Minus plus plus işarəsi verir. Vurma və toplama üçün işarə qaydaları

Minus və plus riyaziyyatda mənfi və müsbət ədədlərin əlamətləridir. Onlar özləri ilə fərqli şəkildə qarşılıqlı əlaqədə olurlar, ona görə də ədədlərlə hər hansı əməliyyatları yerinə yetirərkən, məsələn, bölmə, vurma, çıxma, toplama və s., bunu nəzərə almaq lazımdır. qaydalara imza atmaq. Bu qaydalar olmadan siz heç vaxt ən sadə cəbri və ya həndəsi məsələni belə həll edə bilməyəcəksiniz. Bu qaydaları bilmədən nəinki riyaziyyatı, hətta fizikanı, kimyanı, biologiyanı, hətta coğrafiyanı da öyrənə bilməyəcəksiniz.

İşarələrin əsas qaydalarına daha yaxından nəzər salaq.

Bölmə.

Əgər “artı”nı “mənfi”yə bölsək, həmişə “mənfi” alırıq. Əgər “mənfi”ni “artı”ya bölsək, həmişə “mənfi” də alırıq. Əgər “artı”nı “artı”ya bölsək, “artı” alırıq. Əgər “mənfi”ni “mənfi”yə bölsək, qəribə də olsa, “artı” da alırıq.

Vurma.

Əgər “mənfi”ni “artı”ya vursaq, həmişə “mənfi” alırıq. Əgər “artı”nı “mənfi”yə vursaq, həmişə “mənfi” alırıq. Əgər “artı”nı “artı” ilə vursaq, müsbət ədəd, yəni “artı” alırıq. Eyni şey iki mənfi ədədə də aiddir. Əgər “mənfi”ni “minus”a vursaq, “artı” alırıq.

Çıxarma və toplama.

Onlar müxtəlif prinsiplərə əsaslanır. Əgər mənfi ədəd bizim müsbət nömrəmizdən böyükdürsə, nəticə, əlbəttə ki, mənfi olacaq. Şübhəsiz ki, siz modulun nə olduğunu və niyə burada olduğunu maraqlandırırsınız. Hər şey çox sadədir. Modul rəqəmin dəyəridir, lakin işarəsizdir. Məsələn -7 və 3. Modulo -7 sadəcə olaraq 7 olacaq, 3 isə 3 olaraq qalacaq. Nəticədə 7-nin daha böyük olduğunu görürük, yəni mənfi sayımızın daha böyük olduğu ortaya çıxır. Beləliklə -7+3 = -4 çıxır. Daha da sadələşdirilə bilər. Sadəcə birinci yerə müsbət bir rəqəm qoyun və 3-7 = -4 çıxacaq, bəlkə də kiməsə bu daha aydındır. Çıxarma tamamilə eyni prinsiplə işləyir.

“Mənim düşmənimin düşməni mənim dostumdur”

Uzun müddət əvvəl insanlar yalnız natural ədədləri bilirdilər: Onlar qab-qacaq, qənimət, düşmən və s. saymaq üçün istifadə olunurdu. Amma rəqəmlərin özləri tamamilə faydasızdır - onları idarə etməyi bacarmaq lazımdır. Toplama aydın və başa düşüləndir və bundan başqa, iki natural ədədin cəmi də natural ədəddir (riyaziyyatçı deyərdi ki, natural ədədlər çoxluğu toplama əməliyyatı ilə bağlıdır). Təbii ədədlərdən danışırıqsa, vurma mahiyyətcə toplama ilə eynidir. Həyatda biz tez-tez bu iki əməliyyatla bağlı hərəkətlər edirik (məsələn, alış-veriş edərkən biz əlavə edirik və çoxalırıq) və əcdadlarımızın onlarla daha az qarşılaşdığını düşünmək qəribədir - toplama və vurma bəşəriyyət tərəfindən çox uzun müddət mənimsənilmişdir. əvvəl. Çox vaxt bəzi kəmiyyətləri digərlərinə bölmək lazımdır, lakin burada nəticə həmişə natural ədəd kimi ifadə edilmir - fraksiya ədədləri belə ortaya çıxdı.

Təbii ki, siz də çıxmadan edə bilməzsiniz. Amma praktikada adətən ondan çıxırıq daha çox daha kiçikdir və mənfi ədədlərdən istifadə etməyə ehtiyac yoxdur. (Əgər mənim konfetim olsa və onu bacıma versəm, bir az konfet qalacaq, amma istəsəm də ona konfet verə bilmərəm.) Bu, insanların uzun müddət mənfi rəqəmlərdən istifadə etməmələrinin səbəbini izah edə bilər.

