Օգտագործելով էքստրապոլացիա Microsoft Excel-ում: Ինտերպոլացիայի բանաձև երկու արժեքների միջև

Ինտերպոլացիա, ինտերպոլացիա (-իցլատ. միջպոլիս - « հարթեցված, նորացված, նորացված; փոխակերպված«) - հաշվողական մաթեմատիկայի մեջ գոյություն ունեցող դիսկրետ բազմությունից մեծության միջանկյալ արժեքները գտնելու մեթոդ. հայտնի արժեքներ. «Ինտերպոլացիա» տերմինն առաջին անգամ օգտագործել է Ջոն Ուոլիսն իր «Անսահմանի թվաբանությունը» (1656) տրակտատում։

Ֆունկցիոնալ վերլուծության մեջ գծային օպերատորների ինտերպոլացիան մի հատված է, որը Բանախի տարածությունները վերաբերվում է որպես որոշ կատեգորիայի տարրերի:

Նրանցից շատերը, ովքեր զբաղվում են գիտական ​​և ինժեներական հաշվարկներով, հաճախ ստիպված են գործել էմպիրիկ կամ պատահական ընտրանքով ստացված արժեքների հավաքածուներով: Որպես կանոն, այս հավաքածուների հիման վրա անհրաժեշտ է կառուցել մի ֆունկցիա, որի մեջ կարող են բարձր ճշգրտությամբ ընկնել այլ ստացված արժեքներ: Այս խնդիրը կոչվում է մոտարկում: Ինտերպոլացիան մոտարկման մի տեսակ է, որի դեպքում կառուցված ֆունկցիայի կորն անցնում է ճշգրիտ առկա տվյալների կետերով:

Գոյություն ունի նաև ինտերպոլացիային մոտ առաջադրանք, որը բաղկացած է բարդ ֆունկցիայի մեկ այլ, ավելի պարզ ֆունկցիայի մոտավորմամբ։ Եթե ​​որոշակի գործառույթը չափազանց բարդ է արտադրողական հաշվարկների համար, կարող եք փորձել հաշվարկել դրա արժեքը մի քանի կետերում, և դրանցից կառուցել, այսինքն՝ ինտերբոլացնել, ավելին. պարզ գործառույթ. Իհարկե, պարզեցված ֆունկցիայի օգտագործումը նույնքան ճշգրիտ արդյունքներ չի բերի, որքան սկզբնական գործառույթը: Սակայն խնդիրների որոշ դասերում հաշվարկների պարզության և արագության ձեռք բերված շահը կարող է գերազանցել արդյունքների սխալը:

Հարկ է նշել նաև մաթեմատիկական ինտերպոլացիայի բոլորովին այլ տեսակ, որը հայտնի է որպես օպերատորի ինտերպոլացիա: TO դասական ստեղծագործություններօպերատորների ինտերպոլացիայի վրա ներառում են Ռիես-Տորինի թեորեմը և Մարցինկիևիչի թեորեմը, որոնք հիմք են հանդիսանում բազմաթիվ այլ աշխատանքների համար:

Սահմանումներ

Դիտարկենք ոչ համընկնող կետերի համակարգ x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) ինչ-որ շրջանից D ( \ցուցադրման ոճ Դ) . Թող f ֆունկցիայի արժեքները (\displaystyle f) հայտնի լինեն միայն այս կետերում.

Y i = f (x i), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Ինտերպոլացիայի խնդիրն է՝ գտնել F ֆունկցիա (\displaystyle F) ֆունկցիաների տվյալ դասից, որպեսզի

F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• x i (\displaystyle x_(i)) կետերը կոչվում են ինտերպոլացիոն հանգույցներ, իսկ դրանց ամբողջությունն է ինտերպոլացիայի ցանց.
• Զույգերը (x i, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) կոչվում են տվյալների կետերկամ բազային կետեր.
• «Հարևան» արժեքների միջև տարբերությունը Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - ինտերպոլացիայի ցանցի քայլ. Այն կարող է լինել կամ փոփոխական կամ հաստատուն:
• Գործառույթ F (x) (\displaystyle F(x)) - interpolating ֆունկցիակամ ինտերպոլանտ.

Օրինակ

1. Եկեք ունենանք աղյուսակի ֆունկցիա, ինչպես ստորև նկարագրվածը, որը x-ի մի քանի արժեքների համար (\displaystyle x) որոշում է f-ի համապատասխան արժեքները (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

Ինտերպոլացիան օգնում է մեզ իմանալ, թե ինչ արժեք կարող է ունենալ նման ֆունկցիան նշված կետերից տարբերվող կետում (օրինակ, երբ x = 2,5).

Մինչ այժմ կան շատերը տարբեր ձևերովինտերպոլացիա. Ամենահարմար ալգորիթմի ընտրությունը կախված է հարցերի պատասխաններից՝ որքանո՞վ է ճշգրիտ ընտրված մեթոդը, որքա՞ն է դրա կիրառման արժեքը, որքան հարթ է ինտերպոլացիայի ֆունկցիան, քանի՞ տվյալների կետ է այն պահանջում և այլն։

2. Գտե՛ք միջանկյալ արժեքը (գծային ինտերպոլացիայով):

15.5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 ∗ (19.2 - 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000)(8000-6) 15.5)) (1)) = 16.1993)

Ծրագրավորման լեզուներով

Գծային ինտերպոլացիայի օրինակ y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) ֆունկցիայի համար: Օգտագործողը կարող է մուտքագրել 1-ից 10 համար:

Ֆորտրան

C++

Ինտերպոլացիայի մեթոդներ

Մոտակա հարևանի ինտերպոլացիա

Ինտերպոլացիայի ամենապարզ մեթոդը մոտակա հարևանի միջակայքի մեթոդն է:

Ինտերպոլացիա բազմանդամների միջոցով

Գործնականում ամենից հաճախ օգտագործվում է բազմանդամների միջոցով ինտերպոլացիա: Սա առաջին հերթին պայմանավորված է նրանով, որ բազմանդամները հեշտ են հաշվարկվում, դրանց ածանցյալները՝ անալիտիկորեն գտնելը, իսկ բազմանդամների բազմությունը խիտ է շարունակական ֆունկցիաների տարածության մեջ (Վայերշտրասի թեորեմ)։

• Գծային ինտերպոլացիա
• Նյուտոնի ինտերպոլացիայի բանաձևը
• Վերջնական տարբերության մեթոդ
• IMN-1 և IMN-2
• Լագրանժի բազմանդամ (ինտերպոլացիոն բազմանդամ)
• Aitken սխեման
• Spline ֆունկցիա
• Խորանարդ գիծ

Հակադարձ ինտերպոլացիա (հաշվելով x տրված y-ին)

• Լագրանժի բազմանդամ
• Հակադարձ ինտերպոլացիա՝ օգտագործելով Նյուտոնի բանաձևը
• Հակադարձ ինտերպոլացիա՝ օգտագործելով Գաուսի բանաձևը

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ինտերպոլացիա

• Երկգծային ինտերպոլացիա
• Bicubic interpolation

Ինտերպոլացիայի այլ մեթոդներ

• Ռացիոնալ ինտերպոլացիա
• Եռանկյունաչափական ինտերպոլացիա

Առնչվող հասկացություններ

• Էքստրապոլացիա - տվյալ միջակայքից դուրս կետեր գտնելու մեթոդներ (կորի ընդլայնում)
• Մոտավորություն - մոտավոր կորեր կառուցելու մեթոդներ

Հակադարձ ինտերպոլացիա

C2 տարածությունից այն ֆունկցիաների դասի վրա, որոնց գրաֆիկներն անցնում են զանգվածի կետերով (xi, yi), i = 0, 1, . . . , մ.

Լուծում. Բոլոր ֆունկցիաների մեջ, որոնք անցնում են հղման կետերով (xi, f(xi)) և պատկանում են նշված տարածությանը, դա S(x) խորանարդ սպինն է՝ բավարարելով սահմանային պայմանները S00(a) = S00(b) = 0։ , որն ապահովում է ծայրահեղ (նվազագույն) ֆունկցիոնալ I(f):

Հաճախ պրակտիկայում խնդիր է առաջանում արգումենտի արժեքը փնտրելիս՝ օգտագործելով ֆունկցիայի տվյալ արժեքը: Այս խնդիրը լուծվում է հակադարձ ինտերպոլացիայի մեթոդներով։ Եթե տրված գործառույթըմիապաղաղ է, ապա հակադարձ ինտերպոլացիան ամենահեշտն իրականացվում է ֆունկցիան արգումենտով փոխարինելով և հակառակը, այնուհետև ինտերպոլացնելով: Եթե ​​տվյալ ֆունկցիան միապաղաղ չէ, ապա այս տեխնիկան չի կարող օգտագործվել։ Այնուհետև, առանց ֆունկցիայի և փաստարկի դերերը փոխելու, մենք գրում ենք ինտերպոլացիայի այս կամ այն ​​բանաձևը. Օգտագործելով փաստարկի հայտնի արժեքները և, ենթադրելով, որ ֆունկցիան հայտնի է, մենք լուծում ենք ստացված հավասարումը փաստարկի նկատմամբ:

Մնացած տերմինի գնահատումը առաջին տեխնիկան օգտագործելիս կլինի նույնը, ինչ ուղղակի ինտերպոլացիայի դեպքում, միայն ուղղակի ֆունկցիայի ածանցյալները պետք է փոխարինվեն հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալներով: Եկեք գնահատենք երկրորդ մեթոդի սխալը։ Եթե ​​մեզ տրվի f(x) ֆունկցիա, իսկ Ln (x)-ը Լագրանժի ինտերպոլացիոն բազմանդամ է, որը կառուցված է այս ֆունկցիայի համար x0, x1, x2, . հանգույցներից: . . , xn, ապա

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x− x0) . . . (x− xn) .

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք x¯-ի արժեքը, որի համար տրված է f (¯x) = y¯ (y¯): Մենք կլուծենք Ln (x) = y¯ հավասարումը: Եկեք որոշենք x¯ արժեք: Փոխարինելով նախորդ հավասարմանը, մենք ստանում ենք.

Վերջին արտահայտությունից հետևում է.

|x¯ − x¯| 6մ1(n+1)! |$n(x¯)| .

Այս դեպքում, իհարկե, ենթադրվում է, որ մենք ճշգրտորեն լուծել ենք Ln (x) = y հավասարումը:

Օգտագործելով ինտերպոլացիա՝ աղյուսակներ ստեղծելու համար

Ինտերպոլացիայի տեսությունը կիրառություն ունի ֆունկցիաների աղյուսակների կազմման մեջ։ Ստանալով նման խնդիր՝ մաթեմատիկոսը պետք է լուծի մի շարք հարցեր, նախքան հաշվարկները սկսելը։ Պետք է ընտրվի բանաձև, որով կիրականացվեն հաշվարկները։ Այս բանաձևը կարող է տարբեր լինել կայքից կայք: Սովորաբար, ֆունկցիաների արժեքները հաշվարկելու բանաձևերը ծանր են, և, հետևաբար, դրանք օգտագործվում են որոշ հղման արժեքներ ստանալու համար, այնուհետև, ենթաաղյուսակավորման միջոցով, աղյուսակը խտացվում է: Բանաձևը, որը տալիս է ֆունկցիայի հղման արժեքները, պետք է ապահովի աղյուսակների պահանջվող ճշգրտությունը՝ հաշվի առնելով հետևյալ ենթաաղյուսակը. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ստեղծել աղյուսակներ մշտական ​​քայլով, ապա նախ պետք է որոշել դրա քայլը:

Վերադառնալ Առաջին Նախորդ Հաջորդ Վերջին Վերջին Գնալ դեպի ինդեքս

Ամենից հաճախ ֆունկցիաների աղյուսակները կազմվում են այնպես, որ հնարավոր լինի գծային ինտերպոլացիա (այսինքն՝ ինտերպոլացիա՝ օգտագործելով Թեյլորի բանաձևի առաջին երկու անդամները): Այս դեպքում մնացած ժամկետը կունենա ձևը

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t - 1).

