Զուգահեռագծի հակադիր կողմերի և անկյունների հատկությունները. Զուգահեռագիծ. Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ անկյունները հավասար են

Սահմանում

Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են:

Թեորեմ (զուգահեռագծի առաջին նշան)

Եթե ​​քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Ապացույց

Թող \(AB\) և \(CD\) կողմերը զուգահեռ լինեն \(ABCD\) և \(AB = CD\) քառանկյունում:

Եկեք գծենք շեղանկյուն \(AC\)՝ բաժանելով այս քառանկյունը երկու հավասար եռանկյունների՝ \(ABC\) և \(CDA\) . Այս եռանկյունները երկու կողմերից հավասար են, և նրանց միջև անկյունը (\(AC\) ընդհանուր կողմն է, \(AB = CD\) ըստ պայմանի, \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2\) խաչմերուկում գտնվող խաչմերուկ անկյունները: զուգահեռ ուղիղների \ (AB\) և \(CD\) secant \(AC\)), այնպես որ \(\անկյուն 3 = \անկյուն 4\) . Բայց \(3\) և \(4\) անկյունները խաչաձև են \(AD\) և \(BC\) ուղիղների հատման կետում \(AC\), հետևաբար \(AD\զուգահեռ մ.թ.ա. \) . Այսպիսով, քառանկյունում \(ABCD\) հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, և, հետևաբար, քառանկյունը \(ABCD\) զուգահեռագիծ է։

Թեորեմ (զուգահեռագծի երկրորդ նշան)

Եթե ​​քառանկյունում հակառակ կողմերը զույգերով հավասար են, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Ապացույց

Եկեք գծենք այս քառանկյան \(ABCD\) անկյունագիծը` բաժանելով այն \(ABC\) և \(CDA\) եռանկյունների:

Այս եռանկյունները երեք կողմերից հավասար են (\(AC\) – ընդհանուր, \(AB = CD\) և \(BC = DA\) ըստ պայմանի), հետևաբար \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2) – ընկած է խաչաձև։ ժամը \(AB\) և \(CD\) և secant \(AC\)-ում: Հետևում է, որ \(AB\զուգահեռ CD\) . Քանի որ \(AB = CD\) և \(AB\զուգահեռ CD\) , ապա ըստ զուգահեռագծի առաջին չափանիշի՝ \(ABCD\) քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Թեորեմ (զուգահեռագծի երրորդ նշան)

Եթե ​​քառանկյան անկյունագծերը հատվում են և կիսով չափ կիսվում են հատման կետով, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Ապացույց

Դիտարկենք քառանկյուն \(ABCD\), որտեղ \(AC\) և \(BD\) անկյունագծերը հատվում են \(O\) կետում և կիսվում են այս կետով:


Եռանկյունները \(AOB\) և \(COD\) հավասար են ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին նշանի (\(AO = OC\), \(BO = OD\) ըստ պայմանի, \(\անկյուն AOB = \անկյուն: COD\) որպես ուղղահայաց անկյուններ), այնպես որ \(AB = CD\) և \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2\) . \(1\) և \(2\) անկյունների հավասարությունից (խաչաձեւ ընկած \(AB\) և \(CD\) և \(AC\) ) անկյունների հավասարությունից հետևում է, որ \(AB\զուգահեռ CD. \) .

Այսպիսով, քառանկյունում \(ABCD\) կողմերը \(AB\) և \(CD\) հավասար են և զուգահեռ, ինչը նշանակում է, որ ըստ զուգահեռագծի առաջին չափանիշի \(ABCD\) քառանկյունը զուգահեռագիծ է: .

Զուգահեռագծի հատկությունները.

1. Զուգահեռագրում հակառակ կողմերը հավասար են, իսկ հակառակ անկյունները՝ հավասար:

2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսով չափ բաժանվում են հատման կետով:

Զուգահեռագծի կիսադիրի հատկությունները.