Hindistan sənədlərində mənfi rəqəmlər eramızın 7-ci əsrindən bəri ortaya çıxdı; Görünür, çinlilər onlardan bir az əvvəl istifadə etməyə başlayıblar. Onlar borcların uçotunda və ya tənliklərin həllini sadələşdirmək üçün aralıq hesablamalarda istifadə olunurdu - bu, sadəcə müsbət cavab almaq üçün bir vasitə idi. Mənfi ədədlərin müsbət ədədlərdən fərqli olaraq heç bir varlığın varlığını ifadə etməməsi güclü inamsızlığa səbəb olub. İnsanlar sözün əsl mənasında mənfi rəqəmlərdən qaçırdılar: əgər problemin cavabı mənfi olarsa, heç bir cavabın olmadığına inanırdılar. Bu inamsızlıq çox uzun müddət davam etdi və hətta müasir riyaziyyatın “təsisçilərindən” biri olan Dekart da onları “yalan” adlandırdı (17-ci əsrdə!).

Nümunə olaraq tənliyi nəzərdən keçirək. Bunu belə həll etmək olar: naməlum olan şərtləri sola, qalanını isə sağa köçürün, belə çıxır , , . Bu həll yolu ilə mənfi rəqəmlərlə belə qarşılaşmadıq.

Ancaq təsadüfən bunu başqa cür etmək mümkün oldu: naməlum olan şərtləri sağ tərəfə köçürün və , alın. Naməlumu tapmaq üçün bir mənfi ədədi digərinə bölmək lazımdır: . Ancaq düzgün cavab məlumdur və bu nəticəyə gəlmək qalır.

Bu sadə nümunə nəyi nümayiş etdirir? Birincisi, mənfi ədədlər üzərində hərəkətlərin qaydalarını müəyyən edən məntiq aydın olur: bu hərəkətlərin nəticələri mənfi nömrələr olmadan fərqli bir şəkildə alınan cavablarla üst-üstə düşməlidir. İkincisi, mənfi ədədlərin istifadəsinə icazə verərək, biz yorucu (əgər tənlik daha mürəkkəb olduğu ortaya çıxarsa, çox sayda terminlə) bütün hərəkətlərin yalnız üzərində yerinə yetirildiyi bir həll axtarışından xilas oluruq. natural ədədlər. Üstəlik, biz artıq hər dəfə çevrilmiş kəmiyyətlərin mənalılığı haqqında düşünməyə bilərik - və bu, artıq riyaziyyatı mücərrəd elmə çevirmək üçün bir addımdır.

Mənfi ədədlərlə işləmə qaydaları dərhal formalaşmadı, lakin tətbiq olunan məsələlərin həlli zamanı yaranan çoxsaylı nümunələrin ümumiləşdirilməsinə çevrildi. Ümumiyyətlə, riyaziyyatın inkişafını mərhələlərə bölmək olar: hər növbəti mərhələ əvvəlkindən obyektlərin öyrənilməsi zamanı yeni abstraksiya səviyyəsi ilə fərqlənir. Beləliklə, 19-cu əsrdə riyaziyyatçılar başa düşdülər ki, bütün xarici fərqlərə baxmayaraq, tam ədədlər və çoxhədlilərin çoxlu ortaq cəhətləri var: hər ikisini əlavə etmək, çıxmaq və vurmaq olar. Bu əməliyyatlar eyni qanunlara tabedir - həm ədədlər, həm də çoxhədlilər. Lakin nəticənin yenidən tam ədəd olması üçün tam ədədləri bir-birinə bölmək həmişə mümkün olmur. Çoxhədlilərlə eynidir.

Sonra bu cür əməliyyatları yerinə yetirmək mümkün olan digər riyazi obyektlər toplusu kəşf edildi: formal güc seriyaları, davamlı funksiyalar... Nəhayət, belə bir anlayış gəldi ki, əgər əməliyyatların öz xüsusiyyətlərini öyrənsəniz, o zaman nəticələr hamıya tətbiq oluna bilər. bu obyekt dəstləri (bu yanaşma bütün müasir riyaziyyat üçün xarakterikdir).

Nəticədə yeni bir anlayış ortaya çıxdı: üzük. Bu, sadəcə elementlər toplusudur və onlar üzərində yerinə yetirilə bilən hərəkətlərdir. Buradakı əsas qaydalar çoxluğun elementlərinin təbiəti deyil, hərəkətlərin tabe olduğu qaydalardır (bunlara aksiomlar deyilir). yeni səviyyə abstraksiyalar!). Əhəmiyyətli olan aksiomları təqdim etdikdən sonra yaranan struktur olduğunu vurğulamaq istəyən riyaziyyatçılar deyirlər: tam ədədlər halqası, çoxhədlilər halqası və s. Aksiomlardan başlayaraq halqaların digər xassələrini çıxarmaq olar.

Halqanın aksiomlarını tərtib edəcəyik (əlbəttə ki, bu, tam ədədlərlə işləmə qaydalarına bənzəyir) və sonra sübut edəcəyik ki, hər hansı bir halqada mənfini mənfiyə vurmaq artı verir.