Այստեղ ξ-ը պատկանում է արգումենտի երկու հարակից աղյուսակի արժեքների միջև եղած միջակայքին, որում գտնվում է x-ը, իսկ t-ը 0-ի և 1-ի միջև է: t(t − 1) արտադրյալը վերցնում է ամենամեծ մոդուլը:

արժեքը t = 12-ում: Այս արժեքը 14 է: Այսպիսով,

Պետք է հիշել, որ միջանկյալ արժեքների գործնական հաշվարկում այս սխալի հետ մեկտեղ՝ մեթոդի սխալը, կառաջանա նաև անուղղելի սխալ և կլորացման սխալ: Ինչպես տեսանք ավելի վաղ, գծային ինտերպոլացիայի ճակատագրական սխալը հավասար կլինի աղյուսակավորված ֆունկցիայի արժեքների սխալին: Կլորացման սխալը կախված կլինի հաշվողական հնարավորություններից և հաշվարկային ծրագրից:

Վերադառնալ Առաջին Նախորդ Հաջորդ Վերջին Վերջին Գնալ դեպի ինդեքս

Առարկայական ինդեքս

առանձնացված տարբերություններ երկրորդ կարգի, 8 առաջին կարգի, 8

պտույտ, 15

ինտերպոլացիոն հանգույցներ, 4

Վերադառնալ Առաջին Նախորդ Հաջորդ Վերջին Վերջին Գնալ դեպի ինդեքս

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Ինչպես կատարել ինտերպոլացիա

Աղյուսակային տվյալների ինտերպոլացիայի բանաձև

Օգտագործվում է 2-րդ գործողության մեջ, երբ վիճակից NHR (Q, t) գումարը միջանկյալ է 100 տ և 300 տ.

(Բացառություն.եթե Q պայմանով հավասար է 100-ի կամ 300-ի, ապա ինտերպոլացիա պետք չէ):

y o- Ձեր նախնական քանակությունը NHR վիճակից՝ տոննաներով

(համապատասխանում է Q տառին)

y 1 – ավելի փոքր

(11-16 աղյուսակներից, սովորաբար հավասար է 100-ի).

y 2 – ավելին NHR-ի քանակի արժեքը ձեզ ամենամոտ՝ տոննաներով

(11-16 աղյուսակներից, սովորաբար հավասար է 300-ի).

x 1 y 1 (x 1 գտնվում է դիմաց y 1 ), կմ.

x 2 – աղտոտված օդի ամպի բաշխման խորության աղյուսակ (Gt) համապատասխանաբար y 2 (x 2 գտնվում է դիմաց y 2 ), կմ.

x 0 - պահանջվող արժեք Գ Տհամապատասխան y o(ըստ բանաձևի):

Օրինակ.

NHR - քլոր; Q = 120 տ;

SVSP-ի տեսակը (ուղղահայաց օդային դիմադրության աստիճան) – ինվերսիա:

Գտեք Գ Տ- աղտոտված օդի ամպի բաշխման խորության աղյուսակի արժեքը:

Մենք ուսումնասիրում ենք 11-16 աղյուսակները և գտնում տվյալներ, որոնք համապատասխանում են ձեր վիճակին (քլոր, ինվերսիա):

Աղյուսակ 11-ը հարմար է:

Արժեքների ընտրություն y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Կարևոր – քամու արագությունը վերցրեք 1 մ/վրկ, ջերմաստիճանը՝ 20 °C:

Մենք ընտրված արժեքները փոխարինում ենք բանաձևի մեջ և գտնում x 0 .

Կարևոր - հաշվարկը ճիշտ է, եթե x 0 ինչ-որ տեղ արժեք կունենա x 1 , x 2 .

1.4. Լագրանժի ինտերպոլացիայի բանաձևը

Լագրանժի առաջարկած ալգորիթմը ինտերպոլացիայի կառուցման համար

(1) աղյուսակներից ստացված ֆունկցիաները նախատեսում են Ln(x) ինտերպոլացիոն բազմանդամի կառուցում.

Ակնհայտ է, որ (10) (10) պայմանների կատարումը որոշում է ինտերպոլացիայի խնդիրը սահմանելու համար (2) պայմանների կատարումը:

Li(x) բազմանդամները գրվում են հետևյալ կերպ

Նկատի ունեցեք, որ (14) բանաձևի հայտարարի ոչ մի գործակից հավասար չէ զրոյի: Հաշվարկելով ci հաստատունների արժեքները, կարող եք դրանք օգտագործել տվյալ կետերում ինտերպոլացված ֆունկցիայի արժեքները հաշվարկելու համար:

Լագրանժի ինտերպոլացիայի բազմանդամի բանաձևը (11), հաշվի առնելով (13) և (14) բանաձևերը, կարելի է գրել այսպես.

1.4.1.Ձեռքով հաշվարկների կազմակերպում Լագրանժի բանաձևով

Lagrange բանաձևի ուղղակի կիրառումը հանգեցնում է մեծ թվով նմանատիպ հաշվարկների: Փոքր չափի աղյուսակների համար այս հաշվարկները կարող են կատարվել կամ ձեռքով կամ ծրագրային միջավայրում

Առաջին փուլում մենք կդիտարկենք ձեռքով հաշվարկների ալգորիթմ: Հետագայում այս նույն հաշվարկները պետք է կրկնվեն շրջակա միջավայրում

Microsoft Excel կամ OpenOffice.org Calc.

