Գալուայի տեսություն. Խմբի տեսությունը և դրա ազդեցությունը մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտների վրա Մեկ տարր ավելացնելով ստացված ընդլայնումը կոչվում է պարզ

Եվ ինձ շատ դուր եկավ: Սթիլվելը ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է ընդամենը 4 էջի ընթացքում ապացուցել անլուծելիության մասին հայտնի թեորեմը 5 և ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների ռադիկալներով։ Նրա մոտեցման գաղափարն այն է, որ Գալուայի տեսության ստանդարտ ապարատի մեծ մասը՝ նորմալ ընդարձակումներ, բաժանելի ընդարձակումներ և հատկապես «Գալուայի տեսության հիմնարար թեորեմը» գործնականում անհրաժեշտ չեն այս կիրառման համար. այն փոքր մասերը, որոնք անհրաժեշտ են, կարելի է պարզեցված ձևով տեղադրել ապացույցի տեքստում:

Ես խորհուրդ եմ տալիս այս հոդվածը նրանց, ովքեր հիշում են բարձրագույն հանրահաշվի հիմնական սկզբունքները (ինչ են դաշտը, խումբը, ավտոմորֆիզմը, նորմալ ենթախումբը և գործակից խումբը), բայց երբեք իրականում չեն հասկացել արմատականների անորոշության ապացույցը:

Ես մի քիչ նստեցի դրա տեքստի վրա և հիշեցի ամենատարբեր բաներ, բայց ինձ թվում է, թե ինչ-որ բան պակասում է, որպեսզի ապացույցն ամբողջական և համոզիչ լինի։ Ահա թե ինչպիսին պետք է լինի, իմ կարծիքով, փաստաթղթի պլանը, հիմնականում ըստ Stillwell-ի՝ ինքնաբավ լինելու համար.

1. Պետք է հստակեցնել, թե ինչ է նշանակում «լուծել n-րդ աստիճանի ընդհանուր հավասարումը ռադիկալներով»։ Մենք վերցնում ենք n անհայտ u 1 ...u n և կառուցում ենք այս անհայտների ռացիոնալ ֆունկցիաների Q 0 = Q(u 1 ...u n) դաշտը: Այժմ մենք կարող ենք ընդլայնել այս դաշտը ռադիկալներով. ամեն անգամ ավելացնում ենք ինչ-որ աստիճանի արմատ ինչ-որ Q i տարրից և այդպիսով ստանում ենք Q i+1 (պաշտոնապես ասած՝ Q i+1-ը x m -k բազմանդամի ընդլայնման դաշտն է, որտեղ k. Q i-ում):

Հնարավոր է, որ որոշակի թվով նման ընդլայնումներից հետո մենք ստանանք E դաշտ, որտեղ «ընդհանուր հավասարումը» x n + u 1 *x n-1 + u 2 *x n-2 ... կքայքայվի գծային գործոնների. (x-v 1 )(x-v 2)....(x-v n). Այլ կերպ ասած, E-ն կներառի «ընդհանուր հավասարման» ընդլայնման դաշտը (այն կարող է ավելի մեծ լինել, քան այս դաշտը): Այս դեպքում մենք կասենք, որ ընդհանուր հավասարումը լուծելի է ռադիկալներով, քանի որ Q 0-ից մինչև E դաշտերի կառուցումը տալիս է ընդհանուր լուծման բանաձևը. n-րդ հավասարումներըաստիճաններ. Սա կարելի է հեշտությամբ ցույց տալ՝ օգտագործելով n=2 կամ n=3 օրինակներ:

2. Q(u 1 ...u n) վրա թող լինի E ընդարձակում, որը ներառում է «ընդհանուր հավասարման» ընդարձակման դաշտը և դրա արմատները v 1 ...v n: Այնուհետև մենք կարող ենք ապացուցել, որ Q(v 1 ...v n) իզոմորֆ է Q(x 1 ...x n-ին), n անհայտների ռացիոնալ ֆունկցիաների դաշտը: Սա այն մասն է, որը բացակայում է Սթիլվելի թղթից, բայց գտնվում է ստանդարտ խիստ ապացույցների մեջ: Մենք a priori չգիտենք v 1 ...v n-ի, ընդհանուր հավասարման արմատների մասին, որ դրանք տրանսցենդենտալ են և միմյանցից անկախ Q-ի նկատմամբ: Սա պետք է ապացուցվի, և հեշտությամբ ապացուցվում է Q(v 1) ընդլայնման համեմատությամբ: ...v n) / Q(u 1 ...u n) ընդլայնմամբ Q(x 1 ...x n) / Q(a 1 ...a n), որտեղ a i-ն սիմետրիկ բազմանդամներ են x-ներում, ձևակերպելով, թե ինչպես են գործակիցները. հավասարումը կախված է արմատներից (Վիետայի բանաձևերը): Այս երկու ընդարձակումները պարզվում են, որ միմյանց նկատմամբ իզոմորֆ են: Այն, ինչ մենք ապացուցեցինք v 1 ...v n-ի մասին, այժմ հետևում է, որ ցանկացած փոխակերպում v 1 ...v n առաջացնում է ավտոմորֆիզմ Q(v 1 ...v n), որն այդպիսով վերադասավորում է արմատները:

3. Ցանկացած ընդլայնում Q(u 1 ...u n) ռադիկալներում, որը ներառում է v 1 ...v n, կարող է ավելի ընդլայնվել դեպի E սիմետրիկ ընդլայնում v 1 ...v n-ի նկատմամբ: Դա պարզ է. ամեն անգամ մենք ավելացրել ենք տարրի արմատը, որն արտահայտվում է u 1 ...u n-ի միջոցով, հետևաբար v 1 ...v n-ի միջոցով (Վիետա բանաձևեր), մենք դրա հետ միասին ավելացնում ենք բոլոր տարրերի արմատները, որոնք ստացվում են ցանկացած v փոխակերպմամբ։ 1 ...v n Արդյունքում, E» -ն ունի հետևյալ հատկությունը. ցանկացած փոխակերպում v 1 ...v n ընդլայնվում է դեպի ավտոմորֆիզմ Q(v 1 ...v n), որը ընդլայնվում է դեպի ավտոմորֆիզմ E», որը միևնույն ժամանակ ժամանակը ամրագրում է Q(u 1 ... u n) բոլոր տարրերը (Վիետայի բանաձևերի համաչափության շնորհիվ):

4. Այժմ մենք նայում ենք ընդլայնումների Galois խմբերին G i = Gal(E"/Q i), այսինքն՝ E automorphisms", որոնք ամրագրում են Q i-ի բոլոր տարրերը, որտեղ Q i-ն միջանկյալ դաշտեր են ընդլայնումների շղթայում արմատականների կողմից: Q(u 1 ...u n) E-ին»: Ստիլվելը ցույց է տալիս, որ եթե մենք միշտ ավելացնենք պարզ աստիճանի ռադիկալներ և միասնության արմատներ մյուս արմատներից առաջ (կարևոր սահմանափակումներ), ապա հեշտ է տեսնել, որ յուրաքանչյուր G i+1 G i-ի նորմալ ենթախումբ, և նրանց գործոնային խումբը Աբելյան է: «), քանի որ «E» ավտոմորֆիզմը ամբողջությամբ ֆիքսում է «E»-ն, կա միայն մեկը։

5. Մենք 3-րդ կետից գիտենք, որ G 0-ն ներառում է բազմաթիվ ավտոմորֆիզմներ. v 1 ...v n ցանկացած փոխակերպման համար G 0-ում կա ավտոմորֆիզմ, որը երկարացնում է այն: Հեշտ է ցույց տալ, որ եթե n>4, և G i-ն ներառում է բոլոր 3 ցիկլերը (այսինքն՝ ավտոմորֆիզմները, որոնք տարածում են v 1 ...v n այդ ցիկլը 3 տարրերի միջով), ապա G i+1-ը ներառում է նաև ձեզ բոլոր 3 ցիկլերը: . Սա հակասում է այն փաստին, որ շղթան ավարտվում է 1-ով և ապացուցում է, որ չի կարող լինել Q(u 1 ...u n)-ով սկսվող արմատականների ընդլայնումների շղթա և վերջում ներառելով «ընդհանուր հավասարման» ընդլայնման դաշտը։

Գալուայի տեսություն

Ինչպես նշվեց վերևում, Աբելը չկարողացավ տալ ընդհանուր չափանիշռադիկալներով թվային գործակիցներով հավասարումների լուծելիությունը։ Բայց այս հարցի լուծումը երկար սպասել չտվեց։ Այն պատկանում է Էվարիստ Գալուային (1811 - 1832), ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, ով Աբելի նման մահացել է շատ երիտասարդ տարիքում։ Նրա կարճատև, բայց ակտիվ քաղաքական պայքարով լի կյանքը և մաթեմատիկական ուսումնասիրությունների նկատմամբ նրա կրքոտ հետաքրքրությունը վառ օրինակ են, թե ինչպես են շնորհալի մարդու գործունեության մեջ գիտության կուտակված նախադրյալները որակապես թարգմանվում։ նոր փուլդրա զարգացումը։