Bir üzük ənənəvi olaraq toplama və vurma adlanan iki ikili əməliyyatı (yəni hər bir əməliyyat halqanın iki elementini əhatə edir) və aşağıdakı aksiomaları olan bir çoxluqdur:

Qeyd edək ki, üzüklər, ən çox ümumi dizayn, vurmanın nə dəyişkənliyini, nə də onun tərsinə çevrilməsini (yəni bölmə həmişə həyata keçirilə bilməz) və ya vahidin - vurmada neytral elementin mövcudluğunu tələb etmir. Bu aksiomları təqdim etsək, müxtəlif cəbri strukturlar əldə edirik, lakin onlarda halqalar üçün sübut edilmiş bütün teoremlər doğru olacaqdır.

İndi sübut edək ki, hər hansı elementlər və ixtiyari halqa üçün birincisi, , ikincisi, doğrudur. Vahidlər haqqında ifadələr asanlıqla buradan gəlir: və .

Bunun üçün bəzi faktları ortaya qoymalıyıq. Əvvəlcə sübut edirik ki, hər bir elementin yalnız bir əksi ola bilər. Əslində, bir elementin iki əksi olsun: və . ki .

Gəlin məbləği nəzərdən keçirək. Assosiativ və kommutativ qanunlardan və sıfırın xassəsindən istifadə edərək tapırıq ki, bir tərəfdən cəmi --ə, digər tərəfdən isə --ə bərabərdir. O deməkdir ki, .

İndi qeyd edin ki, və hər ikisi eyni elementin əksidir, ona görə də onlar bərabər olmalıdır.

Birinci fakt belə çıxır: yəni əksdir, yəni bərabərdir.

Riyazi cəhətdən ciddi olmaq üçün gəlin hər hansı element üçün nə üçün olduğunu da izah edək. Doğrudan da, .

Yəni əlavə etməklə məbləğ dəyişmir. Bu o deməkdir ki, bu məhsul sıfıra bərabərdir.
Halqada tam olaraq bir sıfırın olması faktını (axı, aksiomalar belə bir elementin olduğunu söyləyir, lakin onun unikallığı haqqında heç nə deyilmir!), sadə bir məşq kimi oxucuya buraxacağıq.

"Elementlər"

Şərhlər: 0 Jak Sesianoİki minillik ərzində ədədi sahənin üç mühüm genişlənməsi olmuşdur. Birincisi, təxminən eramızdan əvvəl 450-ci il. Pifaqor məktəbinin alimləri irrasional ədədlərin mövcudluğunu sübut etdilər. Onların ilkin məqsədi vahid kvadratın diaqonalını ölçmək idi. İkincisi, XIII-XV əsrlərdə Avropa alimləri, həll sistemləri

xətti tənliklər

Bu kitabın məqsədi oxucunu yeni xassələrlə tanış etmək deyil, ədədləri, çoxhədliləri və cəbri kəsrləri ciddi şəkildə müəyyənləşdirmək və onların məktəbdən məlum olan xassələrini əsaslandırmaqdır. Odur ki, oxucu burada onun üçün yeni faktlar tapmayacaq (bəzi xassələri, həqiqi və mürəkkəb ədədləri istisna olmaqla), lakin ona yaxşı məlum olan şeylərin “iki dəfə iki dörddür” və çoxhədlilərlə əməllər qaydaları ilə bitən Və cəbri kəsrlər. Lakin oxucu cəbrdə böyük rol oynayan bir sıra ümumi anlayışlarla tanış olacaq.

İlya Şurov

Riyaziyyatçı İlya Şçurov onluq kəsrlər, Pi sayının transsendensiya və irrasionallığı haqqında.

Leon Taxtacyan

Bunlar dörd qısa hekayə olacaq. Rəqəmlərlə başlayacağıq, sonra hərəkət haqqında, dəyişiklik haqqında danışacağıq, sonra forma və ölçüləri müzakirə edəcəyik, sonra başlanğıc və son. Bu bir qədər şifrələnmiş üslubda biz riyaziyyata daxildən və xaricdən və dəqiq bir mövzu kimi baxmağa çalışacağıq. Riyaziyyatçıların düşündükləri və yaşadıqları - bu barədə sonra danışa bilərik.

Vladlen Timorin

Riyaziyyatçı Vladlen Timorin kompleks ədədlərin üstünlükləri, Hamilton kvaternionları, səkkiz ölçülü Cayley ədədləri və həndəsədə ədədlərin müxtəlifliyi haqqında.

"Elementlər"

