃር (Yን የማያካትት ጉዳይ)። ይህንን ለማድረግ (1) ወደ ቅጽ a12*Y=b1-a11*X (ወይንም a11*X=b1-a12*Y ኤክስን ሲያካትት)፣ እና ከዚያ Y=(b1-a11*X)/a12 ይለውጡ። . የኋለኛውን ወደ ቀመር በመተካት (2) a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2 ይጻፉ። ይህን እኩልታ ለX ፍታው።
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) ወይም X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21)።
በ Y እና X መካከል የተገኘውን ግንኙነት በመጠቀም በመጨረሻ ሁለተኛው ያልታወቀ Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) ያገኛሉ።

ስርዓቱ በተወሰኑ የቁጥር ጥምርታዎች ከተገለጸ፣ ስሌቶቹ ብዙም አስቸጋሪ ይሆናሉ። ነገር ግን አጠቃላይ መፍትሔው የተገኙት የማይታወቁ ነገሮች በትክክል ተመሳሳይ መሆናቸውን ግምት ውስጥ ማስገባት ያስችላል. አዎ, እና ቁጥሮች በግንባታቸው ውስጥ አንዳንድ ንድፎችን ያሳያሉ. የእኩልታዎች ስርዓት ልኬት ከሁለት በላይ ከሆነ የማስወገጃ ዘዴው በጣም አስቸጋሪ የሆኑ ስሌቶችን ያስከትላል። እነሱን ለማስወገድ, አልጎሪዝም ብቻ መፍትሄዎች ተዘጋጅተዋል. ከእነዚህ ውስጥ በጣም ቀላሉ የክሬመር አልጎሪዝም (የክሬመር ቀመሮች) ነው። ማወቅ አለብህና። አጠቃላይ ስርዓትከ n እኩልታዎች.

የ n መስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ከ n ያልታወቁ ጋር መልክ አለው (ምስል 1 ሀ ይመልከቱ)። በእሱ ውስጥ, aij የስርዓቱ ቅንጅቶች ናቸው,
xj – ያልታወቁ፣ ሁለት – ነፃ ቃላቶች (i=1፣ 2፣... , n; j=1, 2, ... , n). እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት በማትሪክስ ቅጽ AX=B በጥቂቱ ሊጻፍ ይችላል። እዚህ A የስርዓት ውህዶች ማትሪክስ ነው ፣ X ያልታወቁት አምድ ማትሪክስ ነው ፣ B የነፃ ቃላት አምድ ማትሪክስ ነው (ምስል 1 ለ ይመልከቱ)። እንደ ክሬመር ዘዴ እያንዳንዱ የማይታወቅ xi =∆i/∆ (i=1,2…,n)። የቁጥር ማትሪክስ ወሳኙ ∆ ዋናው ይባላል፣ እና ∆i ረዳት ነው። ለእያንዳንዱ ያልታወቀ፣ ረዳት መወሰኛው የሚገኘው የዋናው መወሰኛ i-th አምድ በነፃ ቃላት አምድ በመተካት ነው። ለሁለተኛ እና ለሶስተኛ ደረጃ ስርዓቶች ጉዳይ የ Cramer ዘዴ በምስል ውስጥ በዝርዝር ቀርቧል ። 2.

ስርዓቱ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልነት ያለው ጥምረት ነው, እያንዳንዳቸው ሁለት ወይም ከዚያ በላይ የማይታወቁ ናቸው. በት/ቤት ሥርዓተ-ትምህርት ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውሉ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት ሁለት ዋና መንገዶች አሉ። ከመካከላቸው አንዱ ዘዴ ይባላል, ሌላኛው - የመደመር ዘዴ.

የሁለት እኩልታዎች ስርዓት መደበኛ ቅርፅ

የመደመር ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት

ለምሳሌ, ሁለት እኩልታዎችን ያካተተ ስርዓት ተሰጥቷል እንበል. የመጀመርያው 2x+4y=8፣ ሁለተኛው 6x+2y=6 ቅጽ አለው። ሥራውን ለማጠናቀቅ ከሚያስፈልጉት አማራጮች አንዱ ሁለተኛውን እኩልታ በ -2 ኮፊሸንት ማባዛት ነው, ይህም ወደ ቅፅ -12x-4y=-12 ይመራዋል. የማናውቀውን የማግኘት አጠቃላይ ሂደት የሚወስን በመሆኑ ትክክለኛው የኮፊፊሸንት ምርጫ የመደመር ዘዴን በመጠቀም ሥርዓትን በመፍታት ሂደት ውስጥ ካሉት ቁልፍ ተግባራት አንዱ ነው።

አሁን የስርዓቱን ሁለት እኩልታዎች መጨመር አስፈላጊ ነው. በግልጽ እንደሚታየው፣ በዋጋ እኩል የሆነ ነገር ግን በምልክት ተቃራኒ የሆኑ ተለዋዋጮች እርስ በርስ መጥፋት ወደ ቅጽ -10x=-4 ይመራል። ከዚህ በኋላ, ይህንን ቀላል እኩልታ መፍታት አስፈላጊ ነው, እሱም በግልጽ የሚከተለው x = 0.4.