Նկ. Նկար 6-ը ցույց է տալիս չորս հանգույցներով սահմանված ինտերպոլացված ֆունկցիայի սկզբնական աղյուսակի օրինակ:

Նկ.6. Աղյուսակ, որը պարունակում է նախնական տվյալներ ինտերպոլացված ֆունկցիայի չորս հանգույցների համար

Աղյուսակի երրորդ սյունակում մենք գրում ենք qi գործակիցների արժեքները, որոնք հաշվարկվում են բանաձևերի միջոցով (14): Ստորև բերված է այս բանաձևերի գրառումը n=3-ի համար:

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Ձեռքով հաշվարկների իրականացման հաջորդ քայլը li(x) (j=0,1,2,3) արժեքների հաշվարկն է, որը կատարվում է ըստ բանաձևերի (13):

Եկեք գրենք այս բանաձևերը մեր դիտարկած չորս հանգույցներով աղյուսակի տարբերակի համար.

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

Հաշվենք li(xj) բազմանդամների արժեքները (j=0,1,2,3) և գրենք աղյուսակի բջիջներում։ Ycalc(x) ֆունկցիայի արժեքները, ըստ (11) բանաձևի, կստացվեն li(xj) արժեքները տողով գումարելու արդյունքում:

Աղյուսակի ձևաչափը, ներառյալ li(xj) հաշվարկված արժեքների սյունակները և Ycalc(x) արժեքների սյունակը ներկայացված է Նկար 8-ում:

Բրինձ. 8. Աղյուսակ xi արգումենտի բոլոր արժեքների համար (16), (17) և (11) բանաձևերով կատարված ձեռքով հաշվարկների արդյունքներով

Ստեղծելով աղյուսակում ներկայացված աղյուսակը. 8, օգտագործելով (17) և (11) բանաձևերը, կարող եք հաշվարկել ինտերպոլացված ֆունկցիայի արժեքը X փաստարկի ցանկացած արժեքի համար: Օրինակ, X=1-ի համար մենք հաշվարկում ենք li(1) արժեքները (i=0, 1,2,3):

l0 (1) = 0,7763; l1 (1) = 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966:

Ամփոփելով li(1) արժեքները՝ ստանում ենք Yinterp(1)=3.1463 արժեքը:

1.4.2. Լագրանժի բանաձևերի օգտագործմամբ ինտերպոլացիայի ալգորիթմի ներդրում Microsoft Excel ծրագրի միջավայրում

Ինտերպոլացիայի ալգորիթմի իրականացումը սկսվում է, ինչպես ձեռքով հաշվարկներով, qi գործակիցների հաշվարկման բանաձևեր գրելով Նկ. Նկար 9-ը ցույց է տալիս աղյուսակի սյունակները փաստարկի տրված արժեքներով, ինտերպոլացված ֆունկցիայով և qi գործակիցներով: Այս աղյուսակի աջ կողմում C սյունակի բջիջներում գրված են qi գործակիցների արժեքները հաշվարկելու բանաձևերը:

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ж q0

ВС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ж q1

ВС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ж q2

ВС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3

Բրինձ. 9 Ցի գործակիցների աղյուսակ և հաշվարկման բանաձևեր

C2 բջիջում q0 բանաձևը մուտքագրելուց հետո այն երկարացվում է C3-ից մինչև C5 բջիջներով: Այնուհետև այս բջիջների բանաձևերը (16)-ի համաձայն ճշգրտվում են Նկ. 9.

Իրականացնելով բանաձևերը (17), մենք գրում ենք D, E, F և G սյունակների բջիջներում li(x) (i=0,1,2,3) արժեքները հաշվարկելու բանաձևեր: D2 բջիջում արժեքը հաշվարկելու համար l0(x0) մենք գրում ենք բանաձևը.

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

մենք ստանում ենք l0 (xi) արժեքները (i=0,1,2,3):

$A2 հղման ձևաչափը թույլ է տալիս բանաձևը ձգել E, F, G սյունակների վրա՝ li(x0) (i=1,2,3) հաշվարկման համար հաշվարկային բանաձևեր կազմելու համար։ Երբ բանաձև եք քաշում տողի վրայով, փաստարկների սյունակի ինդեքսը չի փոխվում: l0(x0) բանաձեւը գծելուց հետո li(x0) (i=1,2,3) հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է դրանք ուղղել ըստ (17) բանաձեւերի։

H սյունակում տեղադրում ենք Excel-ի բանաձևերը՝ ըստ բանաձևի li(x) գումարելու համար

(11) ալգորիթմ.

Նկ. Նկար 10-ում ներկայացված է Microsoft Excel ծրագրի միջավայրում իրականացված աղյուսակը: Աղյուսակի բջիջներում գրված բանաձևերի և կատարված հաշվողական գործողությունների ճշգրտության նշան են ստացված անկյունագծային մատրիցը li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), կրկնելով Նկ. 8 և արժեքների սյունակ, որը համընկնում է աղբյուրի աղյուսակի հանգույցներում ինտերպոլացված ֆունկցիայի արժեքների հետ:

Բրինձ. 10. Li(xj) (j=0,1,2,3) և Ycalc(xj) արժեքների աղյուսակ

Որոշ միջանկյալ կետերում արժեքներ հաշվարկելու համար բավական է

A սյունակի բջիջներում, սկսած A6 բջիջից, մուտքագրեք X արգումենտի արժեքները, որոնց համար ցանկանում եք որոշել ինտերպոլացված ֆունկցիայի արժեքները: Ընտրել