Diophantus haqqında az şey bilirik. Düşünürəm ki, o, İsgəndəriyyədə yaşayırdı. IV əsrdən əvvəl yunan riyaziyyatçılarından heç biri onun adını çəkməmişdir, ona görə də çox güman ki, III əsrin ortalarında yaşamışdır. Diofantın ən mühüm əsəri olan Arifmetika (Ἀριθμητικά) 13 “kitabın” (βιβλία), yəni fəsillərin əvvəlində yer alır. Bu gün onlardan 10-u var, yəni: 6-sı yunan mətnində, 4-ü isə orta əsrlərdə. Ərəb tərcüməsi, yeri yunan kitablarının ortasındadır: yunanca I-III kitablar, ərəbcə IV-VII, yunanca VIII-X. Diofantın “Arifmetika”sı ilk növbədə, cəmi 260-a yaxın problemlər toplusudur. yalnız var ümumi təlimatlar kitabın girişində, lazım gəldikdə isə bəzi problemlərə özəl şərhlər. “Arifmetika” artıq cəbri traktatın xüsusiyyətlərinə malikdir. İlk Diophantus istifadə edir müxtəlif əlamətlər məchul və onun səlahiyyətlərini, həmçinin bəzi hesablamaları ifadə etmək; Orta əsrlərin bütün cəbr simvolizmi kimi, onun simvolizmi də riyazi sözlərdən gəlir. Sonra Diophantus problemi cəbri yolla necə həll edəcəyini izah edir. Lakin Diofantın problemləri adi mənada cəbri deyil, çünki onların demək olar ki, hamısı qeyri-müəyyən bir tənliyin və ya belə tənliklərin sistemlərinin həllinə qədər qaynayır.

Riyaziyyat dünyasını onlarsız - sadə ədədlərsiz təsəvvür etmək mümkün deyil. Nə baş verdi sadə ədədlər onlar haqqında nə xüsusi və nə üçün əhəmiyyəti var Gündəlik həyat? Bu filmdə britaniyalı riyaziyyat professoru Markus du Sautoy sadə ədədlərin sirrini açacaq.

Georgi Şabat

Məktəbdə hamımıza səhv bir fikir aşılanır ki, Q rasional ədədlər çoxluğunda bütün hesab əməliyyatları davamlı olan unikal təbii məsafə (fərqin modulu) var. Bununla belə, p-adic adlanan sonsuz sayda məsafələr də var, hər p sayı üçün birdir. Ostrovskinin teoreminə görə, “adi” məsafə bütün p-adiklərlə birlikdə, həqiqətən, bütün ağlabatan məsafələri tükəndirir Q. Adelik demokratiya termini Yu I. Manin tərəfindən təqdim edilmişdir. Adelik demokratiya prinsipinə görə, Q-da bütün ağlabatan məsafələr riyaziyyat qanunları qarşısında bərabərdir (bəlkə də yalnız ənənəvi “bir az daha bərabərdir...” Kurs sizə işləməyə imkan verən adelik halqanı təqdim edəcəkdir bütün bu məsafələrlə eyni anda.

Vladimir Arnold

J.L.Laqranj sübut etdi ki, natamam hissələr ardıcıllığı (müəyyən yerdən başlayaraq) yalnız və yalnız x ədədi kvadratik irrasionallıq olduqda dövri olur. R. O. Kuzmin sübut etdi ki, demək olar ki, istənilən həqiqi ədədin natamam hissələrin ardıcıllığında m natamam əmsallara bərabər olan d_m kəsr eynidir (tipik real ədədlər üçün). d_m fraksiyası m→∞ kimi 1/m^2 kimi azalır və onun dəyəri Qauss tərəfindən proqnozlaşdırılıb (heç nə sübut etməyib). V.I. Arnol'da (təxminən 20 il əvvəl) belə bir fərziyyə irəli sürdü ki, Qauss-Kuzmin statistikası d_m kvadrat tənliklərin köklərinin davam edən fraksiyaları dövrləri üçün də uyğundur (p və q ilə): əgər p^2+q^2≤R^2 olan bu cür tənliklərin köklərinin bütün davamlı fraksiyalarının dövrlərini təşkil edən natamam əmsalları birlikdə yazırıq, onda onların arasında natamam hissənin m hissəsi d_m sayına meyl edəcəkdir. R→∞ kimi. V. A. Bıkovski və onun Xabarovsk tələbələri bu yaxınlarda bu çoxdankı fərziyyəni sübut etdilər. Buna baxmayaraq, hərflərin deyil, x^2+px+q=0 tənliklərinin istənilən x köklərinin davamlı kəsrlərinin dövrləri olan hərflərin deyil, onlardan ibarət sözlərin statistikası məsələsi həll olunmur.

Reed Miles

Başlığı və mücərrədi mümkün qədər qeyri-müəyyən qoyuram ki, gün ərzində nə hiss edirəmsə danışım. Çeşidlərin təsnifatında maraq doğuran bir çox növ Gorenstein halqasının Spec və ya Proj kimi əldə edilir. ⩽3 kodimensiyasında tanınmış struktur nəzəriyyəsi Gorenstein üzükləri ilə hesablamanın açıq üsullarını təmin edir. Bunun əksinə olaraq, ⩾4 kodimensiya halqaları üçün istifadə edilə bilən struktur nəzəriyyəsi yoxdur. Buna baxmayaraq, bir çox hallarda Gorenstein proyeksiyası (və onun tərsi, Kustin-Miller proyeksiyası) bu halqalara hücum üsullarını təmin edir. Bu üsullar müntəzəm cəbr səthlərinin kanonik halqalarının sporadik siniflərinə və Q-Fano 3-qatlarının daha sistematik konstruksiyalarına, bunlar arasında Sarkisov bağlarına və Mori nəzəriyyəsinin A tipli 3-qat dönmələrinə aiddir.

