Տուն→Ապրանքներ→Դուրս գրի՛ր ուղիղի շոշափողի հավասարումը: Առցանց հաշվիչ. Տրված կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին ուղիղ շոշափողի հավասարումը

Դուրս գրի՛ր ուղիղի շոշափողի հավասարումը: Առցանց հաշվիչ. Տրված կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին ուղիղ շոշափողի հավասարումը

Շոշափողը ուղիղ գիծ է , որը շոշափում է ֆունկցիայի գրաֆիկը մի կետում և որի բոլոր կետերը միացված են ամենակարճ հեռավորությունըֆունկցիայի գրաֆիկից։ Հետևաբար, շոշափողը որոշակի անկյան տակ անցնում է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող, իսկ տարբեր անկյուններով մի քանի շոշափողներ չեն կարող անցնել շոշափման կետով։ Գործառույթի գրաֆիկին շոշափող հավասարումները և նորմալ հավասարումները կառուցվում են ածանցյալի միջոցով:

Շոշափող հավասարումը ստացվում է գծային հավասարումից .

Բերենք շոշափողի հավասարումը, այնուհետև ֆունկցիայի գրաֆիկին նորմալի հավասարումը։

y = kx + բ .

Դրա մեջ կ- անկյունային գործակից:

Այստեղից մենք ստանում ենք հետևյալ գրառումը.

y - y 0 = կ(x - x 0 ) .

Ածանցյալ արժեք զ "(x 0 ) գործառույթները y = զ(x) կետում x0 հավասար է թեքությանը կ= tg φ կետով գծված ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող Մ0 (x 0 , y 0 ) , Որտեղ y0 = զ(x 0 ) . Սա է երկրաչափական իմաստածանցյալ .

Այսպիսով, մենք կարող ենք փոխարինել կվրա զ "(x 0 ) և ստացիր հետևյալը ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը :

y - y 0 = զ "(x 0 )(x - x 0 ) .

Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը կազմելու հետ կապված խնդիրներում (և մենք շուտով կանցնենք դրանց), պահանջվում է վերը նշված բանաձևից ստացված հավասարումը կրճատել մինչև. ուղիղ գծի հավասարումը ընդհանուր ձևով. Դա անելու համար հարկավոր է բոլոր տառերն ու թվերը տեղափոխել հավասարման ձախ կողմ, իսկ աջ կողմում թողնել զրո:

Հիմա նորմալ հավասարման մասին։ Նորմալ - սա ուղիղ գիծ է, որն անցնում է շոշափման կետով շոշափողին ուղղահայաց ֆունկցիայի գրաֆիկին: Նորմալ հավասարում :

(x - x 0 ) + զ "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Տաքանալու համար ձեզ խնդրում են ինքներդ լուծել առաջին օրինակը, այնուհետև նայեք լուծմանը: Բոլոր հիմքերը կան հուսալու, որ այս առաջադրանքը «սառը ցնցուղ» չի լինի մեր ընթերցողների համար։

Օրինակ 0.Ստեղծեք շոշափող և նորմալ հավասարում ֆունկցիայի գրաֆիկի համար մի կետում Մ (1, 1) .

Օրինակ 1.Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող և նորմալ հավասարում , եթե աբսցիսան շոշափելի է .

Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Այժմ մենք ունենք այն ամենը, ինչ պետք է փոխարինվի տեսական օգնության մեջ տրված մուտքի մեջ՝ շոշափող հավասարումը ստանալու համար: Մենք ստանում ենք

Այս օրինակում մեր բախտը բերեց. թեքությունը պարզվեց, որ զրոյական է, ուստի կարիք չկար առանձին-առանձին հավասարումը հասցնել ընդհանուր ձևի: Այժմ մենք կարող ենք ստեղծել նորմալ հավասարում.

Ստորև բերված նկարում՝ բորդո գույնով ֆունկցիայի գրաֆիկ, շոշափող կանաչ, նարնջագույն նորմալ։

Հաջորդ օրինակը նույնպես բարդ չէ՝ ֆունկցիան, ինչպես նախորդում, նույնպես բազմանդամ է, սակայն թեքությունը հավասար չի լինի զրոյի, ուստի կավելացվի ևս մեկ քայլ՝ հավասարումը բերելով ընդհանուր ձևի։

Օրինակ 2.

Լուծում. Գտնենք շոշափող կետի օրդինատը.

Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Գտնենք ածանցյալի արժեքը շոշափման կետում, այսինքն՝ շոշափողի թեքությունը.

Ստացված բոլոր տվյալները փոխարինում ենք «դատարկ բանաձևով» և ստանում շոշափող հավասարումը.

Մենք հավասարումը բերում ենք իր ընդհանուր ձևին (ձախ կողմում հավաքում ենք բոլոր տառերն ու թվերը, բացի զրոյից, իսկ աջ կողմում թողնում ենք զրո).

Մենք կազմում ենք նորմալ հավասարումը.

Օրինակ 3.Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի և նորմալի հավասարումը, եթե աբսցիսան շոշափման կետն է:

Լուծում. Գտնենք շոշափող կետի օրդինատը.

Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Գտնենք ածանցյալի արժեքը շոշափման կետում, այսինքն՝ շոշափողի թեքությունը.

Մենք գտնում ենք շոշափող հավասարումը.