1. Զուգահեռագծի կիսաչափը նրանից կտրում է հավասարաչափ եռանկյուն:

2. Զուգահեռագծի կից անկյունների կիսադիրները հատվում են ուղիղ անկյան տակ:

3. Հակառակ անկյունների կիսադիր հատվածները հավասար են և զուգահեռ:

Ապացույց

1) Թող \(ABCD\) լինի զուգահեռագիծ, \(AE\) լինի \(BAD\) անկյան կիսորդը:


\(1\) և \(2\) անկյունները հավասար են՝ խաչաձև ընկած \(AD\) և \(BC\) զուգահեռ գծերով և \(AE\) հատվածով: \(1\) և \(3\) անկյունները հավասար են, քանի որ \(AE\) բիսեկտոր է: Ի վերջո \(\անկյուն 3 = \անկյուն 1 = \անկյուն 2\), ինչը նշանակում է, որ \(ABE\) եռանկյունը հավասարաչափ է։

2) Թող \(ABCD\) լինի զուգահեռագիծ, \(AN\) և \(BM\) համապատասխանաբար \(BAD\) և \(ABC\) անկյունների կիսորդները:


Քանի որ զուգահեռ ուղիղների և լայնակի միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է \(180^(\circ)\), ապա \(\անկյուն DAB + \անկյուն ABC = 180^(\circ)\).

Քանի որ \(AN\) և \(BM\) բիսեկտորներ են, ուրեմն \(\անկյուն BAN + \անկյուն ABM = 0.5(\անկյուն DAB + \անկյուն ABC) = 0.5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), որտեղ \(\անկյուն AOB = 180^\circ - (\անկյուն BAN + \անկյուն ABM) = 90^\circ\).

3. Թող \(AN\) և \(CM\) լինեն \(ABCD\) զուգահեռագծի անկյունների կիսորդները:


Քանի որ զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են, ուրեմն \(\անկյուն 2 = 0,5\cdot\անկյուն BAD = 0,5\cdot\անկյուն BCD = \անկյուն 1\). Բացի այդ, \(1\) և \(3\) անկյունները հավասար են՝ խաչաձև ընկած \(AD\) և \(BC\) զուգահեռ ուղիղներով և \(CM\) հատվածով, այնուհետև \(\անկյուն 2: = \անկյուն 3\) , ինչը ենթադրում է, որ \(AN\զուգահեռ CM\) . Ավելին, \(AM\զուգահեռ CN\) , ապա \(ANCM\) զուգահեռագիծ է, հետևաբար \(AN = CM\) .

Այս բաժնում մենք նայում ենք երկրաչափական օբյեկտի զուգահեռագծին: Զուգահեռագծի բոլոր տարրերը ժառանգված են քառանկյունից, ուստի մենք դրանք չենք դիտարկի: Բայց հատկությունները և բնութագրերը արժանի են մանրամասն քննարկման: Մենք կանդրադառնանք.

  • ինչո՞վ է նշանը տարբերվում սեփականությունից:
  • Դիտարկենք հիմնական հատկությունները և բնութագրերը, որոնք ուսումնասիրվում են 8-րդ դասարանի ծրագրում;
  • Եկեք ձևակերպենք երկու լրացուցիչ հատկություններ, որոնք մենք ստանում ենք աջակցության խնդիրները լուծելիս:

2.1 Զուգահեռագծի սահմանում

Երկրաչափության մեջ հասկացությունները ճիշտ սահմանելու համար հարկավոր է ոչ միայն անգիր անել, այլ հասկանալ, թե ինչպես են դրանք ձևավորվում: Այս հարցում մեզ լավ են օգնում ընդհանուր հասկացությունների սխեմաները։ Տեսնենք, թե ինչ է դա։

Մեր վերապատրաստման մոդուլկոչվում է «Քառանկյուններ» և քառանկյունը այս դասընթացի հիմնական հասկացությունն է: Մենք կարող ենք տալ քառանկյունի հետևյալ սահմանումը.

Քառանկյուն-Սա բազմանկյուն, որն ունի չորս կողմ և չորս գագաթ։

Այս սահմանման մեջ ընդհանուր հայեցակարգը կլինի բազմանկյուն: Հիմա եկեք սահմանենք բազմանկյուն.

Բազմանկյունկոչվում է պարզ փակ կոտրված գիծինքնաթիռի այն մասի հետ, որով նա սահմանափակվում է:

Հասկանալի է, որ այստեղ ընդհանուր հասկացությունը կոտրված գծի հասկացությունն է: Եթե ​​ավելի հեռուն գնանք, կհասնենք հատված հասկացությանը, իսկ հետո կետի և ուղիղ գծի վերջնական հասկացություններին։ Նույն կերպ մենք կարող ենք շարունակել մեր գծապատկերը ներքևում.