Mənfi vaxtlar mənfi nəyə görə artı verir?

• • (1 çubuq) - (2 çubuq) = ((1 çubuq)+(2 çubuq))= 2 çubuq (Və iki çubuq bərabərdir + çünki bir dirəkdə 2 çubuq var)))

Mənfi minus bir artı verir, çünki belədir məktəb qaydası. Aktiv Bu an Məncə, niyə dəqiq cavab yoxdur. Bu qaydadır və uzun illərdir ki, mövcuddur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, şlam üçün şlam paltar sancağı verir.

Məktəbin riyaziyyat kursundan bilirik ki, mənfi dəfə minus artı verir. Bu qaydanın sadələşdirilmiş, yumoristik izahı da var: minus bir sətir, iki minus iki sətir, artı iki sətirdən ibarətdir. Buna görə də, mənfi mənfi bir artı işarəsi verir.

Mən belə düşünürəm: mənfi bir çubuqdur - başqa bir mənfi çubuq əlavə edin - onda iki çubuq alırsınız və onları çarpaz şəkildə birləşdirsəniz, + işarəsini alırsınız, suala dair fikrim haqqında belə dedim: mənfi ilə mənfi üstəgəl .

Minus üçün minus, hətta riyaziyyatda da həmişə bir artı vermir. Amma əsasən mən bu ifadəni ən çox baş verdiyi riyaziyyatla müqayisə edirəm. Onlar da deyirlər ki, lom ilə döyürlər - mən də bunu birtəhər çatışmazlıqlarla əlaqələndirirəm.

Təsəvvür edin ki, 100 rubl borc almısınız. İndi xalınız: -100 rubl. Sonra bu borcu qaytardınız. Beləliklə, məlum olur ki, siz (-) borcunuzu (-100) eyni miqdarda pulla azaldırsınız. Alırıq: -100-(-100)=0

Minus işarəsi bunun əksini göstərir: 5-in əksi -5-dir. Lakin -(-5) əksinin əksi sayıdır, yəni. 5.

Zarafatda olduğu kimi:

1-ci - Haradasan? qarşı tərəf küçələr?

2-ci - digər tərəfdən

1-ci - və dedilər ki, bu barədə ...

Gəlin iki qabı olan tərəzi təsəvvür edək. Sağ qabda həmişə müsbət işarəsi olan şeyin sol qabda həmişə mənfi işarəsi var. İndi artı işarəsi olan rəqəmə vurmaq onun eyni qabda, mənfi işarəli ədədə vurmaq isə nəticənin başqa qaba daşınması demək olacaq. Nümunələr. 5 almanı 2-yə vururuq. Sağ qabda 10 alma alırıq. Biz çoxalırıq - 5 alma 2-yə, və sol qabda 10 alma alırıq, yəni -10. İndi -5-i -2-yə vurun. Bu o deməkdir ki, sol qabda olan 5 alma 2-yə vurularaq sağ qaba köçürülüb, yəni cavab 10-dur.Maraqlıdır ki, artı mənfiyə, yəni sağ qabdakı almaya vurmaq mənfi nəticə verir. , yəni almalar sola doğru hərəkət edir. Və mənfi sol almaları artıya vurmaq onları mənfi, sol qabda buraxır.

Düşünürəm ki, bunu aşağıdakı kimi nümayiş etdirmək olar. Beş səbətə beş alma qoysanız, cəmi 25 alma olacaq. Səbətlərdə. Mənfi beş alma isə o deməkdir ki, mən onları xəbər verməmişəm, beş səbətin hər birindən çıxarmışam. və eyni 25 alma çıxdı, amma səbətlərdə deyil. Buna görə də, zənbillər mənfi olaraq gedir.

Bunu aşağıdakı nümunə ilə də mükəmməl şəkildə nümayiş etdirmək olar. Evinizdə yanğın başlasa, bu mənfidir. Ancaq küvetdəki kranı da bağlamağı unutmusunuzsa və daşqın varsa, bu da bir mənfi cəhətdir. Amma bu ayrıdır. Ancaq hər şey eyni vaxtda baş veribsə, o zaman bir mənfi üçün mənfi bir artı verir və mənzilinizin sağ qalma şansı var.

Təlimatlar

Riyazi əməliyyatların dörd növü var: toplama, çıxma, vurma və bölmə. Buna görə də dörd növ nümunə olacaq. Riyazi əməliyyatı qarışdırmamaq üçün nümunədəki mənfi ədədlər vurğulanır. Məsələn, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) və ya 34:(-17).

Əlavə. Bu hərəkət belə görünə bilər: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Əvəzetmə hərəkəti: əvvəlcə mötərizələr açılır, "+" işarəsi əksinə dəyişdirilir, sonra böyük (modul) rəqəmdən "6" kiçik olan "3" çıxarılır, bundan sonra cavab verilir. daha böyük işarə, yəni “-”.
2) -3+6=3. Bu, ("6-3") prinsipinə uyğun olaraq və ya "böyükdən kiçiyi çıxın və cavaba böyükün işarəsini təyin edin" prinsipinə uyğun olaraq yazıla bilər.
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Açarkən toplama hərəkəti çıxma ilə əvəz olunur, sonra modullar yekunlaşdırılır və nəticəyə mənfi işarə verilir.