Հավասարումն իր ընդհանուր ձևին բերելուց առաջ անհրաժեշտ է մի փոքր «սանրել» այն՝ տերմին առ անդամ բազմապատկել 4-ով:

Մենք կազմում ենք նորմալ հավասարումը.

Օրինակ 4.Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի և նորմալի հավասարումը, եթե աբսցիսան շոշափման կետն է:

Լուծում. Գտնենք շոշափող կետի օրդինատը.

Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Գտնենք ածանցյալի արժեքը շոշափման կետում, այսինքն՝ շոշափողի թեքությունը.

Ստանում ենք շոշափող հավասարումը.

Մենք հավասարումը բերում ենք իր ընդհանուր ձևին.

Մենք կազմում ենք նորմալ հավասարումը.

Տարածված սխալը շոշափող և նորմալ հավասարումներ գրելիս այն է՝ չնկատել, որ օրինակում տրված ֆունկցիան բարդ է և դրա ածանցյալը հաշվարկել որպես պարզ ֆունկցիայի ածանցյալ։ Հետևյալ օրինակներն արդեն իսկ բարդ գործառույթներ(համապատասխան դասը կբացվի նոր պատուհանում):

Օրինակ 5.Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի և նորմալի հավասարումը, եթե աբսցիսան շոշափման կետն է:

Լուծում. Գտնենք շոշափող կետի օրդինատը.

Ուշադրություն. Այս ֆունկցիան բարդ է, քանի որ շոշափող փաստարկը (2 x) ինքնին ֆունկցիա է։ Հետևաբար, մենք գտնում ենք ֆունկցիայի ածանցյալը որպես բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ:

Թող տրվի f ֆունկցիա, որն ինչ-որ կետում x 0 ունի f (x 0) վերջավոր ածանցյալ: Այնուհետև ուղիղ գիծը, որն անցնում է (x 0; f (x 0)) կետով, որն ունի f' (x 0) անկյունային գործակից, կոչվում է շոշափող:

Ի՞նչ է տեղի ունենում, եթե x 0 կետում ածանցյալը գոյություն չունի: Երկու տարբերակ կա.

Գրաֆին նույնպես շոշափող չկա։ Դասական օրինակ է y = |x | ֆունկցիան կետում (0; 0):
Շոշափողը դառնում է ուղղահայաց: Սա ճիշտ է, օրինակ, y = arcsin x ֆունկցիայի համար (1; π /2):

Շոշափող հավասարում

Ցանկացած ոչ ուղղահայաց ուղիղ տրված է y = kx + b ձևի հավասարմամբ, որտեղ k-ը թեքությունն է։ Շոշափողը բացառություն չէ, և x 0 կետում դրա հավասարումը ստեղծելու համար բավական է իմանալ ֆունկցիայի և ածանցյալի արժեքը այս կետում։

Այսպիսով, թող տրվի y = f (x) ֆունկցիա, որն ունի y = f ’(x) ածանցյալ հատվածի վրա։ Այնուհետև x 0 ∈ (a ; b) ցանկացած կետում այս ֆունկցիայի գրաֆիկին կարելի է շոշափել, որը տրված է հավասարմամբ.

y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Այստեղ f’ (x 0) ածանցյալի արժեքն է x 0 կետում, իսկ f (x 0) բուն ֆունկցիայի արժեքն է։

Առաջադրանք. Տրվում է y = x 3 ֆունկցիան: Գրե՛ք այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը x 0 = 2 կետում:

Շոշափող հավասարումը՝ y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0): Մեզ տրված է x 0 = 2 կետը, բայց պետք է հաշվարկվեն f (x 0) և f '(x 0) արժեքները:

Նախ, եկեք գտնենք ֆունկցիայի արժեքը: Այստեղ ամեն ինչ հեշտ է. f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Հիմա եկեք գտնենք ածանցյալը. f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Մենք x 0 = 2-ը փոխարինում ենք ածանցյալի մեջ. f '(x 0) = f'(2) = 3 2 2 = 12;
Ընդհանուր առմամբ ստանում ենք՝ y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16։
Սա շոշափող հավասարումն է։

Առաջադրանք. Գրե՛ք f (x) = 2sin x + 5 ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը x 0 = π /2 կետում:

Այս անգամ մենք մանրամասն չենք նկարագրի յուրաքանչյուր գործողություն, մենք միայն կնշենք հիմնական քայլերը: Մենք ունենք.

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Շոշափող հավասարում.

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Վերջին դեպքում ուղիղ գիծը հորիզոնական է ստացվել, քանի որ դրա անկյունային գործակիցը k = 0: Սրա մեջ ոչ մի վատ բան չկա. մենք պարզապես պատահաբար հանդիպեցինք ծայրահեղ կետի:

Այս հոդվածում մենք կվերլուծենք բոլոր տեսակի խնդիրները գտնելու համար

Հիշենք ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըԵթե մի կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված է շոշափող, ապա շոշափողի թեքության գործակիցը (հավասար է շոշափողի և առանցքի դրական ուղղության անկյան շոշափմանը) հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին. կետում.

Վերցնենք կամայական կետ կոորդինատներով շոշափողի վրա.

Եվ հաշվի առեք ուղղանկյուն եռանկյունը.