Եթե ​​մենք պահանջում ենք, որ քառանկյան երկու կողմերը լինեն զուգահեռ, իսկ երկուսը՝ ոչ, ապա մենք ստանում ենք տրապիզոիդ կոչվող պատկեր:

Trapezoid – քառանկյուն, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն։

Իսկ այն դեպքում, երբ բոլոր հակառակ կողմերը զուգահեռ են, գործ ունենք զուգահեռագծի հետ։

Զուգահեռագիծ – քառանկյուն, որի հակառակ կողմերը զուգահեռ են։

2.2 Զուգահեռագծի հատկությունները

Գույք 1.Զուգահեռագրում հակառակ կողմերը հավասար են, իսկ հակառակ անկյունները՝ հավասար։

Եկեք ապացուցենք այս հատկությունը:

Տրված է. ABCD-ն զուգահեռագիծ է:

Ապացուցել.$\անկյուն A = \անկյուն C, \անկյուն B = \անկյուն D, AB = CD, AD = BC:$

Ապացույց:

Ցանկացած երկրաչափական օբյեկտի հատկություններն ապացուցելիս միշտ հիշում ենք դրա սահմանումը։ Այսպիսով, զուգահեռագիծ- քառանկյուն, որի հակառակ կողմերը զուգահեռ են: Հիմնական կետըայստեղ ի հայտ է գալիս կողմերի զուգահեռությունը։

Եկեք կառուցենք հատված բոլոր չորս տողերի վրա: Այս հատվածը կլինի BD անկյունագիծը:


Ակնհայտ է, որ մենք պետք է դիտարկենք լայնակի և զուգահեռ գծերով ձևավորված անկյունները: Քանի որ ուղիղները զուգահեռ են, դրանց վրայով ընկած անկյունները հավասար են։

Այժմ դուք կարող եք տեսնել երկու հավասար եռանկյունիներ ըստ երկրորդ նշանի:

Եռանկյունների հավասարությունն ուղղակիորեն ենթադրում է զուգահեռագծի առաջին հատկությունը։

Գույք 2.Զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են հատման կետով:


Տրված է. Ա Բ Գ Դ- զուգահեռագիծ.

Ապացուցել.$AO = OC, BO = OD.$

Ապացույց:

Ապացույցի տրամաբանությունն այստեղ նույնն է, ինչ նախորդ հատկության մեջ՝ կողմերի զուգահեռություն և եռանկյունների հավասարություն։ Ապացույցի առաջին քայլը նույնն է, ինչ առաջին գույքի դեպքում։

Երկրորդ քայլը եռանկյունների հավասարությունն ապացուցելն է երկրորդ չափանիշով։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ $BC=AD$ հավասարությունը կարող է ընդունվել առանց ապացույցի (օգտագործելով Գույք 1).

Այս հավասարությունից հետևում է, որ $AO = OC, BO = OD.$


2.3 Հենակետային խնդիր թիվ 4 (Զուգահեռագծի բարձրությունների միջև անկյան հատկությունը)


Տրված է. Ա Բ Գ Դ - զուգահեռագիծ, Բ.Կ. Եվ Բ.Մ. - նրա բարձրությունը, $\անկյուն KBM = 60^0$.

Գտնել.$\անկյուն ABK$, $\անկյուն A$

Լուծում:Երբ սկսում եք լուծել այս խնդիրը, դուք պետք է հիշեք հետևյալը.

զուգահեռագծի բարձրությունը ուղղահայաց է երկու հակառակ կողմերին

Օրինակ, եթե $BM$ հատվածը գծված է $DC$ կողմում և նրա բարձրությունն է ($BM \perp DC$), ապա նույն հատվածը կլինի հակառակ կողմի բարձրությունը ($BM \perp BA$): Սա բխում է $AB \զուգահեռ DC$ կողմերի զուգահեռությունից։


Այս խնդիրը լուծելիս արժեքավոր է այն գույքը, որը մենք ձեռք ենք բերում։

Լրացուցիչ գույք.Նրա գագաթից գծված զուգահեռագծի բարձրությունների միջև անկյունը հավասար է հարակից գագաթի անկյան:

2.4 Աջակցման խնդիր թիվ 5 (Զուգահեռագծի կիսադիրի հատկությունը)


Անկյունի կիսաչափ Ազուգահեռագիծ Ա Բ Գ Դանցնում է կողմը Ք.ա.կետում Լ, AD=12 սմ, AB =10 սմ. Գտեք հատվածի երկարությունը Լ.Կ..

Լուծում:

  1. $\անկյուն 1 = \անկյուն 2$ (AK - բիսեկտոր);
  2. $\անկյուն 2 = \անկյուն 3$ (որպես խաչաձև անկյուններ $AD \զուգահեռ BC$-ով և AL հատվածով);
  3. $\անկյուն 1 = \անկյուն 3$, $\bigtriangleup ABL -$ հավասարաչափ:

Խնդիրը լուծելու ընթացքում մենք ստացանք հետևյալ հատկությունը.

Լրացուցիչ գույք.Զուգահեռագծի անկյան կիսադիրը նրանից կտրում է հավասարաչափ եռանկյուն:

Դասի թեմա

  • Զուգահեռագծի անկյունագծերի հատկությունները.

Դասի նպատակները

  • Ծանոթացե՛ք նոր սահմանումներին և հիշե՛ք արդեն ուսումնասիրված մի քանիսը։
  • Նշե՛ք և ապացուցե՛ք զուգահեռագծի անկյունագծերի հատկությունը։
  • Սովորեք կիրառել ձևերի հատկությունները խնդիրներ լուծելիս:
  • Զարգացնող - զարգացնել ուսանողների ուշադրությունը, հաստատակամությունը, հաստատակամությունը, տրամաբանական մտածողություն, մաթեմատիկական խոսք.
  • Ուսումնական - դասի միջոցով զարգացնել ուշադիր վերաբերմունք միմյանց նկատմամբ, սերմանել ընկերներին լսելու կարողություն, փոխօգնություն և անկախություն:

Դասի նպատակները

  • Ստուգեք ուսանողների խնդիրները լուծելու հմտությունները:

Դասի պլան

  1. Ներածություն.
  2. Նախկինում ուսումնասիրված նյութի կրկնություն:
  3. Զուգահեռագիծը, նրա հատկությունները և առանձնահատկությունները:
  4. Առաջադրանքների օրինակներ.
  5. Ինքնստուգում.

Ներածություն

«Խոշոր գիտական ​​հայտնագործությունը լուծում է մեծ խնդրի, բայց ցանկացած խնդրի լուծման մեջ կա բացահայտման հատիկ»:

Զուգահեռագծի հակառակ կողմերի հատկությունը

Զուգահեռագիծն ունի հակառակ կողմեր, որոնք հավասար են:

Ապացույց.

Թող ABCD լինի տրված զուգահեռագիծը: Եվ թող նրա անկյունագծերը հատվեն O կետում:
Քանի որ Δ AOB = Δ COD եռանկյունների հավասարության առաջին չափանիշով (∠ AOB = ∠ COD, որպես ուղղահայացներ, AO=OC, DO=OB, զուգահեռագծի անկյունագծերի հատկությամբ), ապա AB=CD։ Նույն կերպ BOC և DOA եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ BC = DA: Թեորեմն ապացուցված է.

Զուգահեռագծի հակադիր անկյունների հատկությունը

Զուգահեռագրում հակառակ անկյունները հավասար են:

Ապացույց.

Թող ABCD լինի տրված զուգահեռագիծը: Եվ թող նրա անկյունագծերը հատվեն O կետում:
Այն, ինչ ապացուցված էր թեորեմում զուգահեռագծի հակառակ կողմերի հատկությունների մասին Δ ABC = Δ CDA երեք կողմերի վրա (AB=CD, BC=DA ապացուցվածից, AC – ընդհանուր): Եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ ∠ ABC = ∠ CDA:
Ապացուցված է նաև, որ ∠ DAB = ∠ BCD, որը բխում է ∠ ABD = ∠ CDB-ից: Թեորեմն ապացուցված է.

Զուգահեռագծի անկյունագծերի հատկությունը

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և հատվում են հատման կետում:

Ապացույց.

Թող ABCD լինի տրված զուգահեռագիծը: Եկեք գծենք AC անկյունագիծը: Դրա վրա նշենք միջին O-ը DO հատվածի շարունակության վրա մի կողմ կդնենք OB 1 հատվածը, որը հավասար է DO-ին:
Նախորդ թեորեմով AB 1 CD-ն զուգահեռագիծ է: Հետևաբար, AB 1 ուղիղը զուգահեռ է DC-ին: Բայց A կետի միջով միայն մեկ ուղիղ կարող է գծվել DC-ին զուգահեռ: Սա նշանակում է, որ ուղիղ AB 1-ը համընկնում է ուղիղ AB-ի հետ:
Ապացուցված է նաեւ, որ մ.թ.ա 1-ը համընկնում է մ.թ.ա. Սա նշանակում է, որ C կետը համընկնում է C 1-ի հետ: ABCD զուգահեռագիծը համընկնում է AB 1 CD զուգահեռագծի հետ: Հետևաբար զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և հատվում են հատման կետում։ Թեորեմն ապացուցված է.

Դասագրքերում համար սովորական դպրոցներ(օրինակ՝ Պոգորելովում) ապացուցված է այսպես՝ անկյունագծերը զուգահեռագիծը բաժանում են 4 եռանկյունների։ Դիտարկենք մեկ զույգ և պարզենք՝ դրանք հավասար են՝ դրանց հիմքերը հակառակ կողմերն են, դրան հարող համապատասխան անկյունները հավասար են, ինչպես ուղղահայաց անկյունները՝ զուգահեռ գծերով։ Այսինքն՝ անկյունագծերի հատվածները զույգերով հավասար են։ Բոլորը.

Արդյո՞ք այս ամենը:
Վերևում ապացուցվեց, որ հատման կետը կիսում է անկյունագծերը, եթե այն գոյություն ունի: Վերոնշյալ պատճառաբանությունը ոչ մի կերպ չի ապացուցում դրա գոյությունը։ Այսինքն՝ «զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են» թեորեմի մի մասը մնում է չապացուցված։

Զավեշտալին այն է, որ այս մասն ապացուցելը շատ ավելի դժվար է։ Սա, ի դեպ, հետևում է ավելին ընդհանուր արդյունքըՑանկացած ուռուցիկ քառանկյուն կունենա անկյունագծեր, որոնք հատվում են, իսկ ցանկացած ոչ ուռուցիկ քառանկյուն՝ ոչ:

Կողքի և երկու հարակից անկյունների երկայնքով եռանկյունների հավասարության մասին (եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը) և այլն:

Թալեսը գտավ կարևոր թեորեմ՝ կողմի և երկու հարևան անկյունների երկայնքով երկու եռանկյունների հավասարության վերաբերյալ գործնական օգտագործում. Միլետուս նավահանգստում կառուցվել է հեռաչափ՝ ծովում նավի հեռավորությունը որոշելու համար։ Այն բաղկացած էր երեք շարժվող կցորդներից A, B և C (AB = BC) և նշված ուղիղ գիծից SC, ուղղահայաց CA-ին: Երբ նավը հայտնվեց SK ուղիղ գծի վրա, մենք գտանք D կետն այնպիսին, որ D, .B և E կետերը գտնվում էին նույն ուղիղ գծի վրա: Ինչպես պարզ է գծագրից, CD-ի հեռավորությունը գետնին ցանկալի հեռավորությունն է մինչև նավը:

Հարցեր

  1. Արդյո՞ք քառակուսու անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են հատման կետի վրա:
  2. Արդյո՞ք զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են:
  3. Արդյո՞ք զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են:
  4. Նշե՛ք զուգահեռագծի սահմանումը:
  5. Քանի՞ նշան է զուգահեռագիծը:
  6. Կարո՞ղ է ռոմբը լինել զուգահեռագիծ:

Օգտագործված աղբյուրների ցանկը

  1. Կուզնեցով Ա.Վ., մաթեմատիկայի ուսուցիչ (5-9-րդ դասարաններ), Կիև
  2. «Միասնական պետական ​​քննություն 2006թ. Մաթեմատիկա. Ուսումնական և ուսումնական նյութեր ուսանողների պատրաստման համար / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 թ.
  3. Mazur K. I. «M. I. Skanavi-ի խմբագրած ժողովածուի մաթեմատիկայի հիմնական մրցութային խնդիրների լուծումը»
  4. Լ. Ս. Աթանասյան, Վ.Ֆ.

Աշխատեցինք դասի վրա

Կուզնեցով Ա.Վ.

Պոտուռնակ Ս.Ա.

Եվգենի Պետրով

Հարց տվեք մասին ժամանակակից կրթություն, արտահայտել միտք կամ լուծել հրատապ խնդիր, կարող ես Ուսումնական ֆորում, որտեղ թարմ մտքի և գործողության կրթական խորհուրդը հանդիպում է միջազգայնորեն: Ստեղծելով բլոգ,Դուք ոչ միայն կբարելավեք ձեր՝ որպես իրավասու ուսուցչի կարգավիճակը, այլև զգալի ներդրում կունենաք ապագայի դպրոցի զարգացման գործում: Կրթության ղեկավարների գիլդիադռներ է բացում բարձրակարգ մասնագետների առաջ և հրավիրում նրանց համագործակցության՝ ստեղծելու աշխարհի լավագույն դպրոցները:

Առարկաներ > Մաթեմատիկա > Մաթեմատիկա 8-րդ դասարան

Սահմանում

Զուգահեռագիծքառանկյուն է, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են։

Նկար 1-ը ցույց է տալիս զուգահեռագիծը $A B C D, A B\|C D, B C\| A D$.

Զուգահեռագծի հատկությունները

  1. Զուգահեռագրում հակառակ կողմերը հավասար են՝ $A B=C D, B C=A D$ (Նկար 1):
  2. Զուգահեռագրում հակառակ անկյունները հավասար են $\անկյուն A=\անկյուն C, \անկյուն B=\անկյուն D$ (Նկար 1):
  3. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետում բաժանված են կեսի $A O=O C, B O=O D$ (Նկար 1):
  4. Զուգահեռագծի անկյունագիծը այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։

    5. Մի կողմին կից զուգահեռագծի անկյունների գումարը $180^(\circ)$ է:

    $$\անկյուն A+\անկյուն B=180^(\circ), \անկյուն B+\անկյուն C=180^(\circ)$$

    $$\անկյուն C+\անկյուն D=180^(\circ), \անկյուն D+\անկյուն A=180^(\circ)$$

    Զուգահեռագծի անկյունագծերը և կողմերը կապված են հետևյալ հարաբերությամբ.

    $$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

  5. Զուգահեռագրում բարձրությունների միջև անկյունը հավասար է նրա սուր անկյունին՝ $\անկյուն K B H=\անկյուն A$։
  6. Զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյունների կիսադիրները փոխադարձաբար ուղղահայաց են:
  7. Զուգահեռագծի երկու հակադիր անկյունների կիսադիրները զուգահեռ են:

Զուգահեռագծի նշաններ

$ABCD$ քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե

  1. $A B=C D$ և $A B \| C D$
  2. $A B=C D$ և $B C=A D$
  3. $A O=O C$ և $B O=O D$
  4. $\անկյուն A=\անկյուն C$ և $\անկյուն B=\անկյուն D$

Զուգահեռագծի տարածքը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևերից մեկի միջոցով.

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ

Զորավարժություններ.Զուգահեռագծի երկու անկյունների գումարը $140^(\circ)$ է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի ամենամեծ անկյունը:

Լուծում.Զուգահեռագրում հակառակ անկյունները հավասար են: Զուգահեռագծի ավելի մեծ անկյունը նշանակենք $\ալֆա$, իսկ փոքրը՝ $\beta$։ $\alpha$ և $\beta$ անկյունների գումարը $180^(\circ)$ է, ուստի տրված գումարը հավասար է $140^(\circ)$-ի երկու հակադիր անկյունների գումարն է, ապա $140^(\circ) 2=70 ^(\circ)$. Այսպիսով, փոքր անկյունը $\beta=70^(\circ)$ է: Մենք գտնում ենք $\alpha$ ավելի մեծ անկյունը հարաբերությունից.

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Պատասխանել.$\alpha=110^(\circ)$

Օրինակ

Զորավարժություններ.Զուգահեռագծի կողմերը 18 սմ և 15 սմ են, իսկ դեպի ավելի կարճ կողմը գծված բարձրությունը 6 սմ է։

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 2)

Ըստ պայմանի՝ $a=15$ սմ, $b=18$ սմ, $h_(a)=6$ սմ մակերեսը գտնելու համար վավեր են հետևյալ բանաձևերը.

$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$

Եկեք հավասարենք այս հավասարությունների աջ կողմերը և ստացված հավասարությունից արտահայտենք $h_(b) $.

$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Աջ սլաք h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$

Փոխարինելով խնդրի սկզբնական տվյալները՝ վերջապես ստանում ենք.

$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \Աջ սլաք h_(b)=5$ (սմ)