Çıxarma.1) 8-(-5)=8+5=13. Mötərizələr açılır, hərəkətin işarəsi tərsinə çevrilir və əlavə nümunəsi alınır.
2) -9-3=-12. Nümunənin elementləri əlavə olunur və alınır ümumi əlamət "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Mötərizələr açıldıqda işarə yenidən “+” olaraq dəyişir, sonra böyük rəqəmdən kiçik rəqəm çıxılır və cavabdan böyük rəqəmin işarəsi götürülür.

Vurma və bölmə: vurma və ya bölməni yerinə yetirərkən işarə əməliyyatın özünə təsir etmir. Rəqəmləri cavabla vurarkən və ya bölərkən “mənfi” işarəsi verilir, əgər rəqəmlər eyni işarələrə malikdirsə, nəticədə həmişə “artı” işarəsi olur 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Mənbələr:

• mənfi cəhətləri olan masa

Necə qərar vermək misallar? Uşaqlar evdə ev tapşırığı etmək lazımdırsa, bu sualla tez-tez valideynlərinə müraciət edirlər. Uşağa çoxrəqəmli ədədlərin əlavə və çıxılması nümunələrinin həllini necə düzgün izah etmək olar? Gəlin bunu anlamağa çalışaq.

Sizə lazım olacaq

• 1. Riyaziyyat dərsliyi.
• 2. Kağız.
• 3. Tutacaq.

Təlimatlar

Məsələni oxuyun. Bunu etmək üçün hər çoxqiymətlini siniflərə bölün. Nömrənin sonundan başlayaraq, bir anda üç rəqəmi sayın və bir nöqtə qoyun (23.867.567). Yada salaq ki, nömrənin sonundan ilk üç rəqəm vahidlərə, sonrakı üç rəqəm sinfə, sonra milyonlar gəlir. Rəqəmi oxuyuruq: iyirmi üç səkkiz yüz altmış yeddi min altmış yeddi.

Bir nümunə yazın. Nəzərə alın ki, hər bir rəqəmin vahidləri ciddi şəkildə bir-birinin altında yazılır: vahidlər altında vahidlər, onluqlar altında onlar, yüzlər altında yüzlər və s.

Toplama və ya çıxma əməllərini yerinə yetirin. Vahidlərlə hərəkəti yerinə yetirməyə başlayın. Nəticəni hərəkəti yerinə yetirdiyiniz kateqoriyanın altına yazın. Əgər nəticə number() olarsa, o zaman cavabın yerinə vahidləri yazırıq və rəqəmin vahidlərinə onluq sayını əlavə edirik. Əgər minuenddəki hər hansı rəqəmin vahidlərinin sayı çıxma rəqəmindən azdırsa, növbəti rəqəmdən 10 vahid götürüb hərəkəti yerinə yetiririk.

Cavabı oxuyun.

Mövzu ilə bağlı video

Qeyd

Məsələnin həllini yoxlamaq üçün hətta uşağınıza kalkulyatordan istifadə etməyi qadağan edin. Toplama çıxma ilə, çıxma isə toplama ilə yoxlanılır.

Faydalı məsləhət

Əgər uşaq 1000-də yazılı hesablama texnikasını yaxşı mənimsəyirsə, o zaman onunla hərəkət edir çoxrəqəmli ədədlər, oxşar şəkildə həyata keçirilir, çətinlik yaratmayacaq.
Uşağınıza 10 dəqiqə ərzində nə qədər nümunə həll edə biləcəyini görmək üçün bir yarışma verin. Bu cür təlim hesablama texnikasını avtomatlaşdırmağa kömək edəcəkdir.

Vurma dörd əsas riyazi əməliyyatdan biridir və bir çox daha mürəkkəb funksiyaların əsasını təşkil edir. Üstəlik, vurma əslində toplama əməliyyatına əsaslanır: bunu bilmək istənilən nümunəni düzgün həll etməyə imkan verir.

Vurma əməliyyatının mahiyyətini başa düşmək üçün burada üç əsas komponentin iştirak etdiyini nəzərə almaq lazımdır. Onlardan biri birinci amil adlanır və vurma əməliyyatına tabe olan ədəddir. Bu səbəbdən onun ikinci, bir qədər daha az yayılmış adı var - "çoxalma". Vurma əməliyyatının ikinci komponenti adətən ikinci amil adlanır: o, vurulan ədədin vurulduğu ədədi təmsil edir. Beləliklə, bu komponentlərin hər ikisi çarpan adlanır ki, bu da onların bərabər statusunu, eləcə də dəyişdirilə biləcəyini vurğulayır: vurmanın nəticəsi dəyişməyəcəkdir. Nəhayət, vurma əməliyyatının onun nəticəsindən yaranan üçüncü komponenti hasil adlanır.