Այս եռանկյունում

Այստեղից

Սա տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի հավասարումն է:

Շոշափող հավասարումը գրելու համար մեզ անհրաժեշտ է միայն իմանալ ֆունկցիայի հավասարումը և շոշափողի գծման կետը: Հետո մենք կարող ենք գտնել և.

Գոյություն ունեն շոշափող հավասարման խնդիրների երեք հիմնական տեսակ.

1. Հաշվի առնելով շփման կետը

2. Տրված է շոշափող թեքության գործակիցը, այսինքն՝ ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը կետում։

3. Տրված են այն կետի կոորդինատները, որով գծվում է շոշափողը, բայց որը շոշափման կետ չէ:

Եկեք նայենք առաջադրանքի յուրաքանչյուր տեսակին:

1. Գրե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը կետում .

բ) Գտեք ածանցյալի արժեքը կետում: Նախ գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը

Գտնված արժեքները փոխարինենք շոշափող հավասարման մեջ.

Բացենք հավասարման աջ կողմի փակագծերը։ Մենք ստանում ենք.

Պատասխան. .

2. Գտե՛ք այն կետերի աբսցիսան, որոնցում ֆունկցիաները շոշափում են գրաֆիկին x-առանցքին զուգահեռ:

Եթե շոշափողը զուգահեռ է x առանցքին, ուրեմն շոշափողի և առանցքի դրական ուղղության անկյունը զրո է, հետևաբար շոշափողի անկյան շոշափողը զրո է։ Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը շփման կետերում զրոյական է:

ա) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը .

բ) ածանցյալը հավասարեցնենք զրոյի և գտնենք այն արժեքները, որոնցում շոշափողը զուգահեռ է առանցքին.

Յուրաքանչյուր գործոն հավասարեցնելով զրոյի՝ ստանում ենք.

Պատասխան՝ 0;3;5

3. Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողների հավասարումներ , զուգահեռ ուղիղ .

Շոշափողը զուգահեռ է ուղիղին: Այս գծի թեքությունը -1 է: Քանի որ շոշափողը զուգահեռ է այս ուղիղին, հետևաբար, շոշափողի թեքությունը նույնպես -1 է։ Այսինքն մենք գիտենք շոշափողի թեքությունը, և դրանով իսկ ածանցյալ արժեքը շոշափման կետում.

Սա շոշափող հավասարումը գտնելու խնդրի երկրորդ տեսակն է:

Այսպիսով, մեզ տրվում է ածանցյալի ֆունկցիան և արժեքը շոշափման կետում:

ա) Գտե՛ք այն կետերը, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է -1-ի:

Նախ, եկեք գտնենք ածանցյալ հավասարումը:

Ածանցյալը հավասարեցնենք -1 թվին։

Գտնենք ֆունկցիայի արժեքը կետում։

(ըստ պայմանի)

բ) Գտե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը կետում:

Գտնենք ֆունկցիայի արժեքը կետում։

(ըստ պայմանի):

Փոխարինենք այս արժեքները շոշափող հավասարման մեջ.

Պատասխան.

4. Գրի՛ր կորի շոշափողի հավասարումը , անցնելով մի կետով

Նախ, եկեք ստուգենք, արդյոք կետը շոշափող կետ է: Եթե կետը շոշափող կետ է, ապա այն պատկանում է ֆունկցիայի գրաֆիկին, և նրա կոորդինատները պետք է բավարարեն ֆունկցիայի հավասարումը։ Կետի կոորդինատները փոխարինենք ֆունկցիայի հավասարման մեջ։

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} բացասական թիվ, հավասարությունը ճիշտ չէ, և կետը չի պատկանում ֆունկցիայի գրաֆիկին և շփման կետ չէ.

Սա շոշափող հավասարումը գտնելու խնդրի վերջին տեսակն է: Առաջին հերթին մենք պետք է գտնենք շոշափող կետի աբսցիսսը.

Գտնենք արժեքը։

Թող լինի շփման կետը: Կետը պատկանում է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողին։ Եթե այս կետի կոորդինատները փոխարինենք շոշափող հավասարման մեջ, ապա կստանանք ճիշտ հավասարություն.

Ֆունկցիայի արժեքը մի կետում է .

Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը կետում։

Նախ՝ եկեք գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը։ Սա.

Մի կետում ածանցյալը հավասար է .

Փոխարինենք արտահայտությունները շոշափող հավասարման համար և մեջ: Մենք ստանում ենք հավասարումը հետևյալի համար.

Եկեք լուծենք այս հավասարումը.

Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը փոքրացրե՛ք 2-ով.

Եկեք կրճատենք հավասարման աջ կողմը ընդհանուր հայտարար. Մենք ստանում ենք.

Եկեք պարզեցնենք կոտորակի համարիչը և բազմապատկենք երկու կողմերը՝ այս արտահայտությունը խիստ մեծ է զրոյից:

Մենք ստանում ենք հավասարումը

Եկեք լուծենք այն: Դա անելու համար եկեք երկու մասերը քառակուսի դարձնենք և անցնենք համակարգին:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))()">!}

Լուծենք առաջին հավասարումը.

Լուծենք քառակուսի հավասարումը, ստանում ենք

Երկրորդ արմատը չի բավարարում պայմանը title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Գրենք կետի կորի շոշափողի հավասարումը։ Դա անելու համար արժեքը փոխարինեք հավասարման մեջ - Մենք դա արդեն արձանագրել ենք։

Պատասխան.
.

Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը

Պ. Ռոմանով, Տ. Ռոմանովա,
Մագնիտոգորսկ,
Չելյաբինսկի մարզ

Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը

Հոդվածը հրապարակվել է ITAKA+ հյուրանոցային համալիրի աջակցությամբ։ Նավաշինարարների Սևերոդվինսկ քաղաքում մնալիս ժամանակավոր կացարան գտնելու խնդրին չեք հանդիպի։ , «ITHAKA+» հյուրանոցային համալիրի կայքում http://itakaplus.ru կարող եք հեշտությամբ և արագ բնակարան վարձել քաղաքում, ցանկացած ժամկետով, օրավարձով։

Միացված է ժամանակակից բեմկրթության զարգացումը, նրա հիմնական խնդիրներից մեկը ստեղծագործ մտածող անհատականության ձևավորումն է: Ուսանողների ստեղծագործական ունակությունները կարող են զարգանալ միայն այն դեպքում, եթե նրանք համակարգված ներգրավված լինեն հիմունքների մեջ հետազոտական գործունեություն. Ուսանողների համար իրենց օգտագործման հիմքը ստեղծագործական ուժեր, կարողություններն ու տաղանդները ձևավորվում են լիարժեք գիտելիքներ և հմտություններ։ Այս առումով փոքր նշանակություն չունի դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի յուրաքանչյուր թեմայի հիմնական գիտելիքների և հմտությունների համակարգի ձևավորման խնդիրը։ Միևնույն ժամանակ, լիարժեք հմտությունները պետք է լինեն ոչ թե անհատական առաջադրանքների, այլ դրանց մանրակրկիտ մտածված համակարգի դիդակտիկ նպատակը: Ի շատ լայն իմաստովՀամակարգը հասկացվում է որպես փոխկապակցված փոխազդող տարրերի ամբողջություն՝ ամբողջականությամբ և կայուն կառուցվածքով:

Դիտարկենք մի տեխնիկա՝ ուսանողներին սովորեցնելու համար, թե ինչպես գրել հավասարում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի համար: Ըստ էության, շոշափող հավասարումը գտնելու բոլոր խնդիրները հանգում են նրան, որ անհրաժեշտ է ընտրել մի շարք (փաթեթ, ընտանիք) տողեր, որոնք բավարարում են որոշակի պահանջը. դրանք շոշափում են որոշակի ֆունկցիայի գրաֆիկին: Այս դեպքում տողերի շարքը, որից կատարվում է ընտրությունը, կարելի է նշել երկու եղանակով.

ա) xOy հարթության վրա ընկած կետ (գծերի կենտրոնական մատիտ).
բ) անկյունային գործակից (ուղիղ գծերի զուգահեռ ճառագայթ).

Այս առումով, «Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող» թեման ուսումնասիրելիս՝ համակարգի տարրերը մեկուսացնելու նպատակով, մենք բացահայտեցինք երկու տեսակի խնդիրներ.

1) խնդիրներ շոշափողի վրա, որը տրված է այն կետով, որով այն անցնում է.
2) խնդիրներ նրա թեքությամբ տրված շոշափողի վրա.

Շոշափող խնդիրների լուծման ուսուցումն իրականացվել է Ա.Գ.-ի առաջարկած ալգորիթմի միջոցով: Մորդկովիչ. Նրան հիմնարար տարբերությունարդեն հայտնիներից այն է, որ շոշափման կետի աբսցիսան նշվում է a տառով (x0-ի փոխարեն), և, հետևաբար, շոշափողի հավասարումը ստանում է ձև.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(համեմատեք y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) հետ): Այս մեթոդական տեխնիկան, մեր կարծիքով, թույլ է տալիս ուսանողներին արագ և հեշտությամբ հասկանալ, թե որտեղ են գրված ընթացիկ կետի կոորդինատները: ընդհանուր շոշափող հավասարումը և որտեղ են շփման կետերը:

y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող հավասարումը կազմելու ալգորիթմ.

1. Ա տառով նշանակե՛ք շոշափող կետի աբսցիսսը:
2. Գտի՛ր f(a):
3. Գտեք f "(x) և f "(a):
4. Գտնված a, f(a), f "(a) թվերը փոխարինե՛ք y = f(a) = f "(a)(x – a) ընդհանուր շոշափող հավասարման մեջ:

Այս ալգորիթմը կարող է կազմվել ուսանողների կողմից գործողությունների անկախ նույնականացման և դրանց իրականացման հաջորդականության հիման վրա:

Պրակտիկան ցույց է տվել, որ առանցքային խնդիրների յուրաքանչյուրի հաջորդական լուծումը ալգորիթմի միջոցով թույլ է տալիս զարգացնել ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը փուլերով գրելու հմտություններ, իսկ ալգորիթմի քայլերը ծառայում են որպես գործողությունների հղման կետեր։ . Այս մոտեցումը համապատասխանում է P.Ya-ի կողմից մշակված մտավոր գործողությունների աստիճանական ձևավորման տեսությանը: Գալպերինը և Ն.Ֆ. Տալիզինա.

Առաջադրանքների առաջին տեսակի մեջ առանձնացվել են երկու հիմնական առաջադրանքներ.