աղյուսակի վերջին (5-րդ) տողում l0(xn)-ից մինչև Ycalc(xn) բջիջները և ընտրված բջիջներում գրված բանաձևերը ձգեք մինչև վերջինը պարունակող տողը

x փաստարկի նշված արժեքը:

Նկ. 11-ը ցույց է տալիս աղյուսակ, որտեղ ֆունկցիայի արժեքը հաշվարկվում է երեք կետերում՝ x=1, x=2 և x=3: Աղյուսակում լրացուցիչ սյունակ է մտցվել աղբյուրի տվյալների աղյուսակի տողերի համարներով:

Բրինձ. 11. Ինտերպոլացված ֆունկցիաների արժեքների հաշվարկ՝ օգտագործելով Լագրանժի բանաձևերը

Ինտերպոլացիայի արդյունքների ցուցադրման ավելի մեծ պարզության համար մենք կկառուցենք աղյուսակ, որը ներառում է արգումենտ X արժեքների սյունակ՝ դասավորված աճման կարգով, Y(X) ֆունկցիայի սկզբնական արժեքների սյունակ և սյունակ։

Ասա ինձ, թե ինչպես օգտագործել ինտերպոլացիայի բանաձևը և որը թերմոդինամիկայի (ջերմային ճարտարագիտության) խնդիրների լուծման համար:

Իվան Շեստակովիչ

Ամենապարզ, բայց հաճախ բավականաչափ ոչ ճշգրիտ ինտերպոլացիան գծային է: Երբ դուք արդեն ունեք երկու հայտնի կետեր (X1 Y1) և (X2 Y2), և դուք պետք է գտնեք որոշ X-ի օրվա Y արժեքները, որը գտնվում է X1-ի և X2-ի միջև: Այնուհետեւ բանաձեւը պարզ է.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+Y1
Ի դեպ, այս բանաձևը գործում է նաև X արժեքների համար X1..X2 միջակայքից դուրս, բայց սա արդեն կոչվում է էքստրապոլացիա և այս ինտերվալից զգալի հեռավորության վրա շատ մեծ սխալ է տալիս:
Շատ այլ հայհոյանքներ կան. ինտերպոլացիայի մեթոդներ - Ես ձեզ խորհուրդ եմ տալիս կարդալ դասագիրք կամ զննել ինտերնետը:
Հնարավոր է նաև գրաֆիկական ինտերպոլացիայի մեթոդը՝ ձեռքով գծեք գրաֆիկ հայտնի կետերի միջով և գրաֆիկից գտեք Y պահանջվող X-ի համար: ;)

Վեպ

Դուք երկու իմաստ ունեք. Եվ մոտավորապես կախվածությունը (գծային, քառակուսի, ..)
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է ձեր երկու կետերով։ Ձեզ անհրաժեշտ է արժեք ինչ-որ տեղ արանքում: Դե, դուք արտահայտում եք դա:
Օրինակ. Աղյուսակում 22 աստիճան ջերմաստիճանում հագեցած գոլորշիների ճնշումը 120000 Պա է, իսկ 26-ում՝ 124000 Պա։ Այնուհետև 23 աստիճան 121000 Պա ջերմաստիճանում:

Ինտերպոլացիա (կոորդինատներ)

Քարտեզի վրա կա կոորդինատային ցանց (պատկեր):
Դրա վրա կան մի քանի հայտնի հղման կետեր (n>3), որոնցից յուրաքանչյուրն ունի երկու x,y արժեքներ- կոորդինատները պիքսելներով, իսկ կոորդինատները մետրերով:
Պետք է գտնել միջանկյալ արժեքներկոորդինատները մետրերով՝ իմանալով կոորդինատները պիքսելներով:
Գծային ինտերպոլացիան հարմար չէ. գծից դուրս սխալը չափազանց մեծ է:
Այսպես. (Xc-ը կոորդինատն է մետրերով ox-ի երկայնքով, Xp-ը կոորդինատն է պիքսելներով ox-ի երկայնքով, Xc3-ը ցանկալի արժեքն է ox-ում)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Ինչպե՞ս գտնել Xc և Yc գտնելու նույն բանաձևը՝ հաշվի առնելով ոչ թե երկու (ինչպես այստեղ), այլ N հայտնի հղման կետերը:

Joka fern lowd

Դատելով գրավոր բանաձևերից՝ կոորդինատային համակարգերի առանցքները պիքսելներով և մետրերով համընկնում են:
Այսինքն՝ Xp -> Xc-ն անկախ ինտերպոլացված է, իսկ Yp -> Yc-ն՝ անկախ: Եթե ​​ոչ, ապա դուք պետք է օգտագործեք երկչափ ինտերպոլացիա Xp,Yp->Xc և Xp,Yp->Yc, ինչը որոշակիորեն բարդացնում է խնդիրը:
Այնուհետև ենթադրվում է, որ Xp և Xc կոորդինատները կապված են որոշակի կախվածությամբ:
Եթե ​​հայտնի է կախվածության բնույթը (կամ ենթադրվում է, օրինակ, ենթադրում ենք, որ Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), ապա հնարավոր է ստանալ այդ կախվածության պարամետրերը (տվյալ կախվածության համար. ա, բ, գ) օգտագործելով ռեգրեսիոն վերլուծություն (մեթոդ նվազագույն քառակուսիները) . Այս մեթոդով, եթե դուք նշում եք որոշակի կախվածություն Xc(Xp), ապա կարող եք ստանալ բանաձև՝ հղումային տվյալներից կախվածության պարամետրերի համար: Այս մեթոդը թույլ է տալիս, մասնավորապես, գտնել գծային հարաբերություն, որը լավագույնս համապատասխանում է տվյալ տվյալների հավաքածուին:
Թերություն. Այս մեթոդում Xc կոորդինատները, որոնք ստացվում են Xp կառավարման կետերի տվյալներից, կարող են տարբերվել նշվածներից: Օրինակ, փորձարարական կետերով գծված մոտավոր ուղիղ գիծը հենց այդ կետերով չի անցնում:
Եթե ​​պահանջվում է ճշգրիտ համապատասխանություն, և կախվածության բնույթն անհայտ է, ապա պետք է օգտագործվեն ինտերպոլացիայի մեթոդներ: Մաթեմատիկորեն ամենապարզը Լագրանժի ինտերպոլացիոն բազմանդամն է, որն անցնում է ճշգրիտ հղման կետերով: Այնուամենայնիվ, շնորհիվ բարձր աստիճանայս բազմանդամը ժամը մեծ թվովհղման կետերը և ինտերպոլացիայի վատ որակը, ավելի լավ է չօգտագործել այն: Առավելությունը համեմատաբար պարզ բանաձեւն է.
Ավելի լավ է օգտագործել spline interpolation: Այս մեթոդի էությունն այն է, որ երկու հարևան կետերի միջև ընկած յուրաքանչյուր հատվածում ուսումնասիրվող կախվածությունը ինտերպոլացվում է բազմանդամով, և հարթության պայմանները գրվում են երկու միջակայքերի միացման կետերում: Այս մեթոդի առավելությունը ինտերպոլացիայի որակն է: Թերությունները - գրեթե անհնար է ընդհանուր բանաձև ստանալ, դուք պետք է ալգորիթմորեն գտնեք բազմանդամի գործակիցները: Մեկ այլ թերություն երկչափ ինտերպոլացիայի ընդհանրացման դժվարությունն է:

Ինտերպոլացիա. Ներածություն. Խնդրի ընդհանուր հայտարարություն

Տարբեր գործնական խնդիրներ լուծելիս հետազոտության արդյունքները ներկայացվում են աղյուսակների տեսքով, որոնք ցույց են տալիս մեկ կամ մի քանի չափված մեծությունների կախվածությունը մեկ որոշիչ պարամետրից (փաստարկ): Այս տեսակի աղյուսակները սովորաբար ներկայացված են երկու կամ ավելի տողերի (սյունակների) տեսքով և օգտագործվում են մաթեմատիկական մոդելներ ձևավորելու համար:

Մաթեմատիկական մոդելներում նշված գործառույթները սովորաբար գրվում են հետևյալ ձևի աղյուսակներում.

Նման աղյուսակների սահմանափակ տեղեկատվությունը որոշ դեպքերում պահանջում է ստանալ Y j (X) (j=1,2,…,m) ֆունկցիաների արժեքները X կետերում, որոնք չեն համընկնում X i աղյուսակի հանգուցային կետերի հետ։ (i=0,1,2,… ,n) . Նման դեպքերում անհրաժեշտ է որոշել որոշ վերլուծական φ j (X) արտահայտություն՝ կամայականորեն նշված X կետերում Y j (X) ֆունկցիայի մոտավոր արժեքները հաշվարկելու համար: Ֆ j (X) ֆունկցիան, որն օգտագործվում է Y j (X) ֆունկցիայի մոտավոր արժեքները որոշելու համար, կոչվում է մոտավոր ֆունկցիա (լատիներեն approximo - մոտենում է): Մոտավորվող φ j (X) ֆունկցիայի մոտավորությունը մոտավոր Y j (X) ֆունկցիային ապահովվում է համապատասխան մոտարկման ալգորիթմի ընտրությամբ։

Մենք բոլոր հետագա նկատառումները և եզրակացությունները կանենք ուսումնասիրվող մեկ ֆունկցիայի սկզբնական տվյալներ պարունակող աղյուսակների համար (այսինքն՝ m=1 աղյուսակների համար):

1. Ինտերպոլացիայի մեթոդներ

1.1 Ինտերպոլացիայի խնդրի դրույթ

Ամենից հաճախ φ(X) ֆունկցիան որոշելու համար օգտագործվում է մի ձևակերպում, որը կոչվում է ինտերպոլացիայի խնդրի ձևակերպում։

Ինտերպոլացիայի խնդրի այս դասական ձևակերպման մեջ պահանջվում է որոշել φ(X) մոտավոր անալիտիկ ֆունկցիան, որի արժեքները X i հանգուցային կետերում: համապատասխանել արժեքներինԲնօրինակ աղյուսակի Y(Х i), այսինքն. պայմանները

Այս ձևով կառուցված φ(X) մոտավոր ֆունկցիան թույլ է տալիս բավականին մոտավոր մոտավորություն ստանալ ինտերպոլացված Y(X) ֆունկցիային արգումենտի արժեքների միջակայքում [X 0; X n ], որը որոշվում է աղյուսակով: X փաստարկի արժեքները նշելիս, չպատկանողայս միջակայքում ինտերպոլացիայի խնդիրը վերածվում է էքստրապոլացիայի խնդրի: Այս դեպքերում ճշգրտությունը

φ(X) ֆունկցիայի արժեքները հաշվարկելիս ստացված արժեքները կախված են X արգումենտի արժեքի հեռավորությունից X 0-ից, եթե X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

ժամը մաթեմատիկական մոդելավորումինտերպոլացիոն ֆունկցիան կարող է օգտագործվել ենթաինտերվալների միջանկյալ կետերում ուսումնասիրվող ֆունկցիայի մոտավոր արժեքները հաշվարկելու համար [Х i; X i+1]. Այս ընթացակարգը կոչվում է սեղանի սեղմում.