Çarpma əməliyyatının ardıcıllığı

Vurma nümunələrinin həlli

Mövzu ilə bağlı video

Mənbələr:

• 2019-cu ildə çarpma

Vurma həm məktəbdə, həm də gündəlik həyatda tez-tez istifadə olunan dörd əsas arifmetik əməliyyatdan biridir. İki ədədi necə tez çoxaltmaq olar?

Ən mürəkkəb riyazi hesablamaların əsasını dörd əsas təşkil edir arifmetik əməliyyatlar: çıxma, toplama, vurma və bölmə. Üstəlik, müstəqil olmalarına baxmayaraq, bu əməliyyatlar daha yaxından araşdırıldıqda bir-biri ilə əlaqəli olduğu ortaya çıxır. Belə bir əlaqə, məsələn, toplama və vurma arasında mövcuddur.

Nömrə vurma əməliyyatı

Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma əməliyyatının mahiyyəti əslində toplamaya əsaslanır: onu həyata keçirmək üçün müəyyən sayda birinci amilləri bir araya toplamaq lazımdır və bu cəmin şərtlərinin sayı ikinciyə bərabər olmalıdır. amil. Sözügedən iki amilin hasilini hesablamaqla yanaşı, bu alqoritmdən əldə edilən nəticəni yoxlamaq üçün də istifadə etmək olar.

Vurma məsələsinin həlli nümunəsi

Bundan əlavə, yadda saxlamaq lazımdır ki, sözdə kommutativ qanun, orijinal nümunədəki amillərin yerlərinin dəyişdirilməsinin nəticəsini dəyişməyəcəyini təyin edən vurma əməliyyatına aiddir. Beləliklə, 4 ədədini 8 dəfə əlavə edə bilərsiniz, nəticədə eyni məhsul - 32 olur.

Vurma cədvəli

Mövzu ilə bağlı video

Riyaziyyat müəllimini dinləyən tələbələrin əksəriyyəti materialı aksioma kimi qəbul edirlər. Eyni zamanda, az adam bunun altına girməyə və "mənfi"nin "artı" ilə niyə "mənfi" işarəsi verdiyini anlamağa çalışır və iki mənfi rəqəmi vuranda müsbət nəticə çıxır.

Riyaziyyat qanunları

Əksər böyüklər özlərinə və ya uşaqlarına bunun niyə baş verdiyini izah edə bilmirlər. Məktəbdə bu materialı möhkəm mənimsədilər, lakin belə qaydaların haradan gəldiyini öyrənməyə belə cəhd etmədilər. Amma boş yerə. Çox vaxt müasir uşaqlar o qədər də inandırıcı deyillər ki, onlar hər şeyin dibinə varıb, məsələn, “artı” və “mənfi”nin niyə “mənfi” verdiyini başa düşməlidirlər. Və bəzən böyüklərin başa düşülən cavab verə bilmədiyi andan həzz almaq üçün oğlanlar qəsdən çətin suallar verirlər. Və gənc müəllimin problemə düşməsi həqiqətən fəlakətdir...

Yeri gəlmişkən, qeyd etmək lazımdır ki, yuxarıda qeyd olunan qayda həm vurma, həm də bölmə üçün keçərlidir. Mənfi və müsbət ədədin məhsulu yalnız "mənfi" verəcəkdir. Əgər “-” işarəsi olan iki rəqəmdən danışırıqsa, nəticə müsbət rəqəm olacaq. Eyni şey bölməyə də aiddir. Rəqəmlərdən biri mənfi olarsa, bölmənin də "-" işarəsi olacaq.

Bu riyaziyyat qanununun düzgünlüyünü izah etmək üçün halqanın aksiomlarını formalaşdırmaq lazımdır. Ancaq əvvəlcə bunun nə olduğunu başa düşməlisiniz. Riyaziyyatda üzük iki element üzərində iki əməliyyatı əhatə edən çoxluqdur. Ancaq bunu bir nümunə ilə başa düşmək daha yaxşıdır.

Üzük aksiomu

Bir neçə riyazi qanun var.

• Onlardan birincisi kommutativdir, ona görə C + V = V + C.
• İkincisi assosiativ (V + C) + D = V + (C + D) adlanır.

Vurma (V x C) x D = V x (C x D) də onlara tabedir.

Mötərizənin açıldığı qaydaları heç kim ləğv etməyib (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D olması da doğrudur.

Bundan əlavə, müəyyən edilmişdir ki, halqaya xüsusi, əlavə neytral element daxil edilə bilər, istifadə edildikdə aşağıdakılar doğru olacaqdır: C + 0 = C. Bundan əlavə, hər bir C üçün əks element var ki, bu da ola bilər. (-C) kimi işarələnməlidir. Bu halda, C + (-C) = 0.

Mənfi ədədlər üçün aksiomaların törəməsi

Yuxarıdakı ifadələri qəbul edərək, suala cavab verə bilərik: "Plus və mənfi hansı işarəni verir?" Mənfi ədədlərin vurulması ilə bağlı aksiomu bilməklə, həqiqətən (-C) x V = -(C x V) olduğunu təsdiq etmək lazımdır. Həm də aşağıdakı bərabərliyin doğru olduğunu: (-(-C)) = C.

Bunu etmək üçün əvvəlcə hər bir elementin əksinə yalnız bir "qardaşı" olduğunu sübut etməli olacaqsınız. Aşağıdakı sübut nümunəsinə nəzər salın. Təsəvvür etməyə çalışaq ki, C üçün iki ədəd əks-V və D. Buradan belə çıxır ki, C + V = 0 və C + D = 0, yəni C + V = 0 = C + D. Qanunları xatırlayaraq. kommutasiya və 0 rəqəminin xassələri haqqında hər üç ədədin cəmini nəzərdən keçirə bilərik: C, V və D. Gəlin V-nin dəyərini öyrənməyə çalışaq. Məntiqlidir ki, V = V + 0 = V + (C) + D) = V + C + D, çünki yuxarıda qəbul edildiyi kimi C + D dəyəri 0-a bərabərdir. Bu, V = V + C + D deməkdir.

D üçün qiymət eyni şəkildə alınır: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Buna əsasən V = D olduğu aydın olur.

Niyə "artı" və "mənfi" hələ də "mənfi" verdiyini başa düşmək üçün aşağıdakıları başa düşməlisiniz. Deməli, (-C) elementi üçün C və (-(-C)) əksdir, yəni bir-birinə bərabərdir.

Onda aydın olur ki, 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Buradan belə çıxır ki, C x V (-)C x V-nin əksidir, yəni (- C) x V = -(C x V).

Tam riyazi ciddilik üçün hər hansı element üçün 0 x V = 0 olduğunu təsdiqləmək də lazımdır. Əgər məntiqə əməl etsəniz, onda 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Bu o deməkdir ki, 0 x V məhsulunun əlavə edilməsi müəyyən edilmiş məbləği heç bir şəkildə dəyişmir. Axı bu məhsul sıfıra bərabərdir.

Bütün bu aksiomları bilməklə, nəinki “artı” və “mənfi”nin nə qədər verdiyini, həm də mənfi ədədləri çoxaldarkən nə baş verdiyini də çıxara bilərsiniz.

İki ədədi “-” işarəsi ilə vurmaq və bölmək

Riyazi nüanslara dərindən girməsəniz, daha çox cəhd edə bilərsiniz sadə şəkildə Mənfi ədədlərlə işləmə qaydalarını izah edin.

Fərz edək ki, C - (-V) = D, buna əsaslanaraq, C = D + (-V), yəni C = D - V. V-ni köçürürük və C + V = D alırıq. C + V = C - (-V). Bu misal ard-arda iki “mənfi”nin olduğu ifadədə qeyd olunan işarələrin nə üçün “artı”ya dəyişdirilməli olduğunu izah edir. İndi vurmağa baxaq.

(-C) x (-V) = D, siz ifadəyə dəyərini dəyişməyəcək iki eyni hasil əlavə edib çıxa bilərsiniz: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Mötərizədə işləmə qaydalarını xatırlayaraq, əldə edirik:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Buradan belə çıxır ki, C x V = (-C) x (-V).

Eynilə, iki mənfi ədədin bölünməsinin müsbət ədədlə nəticələnəcəyini sübut etmək olar.

Ümumi riyazi qaydalar

Təbii ki, bu izahat mücərrəd mənfi ədədləri yenicə öyrənməyə başlayan ibtidai sinif şagirdləri üçün uyğun deyil. Yaxşı olar ki, tanış olduqları şüşənin arxasındakı termini manipulyasiya edərək görünən obyektlər üzərində izah etsinlər. Məsələn, icad edilmiş, lakin mövcud olmayan oyuncaqlar orada yerləşir. Onlar "-" işarəsi ilə göstərilə bilər. İki güzgü obyektinin çoxaldılması onları real dünyaya bərabər olan başqa bir dünyaya köçürür, yəni nəticədə biz əldə edirik. müsbət ədədlər. Amma mücərrəd çoxalma mənfi rəqəm müsbət tərəfdən yalnız hər kəsə tanış olan nəticə verir. Axı, "artı"nın "mənfi" ilə vurulması "mənfi" verir. Düzdür, uşaqlar əslində bütün riyazi nüansları anlamağa çalışmırlar.

Baxmayaraq ki, etiraf edək ki, bir çox insanlar üçün, hətta ilə Ali təhsil Bir çox qaydalar sirr olaraq qalır. Hər kəs riyaziyyatın gizlətdiyi bütün mürəkkəblikləri araşdırmaqda çətinlik çəkmədən müəllimlərin onlara öyrətdiklərini təbii qəbul edir. "Minus" üçün "minus" "artı" verir - istisnasız hər kəs bunu bilir. Bu həm tam, həm də kəsr ədədlər üçün doğrudur.