շոշափողն անցնում է կորի վրա ընկած կետով (խնդիր 1);
շոշափողն անցնում է կորի վրա չպառկած կետով (խնդիր 2):

Առաջադրանք 1. Գրե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը M(3; – 2) կետում:

Լուծում. M(3; – 2) կետը շոշափող կետ է, քանի որ

1. a = 3 – շոշափող կետի աբսցիսա:
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5:
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – շոշափող հավասարում:

Խնդիր 2. Գրի՛ր M(– 3; 6) կետով անցնող y = – x 2 – 4x + 2 ֆունկցիայի բոլոր շոշափողների հավասարումները։

Լուծում. M(– 3; 6) կետը շոշափող կետ չէ, քանի որ f(– 3) 6 (նկ. 2):

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2:
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – շոշափող հավասարում.

Շոշափողն անցնում է M(– 3; 6) կետով, հետևաբար, նրա կոորդինատները բավարարում են շոշափող հավասարումը։

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Եթե a = – 4, ապա շոշափող հավասարումը y = 4x + 18 է:

Եթե a = – 2, ապա շոշափող հավասարումը ունի y = 6 ձև:

Երկրորդ տեսակի մեջ հիմնական առաջադրանքները կլինեն հետևյալը.

շոշափողը զուգահեռ է ինչ-որ ուղղի (խնդիր 3);
շոշափողը որոշակի անկյան տակ է անցնում տվյալ ուղիղին (խնդիր 4):

Խնդիր 3. Գրե՛ք y = x 3 – 3x 2 + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր շոշափողների հավասարումները y = 9x + 1 ուղղին զուգահեռ:

Լուծում.

1. ա – շոշափող կետի աբսցիսսա.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3:
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Բայց, մյուս կողմից, f "(a) = 9 (զուգահեռության պայման): Սա նշանակում է, որ մենք պետք է լուծենք 3a 2 – 6a = 9 հավասարումը: Դրա արմատներն են a = – 1, a = 3 (նկ. 3): )

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – շոշափող հավասարում;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – շոշափող հավասարում:

Խնդիր 4. Գրե՛ք y = 0,5x 2 – 3x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը 45° անկյան տակ անցնելով y = 0 ուղիղ գծի վրա (նկ. 4):

Լուծում. f "(a) = tan 45° պայմանից մենք գտնում ենք a: a – 3 = 1^ ա = 4.

1. a = 4 – շոշափող կետի աբսցիսա:
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3:
3. f "(4) = 4 – 3 = 1:
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – շոշափող հավասարում.

Հեշտ է ցույց տալ, որ ցանկացած այլ խնդրի լուծումը հանգում է մեկ կամ մի քանի հիմնական խնդիրների լուծմանը: Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ երկու խնդիրները.

1. Գրե՛ք y = 2x 2 – 5x – 2 պարաբոլային շոշափողների հավասարումները, եթե շոշափողները հատվում են ուղիղ անկյան տակ, և դրանցից մեկը դիպչում է պարաբոլային աբսցիսայով 3 կետով (նկ. 5):

Լուծում. Քանի որ տրված է շոշափող կետի աբսցիսա, լուծման առաջին մասը կրճատվում է մինչև 1-ին հիմնական խնդիրը:

1. a = 3 – կողմերից մեկի շոշափման կետի աբսցիսսա ճիշտ անկյուն.
2. f(3) = 1:
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7:
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – առաջին շոշափողի հավասարումը.

Թող ա - առաջին շոշափողի թեքության անկյունը. Քանի որ շոշափողներն ուղղահայաց են, ուրեմն երկրորդ շոշափողի թեքության անկյունն է: Առաջին շոշափողի y = 7x – 20 հավասարումից ունենք tg a = 7. Եկեք գտնենք

Սա նշանակում է, որ երկրորդ շոշափողի թեքությունը հավասար է .

Հետագա լուծումը հանգում է 3-րդ հիմնական առաջադրանքին:

Թող B(c; f(c)) լինի երկրորդ տողի շոշափման կետը, ապա

1. – շոշափման երկրորդ կետի աբսցիսսա:
2.
3.
4.
– երկրորդ շոշափողի հավասարումը.

Նշում. Շոշափողի անկյունային գործակիցը կարելի է ավելի հեշտ գտնել, եթե ուսանողները գիտեն k 1 k 2 = – 1 ուղղահայաց ուղիղների գործակիցների հարաբերությունը:

2. Գրի՛ր ֆունկցիաների գրաֆիկներին բոլոր ընդհանուր շոշափողների հավասարումները

Լուծում. Խնդիրը հանգում է ընդհանուր տանգենսների շոշափման կետերի աբսցիսա գտնելուն, այսինքն՝ լուծելու հիմնական խնդիրը 1-ում։ ընդհանուր տեսարան, կազմելով հավասարումների համակարգը և դրա հետագա լուծումը (նկ. 6):

1. Թող a լինի y = x 2 + x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա ընկած շոշափող կետի աբսցիսան։
2. f(a) = a 2 + a + 1:
3. f "(a) = 2a + 1:
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2:

1. Եկեք c-ն լինի ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա ընկած շոշափող կետի աբսցիսսը.
2.
3. f "(c) = c.
4.

Քանի որ շոշափողներն ընդհանուր են, ուրեմն

Այսպիսով, y = x + 1 և y = – 3x – 3 ընդհանուր շոշափողներ են:

Դիտարկված առաջադրանքների հիմնական նպատակն է պատրաստել ուսանողներին ինքնուրույն ճանաչել առանցքային խնդրի տեսակը ավելին լուծելիս բարդ առաջադրանքներ, որը պահանջում է որոշակի հետազոտական հմտություններ (վերլուծելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու, վարկած առաջ քաշելու կարողություն և այլն): Նման առաջադրանքները ներառում են ցանկացած առաջադրանք, որտեղ հիմնական առաջադրանքը ներառված է որպես բաղադրիչ: Որպես օրինակ դիտարկենք նրա շոշափողների ընտանիքից ֆունկցիա գտնելու խնդիրը (խնդիր 1-ին հակադարձ):

3. Ո՞ր b և c ուղիղներն են y = x և y = – 2x շոշափող y = x 2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Լուծում.

Թող t լինի y = x ուղիղ գծի շոշափման կետի աբսցիսա y = x 2 + bx + c պարաբոլով; p-ը y = – 2x ուղիղ գծի շոշափման կետի աբսցիսա է y = x 2 + bx + c պարաբոլով: Այնուհետև y = x շոշափող հավասարումը կունենա y = (2t + b)x + c – t 2 ձևը, իսկ y = – 2x շոշափող հավասարումը կունենա y = (2p + b)x + c – p 2 ձևը: .

Կազմենք և լուծենք հավասարումների համակարգ

Պատասխան.

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

1. Գրե՛ք y = 2x 2 – 4x + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողների հավասարումները y = x + 3 ուղիղով գրաֆի հատման կետերում։

Պատասխան՝ y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5:

2. a-ի ո՞ր արժեքների դեպքում է y = x 2 – ax ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողը x 0 = 1 աբսցիսայով գրաֆիկի կետում անցնում M(2; 3) կետով:

Պատասխան՝ a = 0,5:

3. p-ի ո՞ր արժեքների դեպքում է ուղիղ գիծը y = px – 5 դիպչում y = 3x 2 – 4x – 2 կորին:

Պատասխան՝ p 1 = – 10, p 2 = 2:

4. Գտե՛ք y = 3x – x 3 ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր ընդհանուր կետերը և այս գրաֆիկին P(0; 16) կետով գծված շոշափողը:

Պատասխան՝ A(2; – 2), B(– 4; 52):

5. Գտե՛ք ամենակարճ հեռավորությունը y = x 2 + 6x + 10 պարաբոլայի և ուղիղ գծի միջև։

Պատասխան.

6. y = x 2 – x + 1 կորի վրա գտե՛ք այն կետը, որտեղ գրաֆիկին շոշափողը զուգահեռ է ուղիղ y – 3x + 1 = 0:

Պատասխան՝ M(2; 3):

7. Գրի՛ր y = x 2 + 2x – ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը | 4x |, որը դիպչում է դրան երկու կետով: Կատարեք նկարչություն:

Պատասխան՝ y = 2x – 4:

8. Ապացուցե՛ք, որ y = 2x – 1 ուղիղը չի հատում y = x 4 + 3x 2 + 2x կորը։ Գտեք հեռավորությունը նրանց ամենամոտ կետերի միջև:

Պատասխան.

9. y = x 2 պարաբոլայի վրա երկու կետ վերցված են աբսցիսներով x 1 = 1, x 2 = 3: Այս կետերի միջով կտրվում է հատված: Պարաբոլայի ո՞ր կետում նրա շոշափողը զուգահեռ կլինի սեկանտին: Գրի՛ր սեկանտային և շոշափող հավասարումները:

Պատասխան՝ y = 4x – 3 – սեկանտային հավասարում; y = 4x – 4 – շոշափող հավասարում:

10. Գտի՛ր q անկյունը y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողների միջև՝ գծված 0 և 1 աբսցիսներով կետերում:

Պատասխան՝ q = 45°:

11. Ո՞ր կետերում է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը Ox առանցքի հետ կազմում 135° անկյուն:

Պատասխան՝ A(0; – 1), B(4; 3):

12. A կետում (1; 8) դեպի կորը գծված է շոշափող: Գտեք կոորդինատային առանցքների միջև շոշափող հատվածի երկարությունը:

Պատասխան.

13. Գրի՛ր y = x 2 – x + 1 և y = 2x 2 – x + 0,5 ֆունկցիաների գրաֆիկներին բոլոր ընդհանուր շոշափողների հավասարումը:

Պատասխան՝ y = – 3x և y = x:

14. Գտե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողների հեռավորությունը x-առանցքին զուգահեռ:

Պատասխան.

15. Որոշիր, թե y = x 2 + 2x – 8 պարաբոլը ինչ անկյուններով է հատում x առանցքը:

Պատասխան՝ q 1 = արկտան 6, q 2 = արկտան (– 6):

16. Ֆունկցիայի գրաֆիկ Գտեք բոլոր կետերը, որոնցից յուրաքանչյուրի շոշափողը այս գրաֆիկին հատում է կոորդինատների դրական կիսաառանցքները՝ կտրելով դրանցից հավասար հատվածներ։

Պատասխան՝ Ա(– 3; 11)։

17. Y = 2x + 7 ուղիղը և y = x 2 – 1 պարաբոլը հատվում են M և N կետերում: Գտե՛ք պարաբոլային շոշափող ուղիղների հատման K կետը M և N կետերում:

Պատասխան՝ K(1; – 9):

18. b-ի ո՞ր արժեքների դեպքում է y = 9x + b ուղիղը շոշափում y = x 3 – 3x + 15 ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Պատասխան՝ – 1; 31.