Գալուային հաջողվել է քիչ գործեր գրել։ Ռուսերեն հրատարակության մեջ նրա ստեղծագործությունները, ձեռագրերն ու կոպիտ նշումները փոքր գրքում զբաղեցրել են ընդամենը 120 էջ։ Բայց այս աշխատանքների նշանակությունը հսկայական է։ Ուստի ավելի մանրամասն քննարկենք նրա ծրագրերն ու արդյունքները։

Գալուան իր աշխատանքում ուշադրություն է հրավիրում այն ​​դեպքի վրա, երբ համեմատությունը չունի ամբողջ թվային արմատներ։ Նա գրում է, որ «ապա այս համեմատության արմատները պետք է դիտարկել որպես մի տեսակ երևակայական նշաններ, քանի որ դրանք չեն բավարարում ամբողջ թվերի պահանջները. Այս նշանների դերը հաշվարկում հաճախ նույնքան օգտակար կլինի, որքան երևակայականի դերը սովորական վերլուծության մեջ»: Հաջորդը, նա ըստ էության դիտարկում է անկրճատելի հավասարման արմատը դաշտին ավելացնելու կառուցումը (բացահայտորեն ընդգծում է անկրճատելիության պահանջը) և ապացուցում է վերջավոր դաշտերի վերաբերյալ մի շարք թեորեմներ։ Տես [Կոլմոգորով]

Ընդհանուր առմամբ, Գալուայի դիտարկած հիմնական խնդիրը ընդհանուր հանրահաշվական հավասարումների ռադիկալներում լուծելիության խնդիրն է, և ոչ միայն Աբելի դիտարկած 5-րդ աստիճանի հավասարումների դեպքում։ Հիմնական նպատակըԳալուայի ամբողջ հետազոտությունն այս ոլորտում եղել է բոլոր հանրահաշվական հավասարումների լուծելիության չափանիշ գտնելը։

Այս առումով, եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք Գալուայի հիմնական աշխատության բովանդակությունը՝ «Հուշագրություն ռադիկալների մեջ հավասարումների լուծելիության պայմանների մասին» (Memoiresur les condition de resolubilite des equations par radicaux.-- J. math, pures et appl. ., 1846):

Եկեք դիտարկենք, հետևելով Գալուային, հավասարումը. տե՛ս [Ռիբնիկով]

Դրա համար մենք սահմանում ենք ռացիոնալության տարածքը՝ հավասարման գործակիցների ռացիոնալ ֆունկցիաների մի շարք.

Ռացիոնալության տարածքը R-ն դաշտ է, այսինքն՝ չորս գործողությունների նկատմամբ փակ տարրերի մի շարք։ Եթե ​​---ը ռացիոնալ են, ապա R-ն դաշտ է ռացիոնալ թվեր; եթե գործակիցները կամայական արժեքներ են, ապա R-ը ձևի տարրերի դաշտ է.

Այստեղ համարիչն ու հայտարարը բազմանդամներ են։ Ռացիոնալության տիրույթը կարող է ընդլայնվել՝ դրան ավելացնելով տարրեր, օրինակ՝ հավասարման արմատները։ Եթե ​​այս շրջանին ավելացնենք հավասարման բոլոր արմատները, ապա հավասարման լուծելիության հարցը դառնում է տրիվիալ։ Ռադիկալներում հավասարման լուծելիության խնդիրը կարող է դրվել միայն ռացիոնալության որոշակի տարածքի հետ կապված: Նա նշում է, որ հնարավոր է փոխել ռացիոնալության ոլորտը՝ ավելացնելով հայտնի նոր քանակությունները։

Միևնույն ժամանակ, Գալուան գրում է. «Ավելին, մենք կտեսնենք, որ հավասարման հատկություններն ու դժվարությունները կարող են բոլորովին այլ լինել՝ համաձայն դրան ավելացված քանակությունների»։

Գալուան ապացուցեց, որ ցանկացած հավասարման համար հնարավոր է ռացիոնալության նույն տարածքում գտնել ինչ-որ հավասարում, որը կոչվում է նորմալ: Այս հավասարման արմատները և համապատասխան նորմալ հավասարումը ռացիոնալ կերպով արտահայտվում են միմյանց միջոցով։

Այս պնդման ապացույցից հետո գալիս է Գալուայի հետաքրքիր դիտողությունը. «Հատկանշական է, որ այս առաջարկից կարելի է եզրակացնել, որ յուրաքանչյուր հավասարում կախված է այնպիսի օժանդակ հավասարումից, որ այս նոր հավասարման բոլոր արմատները միմյանց ռացիոնալ ֆունկցիաներ են»։

Գալուայի դիտողության վերլուծությունը մեզ տալիս է նորմալ հավասարման հետևյալ սահմանումը.