Ինտերպոլացիայի ալգորիթմը որոշվում է φ(X) ֆունկցիայի արժեքների հաշվարկման մեթոդով: Ինտերպոլացման ֆունկցիայի իրականացման ամենապարզ և ակնհայտ տարբերակն ուսումնասիրվող Y(X) ֆունկցիայի փոխարինումն է [X i ; X i+1 ] Y i, Y i+1 կետերը միացնող ուղիղ գծով։ Այս մեթոդը կոչվում է գծային ինտերպոլացիայի մեթոդ:

1.2 Գծային ինտերպոլացիա

Գծային ինտերպոլացիայով X i և X i+1 հանգույցների միջև գտնվող X կետում ֆունկցիայի արժեքը որոշվում է աղյուսակի երկու հարակից կետերը միացնող ուղիղ գծի բանաձևով։

Նկ. 1-ում ներկայացված է Y(X) որոշակի մեծության չափումների արդյունքում ստացված աղյուսակի օրինակ: Աղբյուրի աղյուսակի տողերը ընդգծված են: Աղյուսակից աջ կողմում պատկերված է այս աղյուսակին համապատասխան ցրված սյուժեն: Աղյուսակը սեղմվում է բանաձևով

(3) մոտավոր ֆունկցիայի արժեքները X կետերում, որոնք համապատասխանում են ենթաինտերվալների միջնակետերին (i=0, 1, 2, …, n):

Նկ.1. Y(X) ֆունկցիայի խտացված աղյուսակը և դրա համապատասխան գծապատկերը

Նկ.-ի գրաֆիկը դիտարկելիս: 1 երևում է, որ գծային ինտերպոլացիայի մեթոդով աղյուսակը սեղմելու արդյունքում ստացված կետերը գտնվում են սկզբնական աղյուսակի կետերը միացնող ուղիղ հատվածների վրա։ Գծային ճշգրտություն

ինտերպոլացիա, էապես կախված է ինտերպոլացված ֆունկցիայի բնույթից և X i, , X i+1 աղյուսակի հանգույցների միջև եղած հեռավորությունից։

Ակնհայտ է, որ եթե ֆունկցիան հարթ է, ապա, նույնիսկ հանգույցների միջև համեմատաբար մեծ հեռավորության դեպքում, ուղիղ գծերի հատվածներով կետերը միացնելու միջոցով կառուցված գրաֆիկը թույլ է տալիս բավականին ճշգրիտ գնահատել Y(X) ֆունկցիայի բնույթը: Եթե ​​ֆունկցիան բավականին արագ փոխվում է, իսկ հանգույցների միջև հեռավորությունները մեծ են, ապա գծային ինտերպոլացիոն ֆունկցիան թույլ չի տալիս իրական ֆունկցիային բավականաչափ ճշգրիտ մոտարկում ստանալ։

Գծային ինտերպոլացիայի ֆունկցիան կարող է օգտագործվել ընդհանուր նախնական վերլուծության և ինտերպոլացիայի արդյունքների ճշգրտության գնահատման համար, որոնք այնուհետև ստացվում են այլ ավելի ճշգրիտ մեթոդներով: Այս գնահատումը հատկապես տեղին է դառնում այն ​​դեպքերում, երբ հաշվարկները կատարվում են ձեռքով:

1.3 Ինտերպոլացիա կանոնական բազմանդամով

Կանոնական բազմանդամով ֆունկցիան ինտերբոլացնելու մեթոդը հիմնված է ինտերբոլացիոն ֆունկցիան որպես բազմանդամ [1] ձևով կառուցելու վրա։

(4) բազմանդամի c i գործակիցները ազատ ինտերպոլացիայի պարամետրեր են, որոնք որոշվում են Լագրանժի պայմաններից.

Pn (xi)= Yi, (i= 0, 1, ..., n)

Օգտագործելով (4) և (5) մենք գրում ենք հավասարումների համակարգը

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի i (i = 0, 1, 2, …, n) լուծման վեկտորը (6) գոյություն ունի և կարելի է գտնել, եթե i-ի միջև չկան համապատասխան հանգույցներ: (6) համակարգի որոշիչը կոչվում է Վանդերմոնդի որոշիչ1 և ունի վերլուծական արտահայտություն [2]։

1 Vandermonde որոշիչ կոչվում է որոշիչ

Այն հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե որոշների համար xi = xj: (Նյութը՝ Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից)

i-ով գործակիցների արժեքները որոշելու համար (i = 0, 1, 2, …, n)

հավասարումները (5) կարելի է գրել վեկտոր-մատրիցային տեսքով

A* C= Y,

որտեղ A, գործակիցների մատրիցը, որը որոշվում է փաստարկների վեկտորի աստիճանների աղյուսակով X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

C-ն i (i = 0, 1, 2, …, n) գործակիցների սյունակի վեկտորն է, իսկ Y-ը ինտերպոլացվածի Y i (i = 0, 1, 2, …, n) արժեքների սյունակի վեկտորն է: գործառույթը ինտերպոլացիայի հանգույցներում:

Գծային հանրահաշվական հավասարումների այս համակարգի լուծումը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով [3]-ում նկարագրված մեթոդներից մեկը։ Օրինակ, ըստ բանաձեւի

որտեղ A -1-ը A մատրիցի հակադարձ մատրիցն է: A -1 հակադարձ մատրիցը ստանալու համար կարող եք օգտագործել MOBR() ֆունկցիան, որը ներառված է Microsoft Excel ծրագրի ստանդարտ գործառույթների շարքում։

Այն բանից հետո, երբ i-ի հետ գործակիցների արժեքները որոշվեն (4) ֆունկցիայի միջոցով, ինտերպոլացված ֆունկցիայի արժեքները կարող են հաշվարկվել փաստարկների ցանկացած արժեքի համար:

Նկար 1-ում ներկայացված աղյուսակի համար գրենք A մատրիցը՝ առանց հաշվի առնելու աղյուսակը սեղմող տողերը։

Նկ.2 Կանոնական բազմանդամի գործակիցների հաշվարկման հավասարումների համակարգի մատրիցա.