19. K-ի ո՞ր արժեքների դեպքում y = kx – 10 ուղիղը ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ y = 2x 2 + 3x – 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ: k-ի գտնված արժեքների համար որոշեք կետի կոորդինատները:

Պատասխան՝ k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B (2; 12):

20. b-ի ո՞ր արժեքների դեպքում է y = bx 3 – 2x 2 – 4 ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողը x 0 = 2 աբսցիսով կետում անցնում է M(1; 8) կետով:

Պատասխան՝ b = – 3:

21. Ox առանցքի վրա գագաթ ունեցող պարաբոլան B կետում դիպչում է A(1; 2) և B(2; 4) կետերով անցնող ուղիղին: Գտե՛ք պարաբոլայի հավասարումը:

Պատասխան.

22. k գործակցի ո՞ր արժեքով է y = x 2 + kx + 1 պարաբոլը դիպչում Ox առանցքին:

Պատասխան՝ k = d 2.

23. Գտե՛ք անկյունները y = x + 2 ուղիղ գծի և y = 2x 2 + 4x – 3 կորի միջև։

29. Գտե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողների և 45° անկյան տակ Ox առանցքի դրական ուղղվածությամբ գեներատորների հեռավորությունը:

Պատասխան.

30. Գտե՛ք y = x 2 + ax + b y = 4x – 1 ուղղին շոշափող բոլոր պարաբոլների գագաթների տեղը։

Պատասխան՝ ուղիղ գիծ y = 4x + 3:

գրականություն

1. Զվավիչ Լ.Ի., Շլյապոչնիկ Լ.Յա., Չինկինա Մ.Վ. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. 3600 խնդիր դպրոցականների և բուհ ընդունողների համար. – Մ., Բուստարդ, 1999:
2. Մորդկովիչ Ա. Չորրորդ սեմինար երիտասարդ ուսուցիչների համար: Թեմա՝ Ածանցյալ կիրառություններ. – Մ., «Մաթեմատիկա», թիվ 21/94։
3. Գիտելիքների և հմտությունների ձևավորում՝ հիմնված մտավոր գործողությունների աստիճանական յուրացման տեսության վրա։

/ Էդ. Պ.Յա. Գալպերինա, Ն.Ֆ. Տալիզինա.

– Մ., Մոսկվայի պետական համալսարան, 1968։

Կրթության զարգացման ներկա փուլում նրա հիմնական խնդիրներից մեկը ստեղծագործ մտածող անհատականության ձևավորումն է: Ուսանողների ստեղծագործական ունակությունները կարող են զարգանալ միայն այն դեպքում, եթե նրանք համակարգված ներգրավված են հետազոտական գործունեության հիմունքներում: Ուսանողների ստեղծագործական կարողությունների, կարողությունների և տաղանդների օգտագործման հիմքը լիարժեք գիտելիքների և հմտությունների ձևավորումն է: Այս առումով փոքր նշանակություն չունի դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի յուրաքանչյուր թեմայի հիմնական գիտելիքների և հմտությունների համակարգի ձևավորման խնդիրը։ Միևնույն ժամանակ, լիարժեք հմտությունները պետք է լինեն ոչ թե անհատական առաջադրանքների, այլ դրանց մանրակրկիտ մտածված համակարգի դիդակտիկ նպատակը: Ամենալայն իմաստով համակարգը հասկացվում է որպես փոխկապակցված փոխազդող տարրերի մի շարք, որոնք ունեն ամբողջականություն և կայուն կառուցվածք:
Դիտարկենք մի տեխնիկա՝ ուսանողներին սովորեցնելու համար, թե ինչպես գրել հավասարում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի համար: Ըստ էության, շոշափող հավասարումը գտնելու բոլոր խնդիրները հանգում են նրան, որ անհրաժեշտ է ընտրել մի շարք (փաթեթ, ընտանիք) տողեր, որոնք բավարարում են որոշակի պահանջը. դրանք շոշափում են որոշակի ֆունկցիայի գրաֆիկին: Այս դեպքում տողերի շարքը, որից կատարվում է ընտրությունը, կարելի է նշել երկու եղանակով.

ա) xOy հարթության վրա ընկած կետ (գծերի կենտրոնական մատիտ).

բ) անկյունային գործակից (ուղիղ գծերի զուգահեռ ճառագայթ).
Այս առումով, «Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող» թեման ուսումնասիրելիս՝ համակարգի տարրերը մեկուսացնելու նպատակով, մենք բացահայտեցինք երկու տեսակի խնդիրներ.

1) խնդիրներ շոշափողի վրա, որը տրված է այն կետով, որով այն անցնում է.

2) խնդիրներ նրա թեքությամբ տրված շոշափողի վրա.

y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող հավասարումը կազմելու ալգորիթմ.

1. Ա տառով նշանակե՛ք շոշափող կետի աբսցիսսը:
2. Գտի՛ր f(a):
3. Գտեք f "(x) և f "(a):
4. Գտնված a, f(a), f "(a) թվերը փոխարինե՛ք y = f(a) = f "(a)(x – a) ընդհանուր շոշափող հավասարման մեջ:

Առաջադրանքների առաջին տեսակի մեջ առանձնացվել են երկու հիմնական առաջադրանքներ.

շոշափողն անցնում է կորի վրա ընկած կետով (խնդիր 1);
շոշափողն անցնում է կորի վրա չպառկած կետով (խնդիր 2):

Առաջադրանք 1. Գրե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը M(3; – 2) կետում:

Լուծում. M(3; – 2) կետը շոշափող կետ է, քանի որ

1. a = 3 – շոշափող կետի աբսցիսա:
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5:
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – շոշափող հավասարում:

Խնդիր 2. Գրի՛ր M(– 3; 6) կետով անցնող y = – x 2 – 4x + 2 ֆունկցիայի բոլոր շոշափողների հավասարումները։

Լուծում. M(– 3; 6) կետը շոշափման կետ չէ, քանի որ f(– 3) 6 (նկ. 2):

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2:
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – շոշափող հավասարում.

Շոշափողն անցնում է M(– 3; 6) կետով, հետևաբար, նրա կոորդինատները բավարարում են շոշափող հավասարումը։

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2:

Եթե a = – 4, ապա շոշափող հավասարումը y = 4x + 18 է:

Եթե a = – 2, ապա շոշափող հավասարումը ունի y = 6 ձև:

Երկրորդ տեսակի մեջ հիմնական առաջադրանքները կլինեն հետևյալը.

շոշափողը զուգահեռ է ինչ-որ ուղղի (խնդիր 3);
շոշափողը որոշակի անկյան տակ է անցնում տվյալ ուղիղին (խնդիր 4):

Խնդիր 3. Գրե՛ք y = x 3 – 3x 2 + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր շոշափողների հավասարումները y = 9x + 1 ուղղին զուգահեռ:

1. ա – շոշափող կետի աբսցիսսա.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3:
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – շոշափող հավասարում;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – շոշափող հավասարում:

Լուծում. f "(a) = tan 45° պայմանից գտնում ենք a: a – 3 = 1 ^ a = 4:

1. a = 4 – շոշափող կետի աբսցիսա:
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3:
3. f "(4) = 4 – 3 = 1:
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – շոշափող հավասարում.

Լուծում. Քանի որ տրված է շոշափող կետի աբսցիսա, լուծման առաջին մասը կրճատվում է մինչև 1-ին հիմնական խնդիրը:

1. a = 3 – ուղիղ անկյան կողմերից մեկի շոշափման կետի աբսցիսսա։
2. f(3) = 1:
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7:
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – առաջին շոշափողի հավասարումը.

Թող a լինի առաջին շոշափողի թեքության անկյունը: Քանի որ շոշափողներն ուղղահայաց են, ուրեմն երկրորդ շոշափողի թեքության անկյունն է: Առաջին շոշափողի y = 7x – 20 հավասարումից ունենք tg a = 7: Եկեք գտնենք.

Սա նշանակում է, որ երկրորդ շոշափողի թեքությունը հավասար է .

Հետագա լուծումը հանգում է 3-րդ հիմնական առաջադրանքին:

Թող B(c; f(c)) լինի երկրորդ տողի շոշափման կետը, ապա

1. – շոշափման երկրորդ կետի աբսցիսսա:
2.
3.
4.
– երկրորդ շոշափողի հավասարումը.

2. Գրի՛ր ֆունկցիաների գրաֆիկներին բոլոր ընդհանուր շոշափողների հավասարումները

Լուծում. Առաջադրանքը հանգում է ընդհանուր շոշափողների շոշափող կետերի աբսցիսային գտնելուն, այսինքն՝ լուծել հիմնական խնդիրը 1 ընդհանուր ձևով, կազմել հավասարումների համակարգ և այնուհետև լուծել այն (նկ. 6):

1. Թող a լինի y = x 2 + x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա ընկած շոշափող կետի աբսցիսան։
2. f(a) = a 2 + a + 1:
3. f "(a) = 2a + 1:
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2:

1. Եկեք c-ն լինի ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա ընկած շոշափող կետի աբսցիսսը.
2.
3. f "(c) = c.
4.

Քանի որ շոշափողներն ընդհանուր են, ուրեմն

Այսպիսով, y = x + 1 և y = – 3x – 3 ընդհանուր շոշափողներ են:

Դիտարկված առաջադրանքների հիմնական նպատակն է պատրաստել ուսանողներին ինքնուրույն ճանաչել հիմնական խնդրի տեսակը, երբ լուծելու ավելի բարդ խնդիրներ, որոնք պահանջում են որոշակի հետազոտական հմտություններ (վերլուծելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու, վարկած առաջ քաշելու ունակություն և այլն): Նման առաջադրանքները ներառում են ցանկացած առաջադրանք, որտեղ հիմնական առաջադրանքը ներառված է որպես բաղադրիչ: Որպես օրինակ դիտարկենք նրա շոշափողների ընտանիքից ֆունկցիա գտնելու խնդիրը (խնդիր 1-ին հակադարձ):

3. Ո՞ր b և c ուղիղներն են y = x և y = – 2x շոշափող y = x 2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Կազմենք և լուծենք հավասարումների համակարգ

Պատասխան.