Նորմալ հավասարումը այն հավասարումն է, որն ունի այն հատկությունը, որ իր բոլոր արմատները կարող են ռացիոնալ կերպով արտահայտվել դրանցից մեկի և գործակցի դաշտի տարրերի միջոցով:

Նորմալ հավասարման օրինակ կարող է լինել հավասարումը. Դրա արմատները

Օրինակ, քառակուսի հավասարումը նույնպես նորմալ կլինի:

Հարկ է նշել, սակայն, որ Գալուան կանգ չի առնում դրանով հատուկ ուսումնասիրություննորմալ հավասարումներ, նա միայն նշում է, որ նման հավասարումը «ավելի հեշտ է լուծել, քան մյուսները»: Գալուան շարունակում է մտածել արմատների փոխարինման մասին:

Նա ասում է, որ նորմալ հավասարման արմատների բոլոր փոխարինումները կազմում են G խումբ: Սա Q հավասարման Գալուա խումբն է, կամ, նույնն է, հավասարումը: Այն ունի, ինչպես Գալուան պարզեց, մի ուշագրավ հատկություն՝ ցանկացած ռացիոնալ: R դաշտի արմատների և տարրերի միջև կապը անփոփոխ է G խմբի փոխարկումների դեպքում: Այսպիսով, Գալուան յուրաքանչյուր հավասարման հետ կապում է իր արմատների փոխակերպումների խմբի հետ: Նա նաև ներմուծեց (1830) «խումբ» տերմինը՝ համարժեք ժամանակակից, թեև ոչ այնքան պաշտոնական սահմանում։

Պարզվեց, որ Galois խմբի կառուցվածքը կապված է ռադիկալներով հավասարումների լուծելիության խնդրի հետ։ Որպեսզի լուծելիությունը տեղի ունենա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ համապատասխան Գալուա խումբը լուծելի լինի։ Սա նշանակում է, որ այս խմբում կա սովորական բաժանարարների շղթա՝ պարզ ինդեքսներով։

Ի դեպ, հիշենք, որ նորմալ բաժանարարները կամ, նույն բանը, ինվարիանտ ենթախմբերը G խմբի այն ենթախմբերն են, որոնց համար.

որտեղ g-ը G խմբի տարրն է:

Ընդհանուր հանրահաշվական հավասարումները, ընդհանուր առմամբ, չունեն նման շղթա, քանի որ փոխակերպումների խմբերն ունեն 2-րդ ինդեքսի միայն մեկ նորմալ բաժանարար՝ բոլոր զույգ փոխարկումների ենթախումբը: Հետևաբար, այս հավասարումները արմատականներում, ընդհանուր առմամբ, անլուծելի են (Եվ մենք տեսնում ենք կապը Գալուայի արդյունքի և Աբելի արդյունքի միջև):

Գալուան ձևակերպեց հետևյալ հիմնարար թեորեմը.

Ցանկացած տրված հավասարման և ռացիոնալության ցանկացած տիրույթի համար կա այս հավասարման արմատների փոխակերպումների խումբ, որն ունի այն հատկությունը, որ ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա, այսինքն. Ռացիոնալության տիրույթի այս արմատներից և տարրերից կառուցված ռացիոնալ գործողություններ օգտագործելով, որը, երբ վերադասավորվում է այս խմբում, պահպանում է իր թվային արժեքները, ունի ռացիոնալ (ռացիոնալության տիրույթին պատկանող) արժեքներ և հակառակը՝ ռացիոնալ ընդունող ցանկացած ֆունկցիա։ արժեքները, երբ վերադասավորվում են այս խմբում, պահպանում են այդ արժեքները:

Եկեք հիմա դիտարկենք հատուկ օրինակ, որը Գալուան ինքն է ուսումնասիրել։ Խնդիրն այն է, որ գտնենք այնպիսի պայմաններ, որոնց դեպքում աստիճանի անկրճատելի հավասարումը, որտեղ պարզ է, լուծելի է երկանդամ հավասարումների միջոցով: Գալուան հայտնաբերում է, որ այս պայմանները բաղկացած են հավասարման արմատները այնպես դասավորելու հնարավորությունից, որ փոխակերպումների նշված «խումբը» տրված է բանաձևերով.

որտեղ կարող է հավասար լինել թվերից որևէ մեկին, իսկ b-ն հավասար է: Նման խումբը պարունակում է առավելագույնը p(p -- 1) փոխարկումներ: Այն դեպքում, երբ ??=1 կան միայն p փոխարկումներ, մենք խոսում ենք ցիկլային խմբի մասին; ընդհանուր առմամբ խմբերը կոչվում են մետացիկլիկ: Այսպիսով, ռադիկալներով պարզ աստիճանի անկրճատելի հավասարման լուծելիության անհրաժեշտ և բավարար պայման է պահանջը, որ նրա խումբը լինի մետացիկլիկ, կոնկրետ դեպքում՝ ցիկլային խումբ։

Այժմ արդեն հնարավոր է ուրվագծել Գալուայի տեսության շրջանակով սահմանված սահմանները։ Այն մեզ տալիս է լուծիչներ օգտագործելով հավասարումների լուծելիության որոշակի ընդհանուր չափանիշ, ինչպես նաև ցույց է տալիս դրանք գտնելու ուղին: Բայց այստեղ անմիջապես առաջանում է հետագա խնդիրների մի ամբողջ շարք. գտնել բոլոր այն հավասարումները, որոնք ռացիոնալության տվյալ տարածքի համար ունեն փոխակերպումների որոշակի, կանխորոշված ​​խումբ. հետաքննել այն հարցը, թե արդյոք նման երկու հավասարումներ կարող են կրճատվել միմյանց հետ, և եթե այո, ապա ինչ միջոցներով և այլն: Այս ամենը միասին կազմում է խնդիրների մի հսկայական շարք, որոնք այսօր դեռ լուծված չեն։ Գալուայի տեսությունը մեզ մատնանշում է դրանք, սակայն դրանք լուծելու որևէ միջոց չտալով:

Գալուայի ներդրած ապարատը ռադիկալներով հանրահաշվական հավասարումների լուծելիությունը հաստատելու համար ուներ նշանակություն, որը դուրս էր նշված խնդրի շրջանակից։ Հանրահաշվական դաշտերի կառուցվածքն ուսումնասիրելու և դրանց հետ սահմանափակ թվով փոխարկումների խմբերի կառուցվածքը համեմատելու նրա գաղափարը ժամանակակից հանրահաշվի բեղմնավոր հիմքն էր: Սակայն նա անմիջապես ճանաչում չստացավ։

Նախքան ճակատագրական մենամարտը, որն ավարտեց իր կյանքը, Գալուան մեկ գիշերում ձևակերպեց իր ամենակարևոր հայտնագործությունները և ուղարկեց իր ընկերոջը՝ Օ. Շևալյեին՝ ողբերգական ելքի դեպքում հրապարակման համար։ Մեջբերենք Օ. Շևալիեին ուղղված նամակից մի հայտնի հատված. «Դուք հրապարակավ կխնդրեք Յակոբիին կամ Գաուսին իրենց եզրակացությունը տալ ոչ թե վավերականության, այլ այս թեորեմների կարևորության մասին։ Սրանից հետո, հուսով եմ, կգտնվեն մարդիկ, ովքեր իրենց օգուտը կգտնեն այս ամբողջ խառնաշփոթը վերծանելու մեջ»։ Միևնույն ժամանակ, Գալուան նկատի ունի ոչ միայն հավասարումների տեսությունը, որը նույն նամակում ձևակերպել է Աբելյան և մոդուլային ֆունկցիաների տեսության խորը արդյունքները.

Այս նամակը հրապարակվել է Գալուայի մահից անմիջապես հետո, սակայն դրանում պարունակվող մտքերն արձագանք չեն գտել։ Միայն 14 տարի անց՝ 1846 թվականին, Լիուվիլը ապամոնտաժեց և հրատարակեց Գալուայի բոլոր մաթեմատիկական աշխատանքները։ 19-րդ դարի կեսերին։ Սերետի երկհատոր մենագրության մեջ, ինչպես նաև E. Betti A852 աշխատության մեջ, առաջին անգամ հայտնվեցին Գալուայի տեսության համահունչ ներկայացումները։ Եվ միայն անցյալ դարի 70-ական թվականներին Գալուայի գաղափարները սկսեցին հետագա զարգացում ստանալ:

Գալուայի տեսության մեջ խմբի հասկացությունը դառնում է հզոր և ճկուն գործիք։ Կոշին, օրինակ, նույնպես ուսումնասիրում էր փոխարինումները, բայց չէր էլ մտածում խմբի հայեցակարգին նմանատիպ դեր վերագրել։ Քոշիի համար նույնիսկ իր հետագա աշխատություններում 1844-1846 թթ. «Կոնյուգացված փոխարինումների համակարգ» անբաժանելի հասկացություն էր, շատ կոշտ. նա օգտագործեց դրա հատկությունները, բայց երբեք չբացահայտեց ենթախմբի և նորմալ ենթախմբի հասկացությունները: Հարաբերականության այս գաղափարը, Գալուայի սեփական գյուտը, հետագայում ներթափանցեց բոլոր մաթեմատիկական և ֆիզիկական տեսությունները, որոնք ծագում էին խմբի տեսությունից: Այս գաղափարը մենք տեսնում ենք գործողության մեջ, օրինակ, Էրլանգեն ծրագրում (այդ մասին կխոսենք ավելի ուշ)

Գալուայի աշխատությունների նշանակությունը կայանում է նրանում, որ դրանք լիովին բացահայտեցին հավասարումների տեսության նոր խորը մաթեմատիկական օրենքները։ Գալուայի հայտնագործությունները յուրացնելուց հետո բուն հանրահաշվի ձևն ու նպատակները զգալիորեն փոխվեցին, վերացավ հավասարումների տեսությունը՝ ի հայտ եկավ դաշտի տեսությունը, խմբի տեսությունը, Գալուայի տեսությունը։ Գալուայի վաղ մահը անդառնալի կորուստ էր գիտության համար: Եվս մի քանի տասնամյակ պահանջվեց բացերը լրացնելու, Գալուայի աշխատանքը հասկանալու և կատարելագործելու համար։ Քեյլիի, Սերեսի, Ջորդանի և այլոց ջանքերով Գալուայի հայտնագործությունները վերածվեցին Գալուայի տեսության։ 1870 թվականին Ջորդանի «Տրակտատ փոխարինումների և հանրահաշվական հավասարումների մասին» մենագրությունը այս տեսությունը ներկայացրեց բոլորին հասկանալի համակարգված ներկայացմամբ։ Այդ պահից Գալուայի տեսությունը դարձավ մաթեմատիկական կրթության տարր և մաթեմատիկական նոր հետազոտությունների հիմք։

Հանկարծ հասկացա, որ չեմ հիշում Գալուայի տեսությունը և որոշեցի տեսնել, թե որտեղ կարող եմ հասնել առանց թուղթ օգտագործելու և առանց որևէ այլ բան իմանալու, բացի հիմնական հասկացություններից՝ դաշտ, գծային տարածություն, մեկ փոփոխականի բազմանդամներ, Հորների սխեման, Էվկլիդյան ալգորիթմ, ավտոմորֆիզմ, խումբ։ փոխարինումների. Դե, գումարած ողջախոհությունը: Պարզվեց, որ բավականին հեռու է, ուստի ես ձեզ մանրամասն կպատմեմ:

Վերցնենք K դաշտ և դրա վրա p աստիճանի A(x) անկրճատելի բազմանդամը: Մենք ցանկանում ենք ընդլայնել K-ն այնպես, որ A-ն դառնա գծային ֆակտորիզացվող: Եկ սկսենք։ Մենք ավելացնում ենք նոր տարր a, որի մասին գիտենք միայն, որ A(a) = 0: Ակնհայտ է, որ դուք պետք է ավելացնեք բոլոր a ուժերը (p-1)th-ին և նրանց բոլոր գծային համակցությունները: Արդյունքը վեկտորային տարածություն է p չափման K-ի վրա, որում սահմանվում են գումարում և բազմապատկում: Բայց - շտապե՜ - սահմանվում է նաև բաժանում. p-ից փոքր աստիճանի ցանկացած B(x) բազմանդամ է A(x)-ի համապարփակ, և Էվկլիդեսի ալգորիթմը մեզ տալիս է B(x)C(x)+A(x)M(x)=1 համար: հարմար բազմանդամներ C և M. Եվ հետո B(a)C(a) = 1 - մենք գտանք B(a) հակադարձ տարրը: Այսպիսով, K(a) դաշտը եզակիորեն սահմանված է մինչև իզոմորֆիզմը, և դրա յուրաքանչյուր տարր ունի եզակի սահմանված «կանոնական արտահայտություն» a-ի և K-ի տարրերի միջոցով: Եկեք ընդլայնենք A(x) նոր դաշտը K(a): ) Մեկ գծային գործոն, որը մեզ հայտնի է, (x-a) է: Բաժանենք դրանով և ստացվածը քայքայենք անկրճատելի գործոնների։ Եթե ​​դրանք բոլորը գծային են, մենք հաղթում ենք, հակառակ դեպքում վերցնում ենք ոչ գծային և նմանապես ավելացնում ենք դրա արմատներից մեկը: Եվ այսպես մինչև հաղթանակ (ճանապարհին հաշվելով չափը K-ի վրա. ամեն քայլափոխի այն բազմապատկվում է ինչ-որ բանով): Վերջնական արդյունքը անվանենք K(A):
Հիմա ոչինչ չի պահանջվում, բացի ողջախոհությունև հասկանալ, թե ինչ է իզոմորֆիզմը, որպեսզի հասկանանք՝ մենք ապացուցեցինք թեորեմը:
Թեորեմ. Ցանկացած K դաշտի և դրա վրա p աստիճանի A(x) անկրճատելի բազմանդամի համար կա K դաշտի եզակի, մինչև իզոմորֆիզմ, K(A) ընդլայնում հետևյալ հատկություններով.
1. A(x)-ը K(A)-ի վրա կքայքայվի գծային գործակիցների
2. K(A)-ն առաջանում է K-ից և A(x)-ի բոլոր արմատներից:
3. Եթե T-ն K պարունակող ցանկացած դաշտ է, որի վրա A(x)-ը քայքայվում է գծային գործոնների, ապա K-ն և A(x)-ի արմատները T-ում առաջացնում են K(A)-ի նկատմամբ իզոմորֆ և անփոփոխ դաշտ ցանկացած ավտոմորֆիզմի ազդեցության ներքո: T, որը նույնական է TO-ի վրա:
4. K(A) ավտոմորֆիզմների խումբը, որը նույնական է K-ի վրա, գործում է A(x) արմատների բազմության վրա փոխարկումներով: Այս գործողությունը ճշգրիտ է և անցողիկ: Նրա կարգը հավասար է K(A) չափմանը K-ի նկատմամբ:

Ի դեպ, նշենք, որ եթե պրոցեսի յուրաքանչյուր քայլում (x-a-ով) բաժանվելուց հետո մնում է նոր անկրճատելի բազմանդամ, ապա ընդլայնման չափը հավասար է p!-ի, իսկ խումբը լիովին սիմետրիկ է p աստիճանի։ (Իրականում, ակնհայտորեն, «եթե և միայն եթե»):
Օրինակ, դա տեղի է ունենում, եթե A-ն բազմանդամ է ընդհանուր տեսարան. Ինչ է դա? Սա այն դեպքում, երբ նրա a_0, a_1,..., a_p = 1 գործակիցները հանրահաշվորեն անկախ են K-ի նկատմամբ: Ի վերջո, եթե Հորների սխեմայի համաձայն A(x)-ը բաժանենք x-a-ի (դա կարելի է անել մեր գլխում, դրա համար էլ հորինվել է այնքան պարզ ), ապա մենք տեսնում ենք, որ գործակիցների գործակիցները հանրահաշվորեն անկախ են արդեն K(a) նկատմամբ։ Այսպիսով, ըստ ինդուկցիայի, ամեն ինչ բարձր է:

Կարծում եմ, որ նման հիմնական ներածությունից հետո շատ ավելի հեշտ կլինի հասկանալ մնացած բոլոր մանրամասները ցանկացած գրքից։

Գալուայի տեսություն, որը ստեղծվել է Է. Գալուայի կողմից, ավելի բարձր աստիճանի հանրահաշվական հավասարումների տեսություն մեկ քիչ հայտնի, այսինքն.

պայմաններ է սահմանում նման հավասարումների պատասխանի կրճատման համար այլ հանրահաշվական հավասարումների շղթայի պատասխանին (շատ դեպքերում ավելի ցածր աստիճանի): Քանի որ xm = A երկանդամ հավասարման պատասխանը ռադիկալ է, ապա (*) հավասարումը լուծվում է ռադիկալներով, եթե այն կարելի է կրճատել երկանդամ հավասարումների շղթայի։ 2-րդ, 3-րդ և 4-րդ աստիճանների բոլոր հավասարումները լուծված են ռադիկալներով։ x2 + px + q = 0 2-րդ աստիճանի հավասարումը լուծվել է հին ժամանակներում՝ օգտագործելով հայտնի բանաձևը.

3-րդ և 4-րդ աստիճանների հավասարումները լուծվել են 16-րդ դարում։ x3 + px + q = 0 ձևի 3-րդ աստիճանի հավասարման համար (որին կարելի է իջեցնել 3-րդ աստիճանի ցանկացած հավասարում), պատասխանը տրվում է այսպես կոչված. Կարդանոյի բանաձևը.

հրատարակվել է G. Cardano-ի կողմից 1545 թվականին, չնայած այն հանգամանքին, որ այն հարցը, թե նա ինքն է գտել, թե փոխառել է այլ մաթեմատիկոսներից, չի կարող լիովին լուծված համարվել: 4-րդ աստիճանի ռադիկալների հավասարումներով պատասխանելու մեթոդը նշել է Լ.Ֆերարին։

Հաջորդ երեք դարերի ընթացքում մաթեմատիկոսները փորձեցին գտնել նմանատիպ բանաձեւեր 5-րդ և ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների համար։ Է. Բեզուն և Ջ. Լագրանժը ամենահամառորեն աշխատել են դրա վրա: Վերջինս ուսումնասիրեց արմատների հատուկ գծային համակցությունները (այսպես կոչված՝ Լագրանժի լուծիչներ) և ուսումնասիրեց այն հարցը, թե ինչ հավասարումներ են բավարարում (*) հավասարման արմատների ռացիոնալ ֆունկցիաները։

1801 թվականին Կ. Գաուսը ստեղծեց xn = 1 ձևի երկանդամ հավասարման ռադիկալներով պատասխանի ամբողջական տեսություն, որում հավասարման պատասխանը նվազեցրեց ավելի ցածր աստիճանի երկանդամ հավասարումների շղթայի պատասխանին և տվեց պայմաններ. անհրաժեշտ և բավարար xn = 1 հավասարման համար, որը լուծվում է քառակուսի ռադիկալներով: Երկրաչափության տեսանկյունից վերջին խնդիրն էր գտնել ճիշտ n-գոնները, որոնք կարելի է կառուցել քանոնով և կողմնացույցով. Դրա հիման վրա xn = 1 հավասարումը կոչվում է շրջան բաժանելու հավասարում։

Վերջապես, 1824 թվականին Ն. Աբելը ցույց տվեց, որ 5-րդ աստիճանի ոչ մասնագիտացված հավասարումը (և առավել ևս ավելի բարձր աստիճանի ոչ մասնագիտացված հավասարումները) հնարավոր չէ լուծել ռադիկալներով: Հակառակ դեպքում, Աբելը պատասխանը տվեց կամայականորեն հավասարումներ պարունակող մեկ ոչ մասնագիտացված դասի հավասարումների ռադիկալներով. բարձր աստիճաններ, այսպես կոչված Աբելյան հավասարումներ.

Այսպիսով, այն ժամանակ, երբ Գալուան սկսեց իր ուսումնասիրությունները, ամեն ինչ արդեն արված էր հանրահաշվական հավասարումների տեսության մեջ. մեծ թվով, սակայն (*) ձևի բոլոր հնարավոր հավասարումները ընդգրկող ոչ մասնագիտացված տեսություն դեռ չի ստեղծվել։ Օրինակ՝ մնաց՝ 1) հաստատել անհրաժեշտ և բավարար պայմանները, որոնք պետք է բավարարի (*) հավասարումը, որպեսզի այն լուծվի ռադիկալներով. 2) մեծ հաշվով որոշել, թե ավելի պարզ հավասարումների որ շղթային, թեկուզ ոչ երկանդամ, կարող է կրճատվել տրված հավասարման պատասխանը (*) և, օրինակ, 3) պարզել, թե որոնք են անհրաժեշտ և բավարար պայմանները հավասարման համար. (*) կրճատել քառակուսիների շղթայի հավասարումների (այսինքն, այնպես, որ հավասարման արմատները երկրաչափորեն կառուցվեն՝ օգտագործելով քանոն և կողմնացույց):

Այս բոլոր հարցերը Գալուան լուծեց իր «Հիշատակարաններում» ռադիկալներով հավասարումների լուծելիության պայմանների մասին, որը գտնվել է նրա մահից հետո և առաջին անգամ հրատարակվել է Ջ. Լիուվիլի կողմից 1846 թվականին: խմբերի և փոխարինման հավասարումների՝ ներկայացնելով խմբի տեսության հաջորդականության հիմնարար հասկացությունները։ Գալուան ձևակերպել է ռադիկալներում (*) հավասարման լուծելիության իր պայմանը խմբի տեսության տեսանկյունից։

Գալուայի ավարտից հետո երկրաբանական տեսությունը զարգացավ և ընդհանրացվեց բազմաթիվ ուղղություններով։ Ժամանակակից հասկացության մեջ երկրաչափական տեսությունը տեսություն է, որն ուսումնասիրում է որոշակի մաթեմատիկական առարկաներ՝ ելնելով նրանց ավտոմորֆիզմների խմբերից (օրինակ՝ դաշտերի երկրաչափական տեսությունը, օղակների երկրաչափական տեսությունը, տոպոլոգիական տարածությունների երկրաչափական տեսությունը և այլն): .).

Լիտ.՝ Գալուա Է., Երկեր, թարգմ. ֆրանսերենից, M. - L., 1936; Չեբոտարև Ն.