የመፍትሄው ሂደት የመጨረሻው ደረጃ የተገኘውን የአንዱን ተለዋዋጮች በስርዓቱ ውስጥ ከሚገኙት ኦሪጅናል እኩልነቶች ውስጥ መተካት ነው። ለምሳሌ x=0.4ን ወደ መጀመሪያው እኩልታ በመተካት 2*0.4+4y=8 የሚለውን አገላለጽ ከየት y=1.8 ማግኘት ትችላለህ። ስለዚህ, x=0.4 እና y=1.8 የአብነት ስርዓት መነሻዎች ናቸው።

ሥሮቹ በትክክል መገኘታቸውን ለማረጋገጥ, የተገኙትን እሴቶች ወደ ሁለተኛው የስርዓቱ እኩልነት በመተካት ማረጋገጥ ጠቃሚ ነው. ለምሳሌ, በዚህ ሁኔታ ውስጥ ቅጽ 0.4 * 6+1.8 * 2 = 6 እኩልነት እናገኛለን, እውነት ነው.

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

በሁለት ተለዋዋጮች ውስጥ ያለው መስመራዊ እኩልታ አለው። አጠቃላይ እይታ ax + by + c = 0. በእሱ ውስጥ, a, b እና c ጥምርታዎች - አንዳንድ ቁጥሮች; እና x እና y ተለዋዋጮች ናቸው - መገኘት ያለባቸው ያልታወቁ ቁጥሮች።

ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር ያለው የመስመራዊ እኩልታ መፍትሄው ጥንድ ቁጥሮች x እና y ነው፣ ለዚህም መጥረቢያ + በ + c = 0 ትክክለኛ እኩልነት ነው።

የተሰጠው መስመራዊ እኩልታ በሁለት ተለዋዋጮች (ለምሳሌ 3x + 2y – 1 = 0) የመፍትሄዎች ስብስብ አለው፣ ማለትም፣ እኩልታው እውነት የሆነባቸው ጥንድ ቁጥሮች ስብስብ። ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት መስመራዊ እኩልታ ወደ ቀጥተኛ ተግባር ይቀየራል y = kx + m ፣ እሱም በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ቀጥተኛ መስመር ነው። በዚህ መስመር ላይ ያሉት የሁሉም ነጥቦች መጋጠሚያዎች በሁለት ተለዋዋጮች ውስጥ ላለው የመስመር እኩልታ መፍትሄዎች ናቸው።

የቅጹ መጥረቢያ + በ + c = 0 ሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ከተሰጡ እና ሁለቱም መፍትሄዎች የሚያገኙበትን የ x እና y እሴቶችን መፈለግ አስፈላጊ ከሆነ እኛ አለብን እንላለን። የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት. የእኩልታዎች ስርዓት በጋራ ጥምዝ ቅንፍ ስር ተጽፏል። ለምሳሌ፥

የተዛማጁ ግራፎች የሆኑት ቀጥተኛ መስመሮች ከሆኑ የእኩልታዎች ስርዓት አንድ ነጠላ መፍትሄ ላይኖረው ይችላል። መስመራዊ ተግባራት, አታቋርጡ (ይህም እርስ በርስ ትይዩ ነው). ምንም መፍትሄ የለም ብሎ ለመደምደም, ሁለቱንም መስመራዊ እኩልታዎች በሁለት ተለዋዋጮች ወደ ቅፅ y = kx + m መቀየር በቂ ነው. በሁለቱም እኩልታዎች ውስጥ k ተመሳሳይ ቁጥር ከሆነ, ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም.

የእኩልታዎች ስርዓት ሁለት ተመሳሳይ እኩልታዎችን ያቀፈ ከሆነ (ወዲያውኑ ግልጽ ላይሆን ይችላል ነገር ግን ከተቀየረ በኋላ) ፣ ከዚያ ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ብዛት አለው። በዚህ ጉዳይ ላይ ስለ እርግጠኛ አለመሆን እንነጋገራለን.

በሌሎች በሁሉም ሁኔታዎች ስርዓቱ አንድ መፍትሄ አለው. ይህ መደምደሚያ ሊደረስበት የሚችለው ማንኛቸውም ሁለት ትይዩ ያልሆኑ መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ ብቻ ሊገናኙ ስለሚችሉ ነው. በሁለቱም የመጀመሪያው መስመር እና በሁለተኛው ላይ የሚተኛ ይህ የመገናኛ ነጥብ ነው, ማለትም, ለሁለቱም የመጀመሪያው እኩልታ እና ሁለተኛው መፍትሄ ይሆናል. ስለዚህ, ለእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ነው. ይሁን እንጂ አንዳንድ ገደቦች በ x እና y (በተለምዶ በችግሩ ሁኔታዎች) ላይ አንዳንድ ገደቦች ሲጣሉ ሁኔታዎችን መግለጽ አስፈላጊ ነው. ለምሳሌ, x> 0, y> 0. በዚህ ሁኔታ, የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ቢኖረውም, ነገር ግን ሁኔታውን ካላረካ, በተሰጡት ሁኔታዎች ውስጥ የእኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄዎች እንደሌለው ይደመድማል.

የእኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት ሶስት መንገዶች አሉ-

1. በምርጫ ዘዴ። ብዙውን ጊዜ ይህን ለማድረግ በጣም ከባድ ነው.
2. የግራፊክ ዘዴ. ሁለት ቀጥታ መስመሮች (የተዛማጅ እኩልታዎች ተግባራት ግራፎች) በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ሲሳሉ እና የመገናኛ ነጥባቸው ተገኝቷል. የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ክፍልፋይ ቁጥሮች ከሆኑ ይህ ዘዴ ትክክለኛ ውጤቶችን ላይሰጥ ይችላል.
3. የአልጀብራ ዘዴዎች. ሁለገብ እና አስተማማኝ ናቸው.