Օգտագործելով MOBR() ֆունկցիան, մենք ստանում ենք A -1 մատրիցա A մատրիցին հակադարձ (նկ. 3): Որից հետո, համաձայն (9) բանաձևի, ստանում ենք C = ​​(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T գործակիցների վեկտորը, որը ներկայացված է Նկ. 4.

X 0 արժեքներին համապատասխանող Y սյունակի կանոնական բջիջում կանոնական բազմանդամի արժեքները հաշվարկելու համար մենք ներկայացնում ենք բանաձև, որը փոխակերպվել է հետևյալ ձևին, որը համապատասխանում է համակարգի զրոյական տողին (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Excel աղյուսակի բջիջում մուտքագրված բանաձևում «c i» գրելու փոխարեն պետք է բացարձակ հղում լինի համապատասխան բջիջին, որը պարունակում է այս գործակիցը (տե՛ս նկ. 4): «x 0»-ի փոխարեն՝ X սյունակի բջիջի հարաբերական հղում (տես նկ. 5):

Y կանոնական(0) արժեքի, որը համապատասխանում է Ylin(0) բջիջի արժեքին: Y կանոնական (0) բջիջի մեջ գրված բանաձևը ձգելիս պետք է համընկնեն բնագրի հանգուցային կետերին համապատասխանող Y կանոնական (i) արժեքները.

աղյուսակներ (տես նկ. 5):

Բրինձ. 5. Դիագրամներ, որոնք կառուցված են գծային և կանոնական ինտերպոլացիայի աղյուսակների միջոցով

Համեմատելով գծային և կանոնական ինտերպոլացիայի բանաձևերով հաշվարկված աղյուսակներից կառուցված ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ մի շարք միջանկյալ հանգույցներում տեսնում ենք գծային և կանոնական ինտերպոլացիայի բանաձևերի միջոցով ստացված արժեքների զգալի շեղում: Ինտերպոլացիայի ճշգրտության վերաբերյալ ավելի ողջամիտ դատողություն կարող է հիմնվել ստացման վրա լրացուցիչ տեղեկություններմոդելավորված գործընթացի բնույթի մասին:

Կա մի իրավիճակ, երբ անհրաժեշտ է միջանկյալ արդյունքներ գտնել հայտնի արժեքների զանգվածում: Մաթեմատիկայի մեջ դա կոչվում է ինտերպոլացիա: Excel-ում այս մեթոդը կարող է օգտագործվել ինչպես աղյուսակային տվյալների, այնպես էլ գրաֆիկների գծագրման համար: Եկեք նայենք այս մեթոդներից յուրաքանչյուրին:

Հիմնական պայմանը, որի դեպքում կարող է օգտագործվել ինտերպոլացիա, այն է, որ ցանկալի արժեքը պետք է լինի տվյալների զանգվածի ներսում և ոչ թե դրա սահմանից դուրս: Օրինակ, եթե մենք ունենք 15, 21 և 29 արգումենտների մի շարք, ապա մենք կարող ենք օգտագործել ինտերպոլացիա՝ 25-րդ արգումենտի ֆունկցիան գտնելու համար: Բայց 30-րդ արգումենտի համապատասխան արժեքը գտնելու ոչ մի կերպ այլևս չկա: Սա է այս ընթացակարգի և էքստրապոլացիայի հիմնական տարբերությունը:

Մեթոդ 1. Ինտերպոլացիա աղյուսակային տվյալների համար

Նախ, եկեք նայենք ինտերպոլացիայի կիրառություններին այն տվյալների համար, որոնք գտնվում են աղյուսակում: Օրինակ՝ վերցնենք արգումենտների զանգված և դրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքները, որոնց հարաբերությունները կարելի է նկարագրել. գծային հավասարում. Այս տվյալները ներկայացված են ստորև բերված աղյուսակում: Մենք պետք է գտնենք արգումենտի համապատասխան ֆունկցիան 28 . Դա անելու ամենահեշտ ձևը օպերատորի օգտագործումն է ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ.

Մեթոդ 2. ինտերպոլացնել գրաֆիկը՝ օգտագործելով դրա կարգավորումները

Ինտերպոլացիայի ընթացակարգը կարող է օգտագործվել նաև ֆունկցիայի գրաֆիկներ կառուցելիս: Դա տեղին է, եթե աղյուսակը, որի վրա հիմնված է գրաֆիկը, չի նշում արգումենտներից մեկի համապատասխան ֆունկցիայի արժեքը, ինչպես ստորև ներկայացված նկարում:

Ինչպես տեսնում եք, գրաֆիկը շտկվել է, և բացը հեռացվել է ինտերպոլացիայի միջոցով:

Մեթոդ 3. Ներգրավել գրաֆիկը՝ օգտագործելով ֆունկցիա

Կարող եք նաև ինտերպոլացնել գրաֆիկը՝ օգտագործելով հատուկ ND ֆունկցիան: Այն վերադարձնում է չսահմանված արժեքներ նշված բջիջում:

Դուք կարող եք դա անել նույնիսկ ավելի հեշտ, առանց վազելու Function Wizard, և պարզապես օգտագործեք ստեղնաշարը՝ արժեքը դատարկ բջիջ մուտքագրելու համար «#Չ/Ա»առանց չակերտների. Բայց դա կախված է նրանից, թե որ օգտագործողի համար որն է ավելի հարմար։

Ինչպես տեսնում եք, Excel-ում կարող եք ինտերպոլացնել որպես աղյուսակային տվյալներ՝ օգտագործելով ֆունկցիան ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆև գրաֆիկա։ Վերջին դեպքում դա կարելի է անել՝ օգտագործելով գծապատկերի կարգավորումները կամ օգտագործելով ֆունկցիան ՆԴսխալ առաջացնելով «#Չ/Ա». Որ մեթոդի ընտրությունը կախված է խնդրի հայտարարությունից, ինչպես նաև օգտագործողի անձնական նախասիրություններից: