Ո՞րն է թվաբանական առաջընթացի բանաձևը: Թվաբանական առաջընթացի նշում
Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ…»)
Թվաբանական առաջընթացը թվերի մի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ նույնքանով մեծ է (կամ փոքր), քան նախորդը։
Այս թեման հաճախ բարդ և անհասկանալի է թվում: Տառերի ինդեքսներ n-րդ կիսամյակառաջընթացներ, առաջընթացի տարբերություններ - այս ամենը ինչ-որ կերպ շփոթեցնող է, այո... Եկեք պարզենք թվաբանական առաջընթացի իմաստը և ամեն ինչ անմիջապես կլավանա:)
Թվաբանական առաջընթացի հայեցակարգը.
Թվաբանական առաջընթացը շատ պարզ և հստակ հասկացություն է։ Դուք կասկածներ ունե՞ք։ Իզուր։) Ինքներդ տես։
Ես կգրեմ թվերի անավարտ շարք.
1, 2, 3, 4, 5, ...
Կարող եք երկարացնել այս շարքը: Ո՞ր թվերն են լինելու հաջորդ՝ հինգից հետո։ Բոլորը... հը..., մի խոսքով, բոլորը կհասկանան, որ հաջորդը լինելու են 6, 7, 8, 9 և այլն թվերը։
Եկեք բարդացնենք խնդիրը. Ես ձեզ տալիս եմ թվերի անավարտ շարք.
2, 5, 8, 11, 14, ...
Դուք կկարողանաք որսալ օրինակը, երկարացնել շարքը և անվանել յոթերորդշարքի համարը?
Եթե հասկացաք, որ այս թիվը 20 է, շնորհավորում ենք։ Ոչ միայն դուք զգացիք հիմնական կետերըթվաբանական առաջընթաց,բայց նաև հաջողությամբ օգտագործեց դրանք բիզնեսում: Եթե չեք հասկացել, կարդացեք:
Հիմա եկեք թարգմանենք հիմնական կետերը սենսացիաներից մաթեմատիկայի:
Առաջին առանցքային կետը.
Թվաբանական առաջընթացը վերաբերում է թվերի շարքին:Սա սկզբում շփոթեցնող է: Մենք սովոր ենք հավասարումներ լուծելու, գրաֆիկներ նկարելու և այդ ամենին... Բայց այստեղ մենք երկարացնում ենք շարքը, գտնում շարքի թիվը...
Ամեն ինչ կարգին է։ Պարզապես առաջընթացները մաթեմատիկայի նոր ճյուղի հետ առաջին ծանոթությունն են: Բաժինը կոչվում է «Սերիա» և աշխատում է հատուկ թվերի և արտահայտությունների հետ: Ընտելացեք դրան։)
Երկրորդ առանցքային կետը.
Թվաբանական առաջընթացում ցանկացած թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։
Առաջին օրինակում այս տարբերությունը մեկն է. Ինչ թիվ էլ վերցնես, նախորդից մեկով ավելի է։ Երկրորդում `երեք: Ցանկացած թիվ երեքով ավելի է նախորդից։ Փաստորեն, հենց այս պահն է մեզ հնարավորություն ըմբռնելու օրինաչափությունը և հաշվարկելու հաջորդ թվերը։
Երրորդ առանցքային կետը.
Այս պահը աչքի չի ընկնում, այո... Բայց շատ, շատ կարևոր է։ Ահա նա. յուրաքանչյուրը առաջընթացի համարըկանգնած է իր տեղում.Կա առաջին համարը, կա յոթերորդը, կա քառասունհինգերորդը և այլն: Եթե դրանք պատահականորեն խառնեք, օրինակը կվերանա: Թվաբանական առաջընթացը նույնպես կվերանա: Մնում է ընդամենը թվերի շարք:
Ամբողջ իմաստը դա է:
Իհարկե, նոր թեմայում հայտնվում են նոր տերմիններ և նշանակումներ։ Դուք պետք է իմանաք նրանց: Հակառակ դեպքում դուք չեք հասկանա առաջադրանքը: Օրինակ, դուք պետք է որոշեք նման բան.
Գրեք թվաբանական առաջընթացի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:
Ոգեշնչող?) Նամակներ, որոշ ցուցիչներ... Իսկ առաջադրանքն, ի դեպ, ավելի պարզ լինել չէր կարող։ Պարզապես պետք է հասկանալ տերմինների և նշանակումների իմաստը: Այժմ մենք կյուրացնենք այս գործը և կվերադառնանք առաջադրանքին։
Պայմաններ և նշանակումներ.
Թվաբանական առաջընթացթվերի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։
Այս քանակությունը կոչվում է . Եկեք նայենք այս հայեցակարգին ավելի մանրամասն:
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունայն գումարն է, որով ցանկացած առաջընթացի թիվ ավելիննախորդը.
Մեկը կարևոր կետ. Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք բառին «ավելին».Մաթեմատիկորեն սա նշանակում է, որ առաջընթացի յուրաքանչյուր թիվ է ավելացնելովթվաբանական առաջընթացի տարբերությունը նախորդ թվին:
Հաշվարկելու համար ասենք երկրորդշարքի համարները, դուք պետք է առաջինթիվ ավելացնելթվաբանական պրոգրեսիայի հենց այս տարբերությունը: Հաշվարկի համար հինգերորդ- տարբերությունն անհրաժեշտ է ավելացնելԴեպի չորրորդ,լավ և այլն:
Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունՄիգուցե դրական,ապա շարքի յուրաքանչյուր թիվ իրական կդառնա ավելի շատ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է աճող։Օրինակ:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Այստեղ ստացվում է յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելով դրական թիվ, +5 նախորդին։
Տարբերությունը կարող է լինել բացասական,ապա շարքի յուրաքանչյուր թիվ կլինի ավելի քիչ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է (չեք հավատա!) նվազում է։
Օրինակ:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Այստեղ նույնպես ստացվում է յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովնախորդին, բայց արդեն բացասական թիվ, -5.
Ի դեպ, պրոգրեսիայի հետ աշխատելիս շատ օգտակար է անմիջապես որոշել դրա բնույթը` ավելանում է, թե նվազում: Սա մեծապես օգնում է կողմնորոշվել որոշման մեջ, նկատել ձեր սխալները և ուղղել դրանք, քանի դեռ ուշ չէ:
Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունսովորաբար նշվում է տառով դ.
Ինչպես գտնել դ? Շատ պարզ։ Շարքի ցանկացած թվից անհրաժեշտ է հանել նախորդթիվ։ հանել. Ի դեպ, հանման արդյունքը կոչվում է «տարբերություն»):
Եկեք սահմանենք, օրինակ. դթվաբանական առաջընթացի ավելացման համար.
2, 5, 8, 11, 14, ...
Վերցնում ենք մեր ուզած շարքի ցանկացած թիվ, օրինակ՝ 11։ Դրանից հանում ենք նախորդ համարըդրանք. 8:
Սա ճիշտ պատասխանն է։ Այս թվաբանական առաջընթացի համար տարբերությունը երեք է:
Դուք կարող եք վերցնել այն առաջընթացի ցանկացած թիվ,որովհետեւ կոնկրետ առաջընթացի համար դ-միշտ նույնը։Գոնե ինչ-որ տեղ շարքի սկզբում, թեկուզ մեջտեղում, թեկուզ ցանկացած տեղ։ Դուք չեք կարող վերցնել միայն առաջին համարը: Պարզապես այն պատճառով, որ հենց առաջին համարը ոչ մի նախորդ.)
Ի դեպ, դա իմանալով d=3, այս առաջընթացի յոթերորդ թիվը գտնելը շատ պարզ է: Հինգերորդ թվին գումարենք 3 - ստանում ենք վեցերորդը, կլինի 17։ Վեցերորդ թվին գումարենք երեք, ստանում ենք յոթերորդ թիվը՝ քսան։
Եկեք սահմանենք դնվազող թվաբանական առաջընթացի համար.
8; 3; -2; -7; -12; .....
Հիշեցնում եմ, որ, անկախ նշաններից, որոշել դանհրաժեշտ է ցանկացած համարից խլել նախորդը.Ընտրեք առաջընթացի ցանկացած թիվ, օրինակ -7: Նրա նախորդ թիվը -2 է։ Ապա.
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել ցանկացած թիվ՝ ամբողջ թիվ, կոտորակային, իռացիոնալ, ցանկացած թիվ։
Այլ տերմիններ և նշանակումներ:
Շարքի յուրաքանչյուր թիվ կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ։
Առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ ունի իր համարը.Թվերը խիստ կարգավորված են՝ առանց որևէ հնարքների։ Առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ և այլն: Օրինակ՝ 2, 5, 8, 11, 14, ... երկուսը առաջին անդամն է, հինգը՝ երկրորդը, տասնմեկը՝ չորրորդը, լավ, հասկանում եք...) Խնդրում եմ հստակ հասկացեք. թվերն իրենք ենկարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, ամբողջ, կոտորակային, բացասական, ինչ էլ որ լինի, բայց թվերի համարակալում- խիստ կարգով:
Ինչպես գրել առաջընթաց ընդհանուր տեսարան? Ոչ մի խնդիր! Շարքի յուրաքանչյուր թիվ գրվում է որպես տառ: Թվաբանական առաջընթացը նշելու համար սովորաբար օգտագործվում է տառը ա. Անդամի համարը նշվում է ներքևի աջ մասում գտնվող ինդեքսով: Մենք գրում ենք ստորակետերով (կամ ստորակետերով) բաժանված տերմիններ, այսպես.
ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5, .....
ա 1- սա առաջին համարն է, ա 3- երրորդ և այլն: Ոչ մի շքեղ բան: Այս շարքը կարելի է հակիրճ գրել այսպես. (a n).
Առաջընթացներ են տեղի ունենում վերջավոր և անսահման:
Վերջնականառաջընթացն ունի սահմանափակ թվով անդամներ: Հինգ, երեսունութ, ինչ էլ որ լինի: Բայց դա վերջավոր թիվ է:
Անսահմանառաջընթաց - ունի անսահման թվով անդամներ, ինչպես կարող եք կռահել:)
Դուք կարող եք գրել վերջնական առաջընթացը նման շարքի միջոցով, բոլոր տերմինները և վերջում մի կետ.
ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5:
Կամ այսպես, եթե անդամները շատ են.
a 1, a 2, ... a 14, a 15:
Կարճ մուտքագրում դուք պետք է լրացուցիչ նշեք անդամների թիվը: Օրինակ (քսան անդամների համար), այսպես.
(a n), n = 20
Անսահման առաջընթացը կարելի է ճանաչել տողի վերջում գտնվող էլիպսիսով, ինչպես այս դասի օրինակներում:
Այժմ դուք կարող եք լուծել առաջադրանքները: Առաջադրանքները պարզ են՝ զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար։
Թվաբանական առաջընթացի առաջադրանքների օրինակներ.
Եկեք մանրամասն նայենք վերը նշված առաջադրանքին.
1. Դուրս գրիր թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:
Մենք առաջադրանքը թարգմանում ենք հասկանալի լեզվով: Տրված է անվերջ թվաբանական պրոգրեսիա։ Այս առաջընթացի երկրորդ թիվը հայտնի է. ա 2 = 5.Առաջընթացի տարբերությունը հայտնի է. դ = -2,5:Մենք պետք է գտնենք այս առաջընթացի առաջին, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ և վեցերորդ անդամները:
Պարզության համար գրեմ մի շարք՝ ըստ խնդրի պայմանների։ Առաջին վեց ժամկետները, որտեղ երկրորդ անդամը հինգն է.
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,...
ա 3 = ա 2 + դ
Փոխարինել արտահայտության մեջ ա 2 = 5Եվ դ = -2,5. Մի մոռացեք մինուսի մասին:
ա 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Երրորդ ժամկետը երկրորդից փոքր է ստացվել։ Ամեն ինչ տրամաբանական է. Եթե թիվը մեծ է նախորդից բացասականարժեքը, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին պակաս կլինի նախորդից: Առաջընթացը նվազում է. Լավ, եկեք հաշվի առնենք:) Մենք հաշվում ենք մեր շարքի չորրորդ անդամը.
ա 4 = ա 3 + դ
ա 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
ա 5 = ա 4 + դ
ա 5=0+(-2,5)= - 2,5
ա 6 = ա 5 + դ
ա 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Այսպիսով, հաշվարկվել են երրորդից մինչև վեցերորդ ժամկետները։ Արդյունքը հետևյալ շարքն է.
ա 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Մնում է գտնել առաջին տերմինը ա 1ըստ հայտնի երկրորդի. Սա քայլ է մյուս ուղղությամբ՝ դեպի ձախ։) Այսպիսով՝ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը դչպետք է ավելացվի ա 2, Ա վերցրու:
ա 1 = ա 2 - դ
ա 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
վերջ։ Առաջադրանքի պատասխան.
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Ընդ որում, ուզում եմ նշել, որ մենք լուծել ենք այս խնդիրը կրկնվողճանապարհ. Այս սարսափելի բառը նշանակում է միայն պրոգրեսիայի անդամի որոնում ըստ նախորդ (կից) թվի.Ստորև մենք կքննարկենք առաջընթացի հետ աշխատելու այլ եղանակներ:
Այս պարզ առաջադրանքից կարելի է մեկ կարևոր եզրակացություն անել.
Հիշեք.
Եթե մենք գիտենք առնվազն մեկ անդամ և թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը, մենք կարող ենք գտնել այս առաջընթացի ցանկացած անդամ:
Հիշում ես? Այս պարզ եզրակացությունը թույլ է տալիս լուծել այս թեմայով դպրոցական դասընթացի խնդիրների մեծ մասը: Բոլոր առաջադրանքները պտտվում են շուրջը երեք հիմնականպարամետրեր: թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ, առաջընթացի տարբերություն, պրոգրեսիայի անդամի թիվ։Բոլորը.
Իհարկե, բոլոր նախորդ հանրահաշիվները չեղյալ չեն հայտարարվում:) Անհավասարությունները, հավասարումները և այլ բաներ կցվում են պրոգրեսիային: Բայց ըստ ինքնին առաջընթացի- ամեն ինչ պտտվում է երեք պարամետրի շուրջ.
Որպես օրինակ, եկեք նայենք այս թեմայի վերաբերյալ որոշ հայտնի առաջադրանքներ:
2. Վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիան գրի՛ր շարքով, եթե n=5, d = 0,4 և a 1 = 3,6։
Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Ամեն ինչ արդեն տրված է։ Դուք պետք է հիշեք, թե ինչպես են հաշվում թվաբանական առաջընթացի անդամները, հաշվեք դրանք և գրեք դրանք: Առաջադրանքի պայմաններում խորհուրդ է տրվում բաց չթողնել բառերը՝ «վերջնական» և « n=5«Որպեսզի չհաշվես, քանի դեռ դեմքդ ամբողջովին կապտած ես:) Այս առաջընթացում ընդամենը 5 (հինգ) անդամ կա.
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
ա 4 = ա 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
ա 5 = ա 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Մնում է գրել պատասխանը.
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Մեկ այլ խնդիր.
3. Որոշեք, թե արդյոք 7 թիվը կլինի թվաբանական առաջընթացի անդամ (a n), եթե. ա 1 = 4,1; d = 1.2:
Հմմ... Ո՞վ գիտի: Ինչպե՞ս որոշել ինչ-որ բան:
Ո՞նց-ինչպե՞ս... Շարքի տեսքով գրի՛ր պրոգրեսիան ու տես՝ այնտեղ յոթ կլինի՞, թե՞ ոչ։ Մենք հաշվում ենք.
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
ա 4 = ա 3 + դ = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Հիմա պարզ երեւում է, որ մենք ընդամենը յոթն ենք սայթաքել է 6.5-ի և 7.7-ի միջև: Յոթը չի մտնում մեր թվերի շարքի մեջ, և, հետևաբար, յոթը չի լինի տվյալ առաջընթացի անդամ։
Պատասխան՝ ոչ։
Ահա մի խնդիր, որը հիմնված է իրական տարբերակ GIA:
4. Թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.
...; 15; X; 9; 6; ...
Ահա մի շարք գրված առանց վերջի և սկզբի. Անդամների թվեր չկան, տարբերություն չկա դ. Ամեն ինչ կարգին է։ Խնդիրը լուծելու համար բավական է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի իմաստը։ Եկեք նայենք և տեսնենք, թե ինչ է հնարավոր իմանալայս շարքից? Որո՞նք են երեք հիմնական պարամետրերը:
Անդամների համարներ? Այստեղ ոչ մի թիվ չկա։
Բայց կան երեք թվեր և ուշադրություն: - բառ «հետևողական»վիճակում։ Սա նշանակում է, որ թվերը խիստ կարգավորված են, առանց բացերի։ Այս շարքում երկուսը կա՞ն: հարեւան հայտնի թվեր? Այո, ունեմ! Սրանք 9 և 6 են։ Հետևաբար, մենք կարող ենք հաշվարկել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը։ Վեցից հանել նախորդհամարը, այսինքն. ինը:
Այն, ինչ մնում է, պարզապես մանրուքներ են: Ո՞ր թիվը կլինի X-ի նախորդը: Տասնհինգ. Սա նշանակում է, որ X-ը կարելի է հեշտությամբ գտնել պարզ գումարման միջոցով: Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացրեք 15-ի.
Այսքանը: Պատասխան. x=12
Մենք ինքներս ենք լուծում հետևյալ խնդիրները. Նշում. այս խնդիրները հիմնված չեն բանաձևերի վրա: Զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար:) Մենք պարզապես գրում ենք թվերի և տառերի շարք, նայում և պարզում ենք այն:
5. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին դրական անդամը, եթե a 5 = -3; d = 1.1.
6. Հայտնի է, որ 5.5 թիվը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է (a n), որտեղ a 1 = 1.6; d = 1.3. Որոշե՛ք այս անդամի n թիվը։
7. Հայտնի է, որ թվաբանական առաջընթացում a 2 = 4; ա 5 = 15.1: Գտեք 3.
8. Թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.
...; 15.6; X; 3.4; ...
Գտե՛ք x տառով նշված առաջընթացի տերմինը:
9. Գնացքը սկսեց շարժվել կայարանից՝ միատեսակ արագությունը րոպեում 30 մետրով ավելացնելով։ Որքա՞ն կլինի գնացքի արագությունը հինգ րոպեում: Պատասխանեք կմ/ժամով:
10. Հայտնի է, որ թվաբանական պրոգրեսիայում a 2 = 5; ա 6 = -5. Գտեք 1-ը.
Պատասխաններ (խառնաշփոթ)՝ 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
Ամեն ինչ ստացվեց? Զարմանալի! Դուք կարող եք տիրապետել թվաբանական առաջընթացին ավելին բարձր մակարդակ, հաջորդ դասերում։
Ամեն ինչ չստացվեց? Ոչ մի խնդիր։ Հատուկ բաժնում 555-ում այս բոլոր խնդիրները լուծվում են մաս առ մաս:) Եվ, իհարկե, նկարագրված է պարզ գործնական տեխնիկա, որն անմիջապես ընդգծում է նման խնդիրների լուծումը հստակ, հստակ, մի հայացքով:
Ի դեպ, գնացքի գլուխկոտրուկում կա երկու խնդիր, որոնց վրա մարդիկ հաճախ են սայթաքում. Մեկը զուտ առաջընթացի առումով է, իսկ երկրորդը ընդհանուր է մաթեմատիկայի, և ֆիզիկայի ցանկացած խնդիրների համար: Սա չափերի թարգմանությունն է մեկից մյուսը: Դա ցույց է տալիս, թե ինչպես պետք է լուծվեն այդ խնդիրները։
Այս դասում մենք դիտարկեցինք թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և դրա հիմնական պարամետրերը: Սա բավական է այս թեմայի շուրջ գրեթե բոլոր խնդիրները լուծելու համար։ Ավելացնել դթվերին, շարք գրեք, ամեն ինչ կլուծվի։
Մատների լուծումը լավ է աշխատում շարքի շատ կարճ կտորների համար, ինչպես այս դասի օրինակներում: Եթե շարքն ավելի երկար է, ապա հաշվարկներն ավելի են բարդանում։ Օրինակ, եթե խնդրի 9-ում փոխարինում եք "հինգ րոպե"վրա «երեսունհինգ րոպե»խնդիրը զգալիորեն կվատթարանա։)
Եվ կան նաև առաջադրանքներ, որոնք ըստ էության պարզ են, բայց աբսուրդային՝ հաշվարկների առումով, օրինակ.
Տրված է թվաբանական պրոգրեսիա (a n): Գտե՛ք 121 թիվը, եթե a 1 =3 և d=1/6:
Ուրեմն ի՞նչ, մի՞թե մենք 1/6-ը շատ ու շատ անգամ ենք ավելացնելու։ Դուք կարող եք սպանել ինքներդ!
Դուք կարող եք:) Եթե չգիտեք մի պարզ բանաձև, որով կարող եք լուծել այդպիսի առաջադրանքները մեկ րոպեում: Այս բանաձևը կլինի հաջորդ դասին։ Եվ այդ խնդիրը լուծված է այնտեղ։ Մի րոպեում։)
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)
Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Թվաբանական առաջընթացի գումարը:
Թվաբանական առաջընթացի գումարը պարզ բան է։ Ե՛վ իմաստով, և՛ բանաձևով։ Բայց այս թեմայի շուրջ կան բոլոր տեսակի առաջադրանքներ: Հիմնականից մինչև բավականին ամուր:
Նախ հասկանանք գումարի իմաստն ու բանաձևը։ Եվ հետո մենք կորոշենք. Ձեր հաճույքի համար։) Գումարի իմաստը մունրի պես պարզ է։ Թվաբանական առաջընթացի գումարը գտնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ուշադիր ավելացնել դրա բոլոր պայմանները: Եթե այս տերմինները քիչ են, կարող եք ավելացնել առանց որևէ բանաձևի: Բայց եթե շատ է, կամ շատ... ավելացումը նյարդայնացնում է։) Այս դեպքում օգնության է հասնում բանաձեւը։
Գումարի բանաձևը պարզ է.
Եկեք պարզենք, թե ինչպիսի տառեր են ներառված բանաձևում: Սա շատ բան կպարզի:
Ս ն - թվաբանական առաջընթացի գումարը. Ավելացման արդյունք բոլորինանդամներ, հետ առաջինԸստ վերջին.Դա կարեւոր է։ Նրանք ճշգրիտ գումարում են Բոլորըանդամներ անընդմեջ՝ առանց բաց թողնելու կամ բաց թողնելու։ Եվ, ճիշտ է, սկսած առաջին։Երրորդ և ութերորդ անդամների գումարը գտնելու կամ հինգերորդից քսաներորդ անդամների գումարը գտնելու նման խնդիրներում բանաձևի ուղղակի կիրառումը կհիասթափեցնի:)
ա 1 - առաջինառաջընթացի անդամ։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է, պարզ է առաջինշարքի համարը.
a n- վերջինառաջընթացի անդամ։ Շարքի վերջին համարը. Շատ ծանոթ անուն չէ, բայց երբ կիրառվում է գումարի վրա, այն շատ հարմար է: Հետո ինքներդ կտեսնեք։
n - վերջին անդամի համարը. Կարևոր է հասկանալ, որ բանաձևում այս թիվը համընկնում է ավելացված տերմինների քանակի հետ:
Եկեք սահմանենք հայեցակարգը վերջինանդամ a n. Բարդ հարց. ո՞ր անդամն է դա անում Վերջինըեթե տրվի անվերջթվաբանական առաջընթաց?)
Վստահ պատասխանելու համար պետք է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և... ուշադիր կարդալ առաջադրանքը։)
Թվաբանական առաջընթացի գումարը գտնելու առաջադրանքում միշտ հայտնվում է վերջին անդամը (ուղղակի կամ անուղղակի). որը պետք է սահմանափակվի։Հակառակ դեպքում՝ վերջնական, կոնկրետ գումար պարզապես գոյություն չունի:Լուծման համար նշանակություն չունի՝ տրված է առաջընթացը՝ վերջավոր, թե անվերջ։ Կարևոր չէ, թե ինչպես է այն տրված՝ թվերի շարան, թե՞ n-րդ անդամի բանաձև:
Ամենակարևորը հասկանալն է, որ բանաձևը գործում է առաջընթացի առաջին անդամից մինչև թվով տերմին n.Փաստորեն, բանաձևի ամբողջական անվանումն ունի հետևյալ տեսքը. թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը։Այս առաջին անդամների թիվը, այսինքն. n, որոշվում է բացառապես առաջադրանքով։ Առաջադրանքում այս ամբողջ արժեքավոր տեղեկատվությունը հաճախ կոդավորված է, այո... Բայց միևնույն է, ստորև բերված օրինակներում մենք բացահայտում ենք այս գաղտնիքները:)
Թվաբանական առաջընթացի գումարի վերաբերյալ առաջադրանքների օրինակներ:
Նախ եւ առաջ, օգտակար տեղեկատվություն:
Թվաբանական առաջընթացի գումարով առաջադրանքների հիմնական դժվարությունը բանաձևի տարրերի ճիշտ որոշման մեջ է:
Առաջադրանք գրողները հենց այս տարրերը գաղտնագրում են անսահման երևակայությամբ։) Այստեղ գլխավորը չվախենալն է։ Հասկանալով տարրերի էությունը՝ բավական է պարզապես վերծանել դրանք։ Եկեք մանրամասն դիտարկենք մի քանի օրինակ: Սկսենք իրական GIA-ի վրա հիմնված առաջադրանքից:
1. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով՝ a n = 2n-3.5: Գտե՛ք նրա առաջին 10 անդամների գումարը:
Լավ աշխատանք. Հեշտ։) Բանաձևով գումարը որոշելու համար ի՞նչ պետք է իմանանք։ Առաջին անդամ ա 1, վերջին ժամկետը a n, այո վերջին անդամի թիվը n.
Որտեղի՞ց կարող եմ ստանալ վերջին անդամի համարը: n? Այո, հենց այնտեղ, պայմանով: Ասում է՝ գտիր գումարը առաջին 10 անդամները.Դե ինչ թվով կլինի։ վերջին,տասներորդ անդամ?) Չեք հավատա, նրա թիվը տասներորդն է։) Հետևաբար, փոխարենը a nմենք կփոխարինենք բանաձևի մեջ ա 10, և փոխարենը n- տասը: Կրկնում եմ՝ վերջին անդամի թիվը համընկնում է անդամների թվի հետ։
Մնում է որոշել ա 1Եվ ա 10. Սա հեշտությամբ հաշվարկվում է՝ օգտագործելով n-րդ անդամի բանաձևը, որը տրված է խնդրի հայտարարության մեջ: Չգիտե՞ք ինչպես դա անել: Մասնակցեք նախորդ դասին, առանց դրա հնարավոր չէ:
ա 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
ա 10=2·10 - 3,5 =16,5
Ս ն = Ս 10.
Մենք պարզել ենք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևի բոլոր տարրերի նշանակությունը։ Մնում է միայն փոխարինել դրանք և հաշվել.
վերջ։ Պատասխան՝ 75։
Մեկ այլ խնդիր՝ հիմնված GIA-ի վրա. Մի փոքր ավելի բարդ.
2. Տրվում է թվաբանական պրոգրեսիա (a n), որի տարբերությունը 3,7 է; ա 1 = 2,3. Գտե՛ք նրա առաջին 15 անդամների գումարը:
Մենք անմիջապես գրում ենք գումարի բանաձևը.
Այս բանաձևը թույլ է տալիս մեզ գտնել ցանկացած տերմինի արժեքը իր թվով: Մենք փնտրում ենք պարզ փոխարինում.
ա 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Մնում է բոլոր տարրերը փոխարինել թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևով և հաշվարկել պատասխանը.
Պատասխան՝ 423։
Ի դեպ, եթե գումարի բանաձեւում փոխարեն a nՄենք պարզապես փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևը և ստանում.
Ներկայացնենք նմանատիպերը և ստանանք թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի նոր բանաձև.
 |
Ինչպես տեսնում եք, այստեղ n-րդ տերմինը պարտադիր չէ a n. Որոշ խնդիրների դեպքում այս բանաձեւը մեծ օգնություն է, այո... Այս բանաձեւը կարող եք հիշել. Հնարավո՞ր է ներս ճիշտ պահըհեշտ է ցուցադրել այն, ինչպես այստեղ: Ի վերջո, դուք միշտ պետք է հիշեք գումարի և n-րդ անդամի բանաձևը:)
Այժմ առաջադրանքը կարճ գաղտնագրման տեսքով).
3. Գտե՛ք բոլոր դրական երկնիշ թվերի գումարը, որոնք երեքի բազմապատիկ են:
Վա՜յ։ Ոչ ձեր առաջին անդամը, ոչ ձեր վերջինը, ոչ էլ առաջընթացը ընդհանրապես... Ինչպե՞ս ապրել:
Ստիպված կլինեք գլխով մտածել և պայմանից դուրս հանել թվաբանական առաջընթացի գումարի բոլոր տարրերը։ Մենք գիտենք, թե ինչ են երկնիշ թվերը: Դրանք բաղկացած են երկու թվից։) Ի՞նչ երկնիշ թիվ կլինի առաջին? 10, ենթադրաբար։) Ա վերջին բանըերկնիշ թիվ? 99, իհարկե! Եռանիշները կհետևեն նրան...
Երեքի բազմապատիկները... Հմ... Սրանք թվեր են, որոնք բաժանվում են երեքի, ահա՛։ Տասը չի բաժանվում երեքի, 11-ը չի բաժանվում... 12... բաժանվում է։ Այսպիսով, ինչ-որ բան է առաջանում. Դուք արդեն կարող եք գրել մի շարք՝ ըստ խնդրի պայմանների.
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Արդյո՞ք այս շարքը կլինի թվաբանական առաջընթաց: Անշուշտ։ Յուրաքանչյուր տերմին նախորդից տարբերվում է խիստ երեքով։ Եթե տերմինին ավելացնեք 2 կամ 4, ասեք, արդյունքը, այսինքն. նոր թիվն այլևս չի բաժանվում 3-ի: Դուք կարող եք անմիջապես որոշել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը. d = 3.Դա օգտակար կլինի!)
Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով կերպով գրել առաջընթացի որոշ պարամետրեր.
Ո՞ր թիվը կլինի: nվերջին անդամը? Ով կարծում է, որ 99-ը չարաչար սխալվում է... Թվերը միշտ իրար հաջորդում են, բայց մեր անդամները երեքի վրայով են անցնում։ Նրանք չեն համընկնում:
Այստեղ երկու լուծում կա. Ճանապարհներից մեկը գերաշխատասերների համար է: Կարող եք գրել առաջընթացը, թվերի ամբողջ շարքը և մատով հաշվել անդամների թիվը։) Երկրորդ ճանապարհը մտածված մարդկանց համար է։ Պետք է հիշել n-րդ անդամի բանաձևը. Եթե մենք կիրառենք բանաձևը մեր խնդրի նկատմամբ, ապա կհայտնաբերենք, որ 99-ը առաջընթացի երեսուներորդ անդամն է: Նրանք. n = 30:
Դիտարկենք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևը.
Մենք նայում և ուրախանում ենք:) Խնդրի հայտարարությունից հանեցինք այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ էր գումարը հաշվարկելու համար.
ա 1= 12.
ա 30= 99.
Ս ն = S 30.
Մնում է տարրական թվաբանություն։ Մենք թվերը փոխարինում ենք բանաձևով և հաշվարկում.
Պատասխան՝ 1665 թ
Հանրաճանաչ հանելուկների մեկ այլ տեսակ.
4. Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը.
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Գտե՛ք քսաներորդից մինչև երեսունչորս անդամների գումարը:
Նայում ենք գումարի բանաձևը և... նեղանում ենք։) Բանաձևը, հիշեցնեմ, հաշվարկում է գումարը։ առաջինիցանդամ։ Իսկ խնդրի մեջ պետք է հաշվարկել գումարը քսաներորդից...Բանաձևը չի աշխատի.
Դուք, իհարկե, կարող եք գրել ամբողջ առաջընթացը մի շարքով և ավելացնել տերմիններ 20-ից մինչև 34: Բայց… դա ինչ-որ տեղ հիմարություն է և երկար ժամանակ է պահանջում, այնպես չէ՞:)
Կա ավելի էլեգանտ լուծում. Եկեք մեր շարքը բաժանենք երկու մասի. Առաջին մասը կլինի առաջին կիսամյակից մինչև տասնիններորդը:Երկրորդ մաս - քսանից մինչև երեսունչորս.Հասկանալի է, որ եթե հաշվարկենք առաջին մասի պայմանների գումարը Ս 1-19, ավելացնենք երկրորդ մասի պայմանների գումարով Ս 20-34, ստանում ենք առաջին անդամից մինչև երեսունչորրորդ առաջընթացի գումարը Ս 1-34. Սրա նման:
Ս 1-19 + Ս 20-34 = Ս 1-34
Այստեղից մենք կարող ենք տեսնել, որ գտնում ենք գումարը Ս 20-34կարելի է անել պարզ հանումով
Ս 20-34 = Ս 1-34 - Ս 1-19
Հաշվի են առնվում աջ կողմի երկու գումարները առաջինիցանդամ, այսինքն. ստանդարտ գումարի բանաձևը բավականին կիրառելի է նրանց համար: Եկեք սկսենք?
Մենք արդյունահանում ենք առաջընթացի պարամետրերը խնդրի հայտարարությունից.
դ = 1,5:
ա 1= -21,5.
Առաջին 19 և առաջին 34 անդամների գումարները հաշվարկելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինեն 19-րդ և 34-րդ անդամները։ Մենք դրանք հաշվում ենք՝ օգտագործելով n-րդ անդամի բանաձևը, ինչպես 2-րդ խնդիրում.
ա 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
ա 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
ոչինչ չի մնացել։ 34 անդամի գումարից հանել 19 անդամի գումարը.
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Պատասխան՝ 262.5
Մեկ կարևոր նշում. Այս խնդիրը լուծելու համար շատ օգտակար հնարք կա. Փոխարեն ուղղակի հաշվարկ այն, ինչ ձեզ հարկավոր է (S 20-34),մենք հաշվել ենք մի բան, որը կարծես թե պետք չէ - S 1-19.Եվ հետո որոշեցին Ս 20-34, ամբողջական արդյունքից հեռացնելով ավելորդը։ Այս տեսակի «ականջներով արածը» հաճախ քեզ փրկում է չար խնդիրներից):
Այս դասում մենք նայեցինք խնդիրներ, որոնց համար բավական է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի գումարի իմաստը: Դե, դուք պետք է իմանաք մի քանի բանաձև):
Թվաբանական առաջընթացի գումարի հետ կապված ցանկացած խնդիր լուծելիս խորհուրդ եմ տալիս անմիջապես դուրս գրել այս թեմայից երկու հիմնական բանաձևերը:
Բանաձև n-րդ կիսամյակի համար.
Այս բանաձևերը ձեզ անմիջապես կասեն, թե ինչ պետք է փնտրել և ինչ ուղղությամբ մտածել խնդիրը լուծելու համար։ Օգնում է.
Իսկ հիմա ինքնուրույն լուծման առաջադրանքները։
5. Գտի՛ր երեքի չբաժանվող բոլոր երկնիշ թվերի գումարը:
Հա՞յլ է:) Հուշումը թաքնված է 4-րդ խնդրի նշումում: Դե, խնդիրը 3-ը կօգնի:
6. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով՝ a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Գտե՛ք նրա առաջին 24 անդամների գումարը:
Անսովոր?) Սա կրկնվող բանաձև է: Դրա մասին կարող եք կարդալ նախորդ դասում։ Մի անտեսեք հղումը, նման խնդիրներ հաճախ են հանդիպում ԳԱԱ-ում։
7. Վասյան տոնի համար գումար է կուտակել։ Մինչև 4550 ռուբլի: Եվ ես որոշեցի իմ սիրելի մարդուն (ինքս) մի քանի օր երջանկություն պարգեւել): Ապրիր գեղեցիկ՝ չուրանալով քեզ ոչինչ։ Առաջին օրը ծախսեք 500 ռուբլի, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ օրը ծախսեք 50 ռուբլի ավելի, քան նախորդը: Մինչև փողը վերջանա։ Քանի՞ օր երջանկություն ունեցավ Վասյան:
Դժվա՞ր է։) 2-րդ խնդրի լրացուցիչ բանաձեւը կօգնի։
Պատասխաններ (խառնաշփոթ) 7, 3240, 6:
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)
Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Շատերը լսել են թվաբանական առաջընթացի մասին, բայց ոչ բոլորն են լավ պատկերացնում, թե դա ինչ է: Այս հոդվածում մենք կտանք համապատասխան սահմանումը, ինչպես նաև կքննարկենք այն հարցը, թե ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը և կտանք մի շարք օրինակներ:
Մաթեմատիկական սահմանում
Այսպիսով, եթե մենք խոսում ենք թվաբանական կամ հանրահաշվական առաջընթացի մասին (այս հասկացությունները սահմանում են նույն բանը), ապա դա նշանակում է, որ կա որոշակի թվային շարք, որը բավարարում է հետևյալ օրենքին. շարքի յուրաքանչյուր երկու հարակից թվերը տարբերվում են նույն արժեքով: Մաթեմատիկորեն այսպես է գրված.
Այստեղ n-ը նշանակում է a n տարրի թիվը հաջորդականության մեջ, իսկ d թիվը՝ առաջընթացի տարբերությունը (նրա անունը բխում է ներկայացված բանաձեւից)։
Ի՞նչ է նշանակում իմանալ d-ի տարբերությունը: Այն մասին, թե որքանով են «հեռու» հարևան թվերը միմյանցից: Այնուամենայնիվ, դ-ի իմացությունը անհրաժեշտ, բայց ոչ բավարար պայման է ամբողջ պրոգրեսիան որոշելու (վերականգնելու) համար։ Դուք պետք է իմանաք ևս մեկ թիվ, որը կարող է լինել դիտարկվող շարքի բացարձակ ցանկացած տարր, օրինակ՝ 4, a10, բայց, որպես կանոն, նրանք օգտագործում են առաջին թիվը, այսինքն՝ 1։
Առաջընթացի տարրերի որոշման բանաձևեր
Ընդհանուր առմամբ, վերը նշված տեղեկատվությունն արդեն բավական է լուծմանը անցնելու համար կոնկրետ առաջադրանքներ. Այնուամենայնիվ, մինչ թվաբանական առաջընթացը տրվի, և անհրաժեշտ կլինի գտնել դրա տարբերությունը, մենք կներկայացնենք մի քանի օգտակար բանաձևեր՝ դրանով իսկ հեշտացնելով խնդիրների լուծման հետագա գործընթացը։
Հեշտ է ցույց տալ, որ n թվով հաջորդականության ցանկացած տարր կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.
a n = a 1 + (n - 1) * դ
Իրոք, յուրաքանչյուր ոք կարող է ստուգել այս բանաձևը պարզ որոնման միջոցով. եթե փոխարինում եք n = 1, ապա ստանում եք առաջին տարրը, եթե փոխարինում եք n = 2, ապա արտահայտությունը տալիս է առաջին թվի և տարբերության գումարը և այլն:
Բազմաթիվ խնդիրների պայմանները կազմված են այնպես, որ հաշվի առնելով թվերի հայտնի զույգը, որոնց թվերը նույնպես տրված են հաջորդականությամբ, անհրաժեշտ է վերակառուցել ամբողջ թվային շարքը (գտնել տարբերությունը և առաջին տարրը): Այժմ մենք այս խնդիրը կլուծենք ընդհանուր տեսքով։
Այսպիսով, թող տրվի n և m թվերով երկու տարր։ Օգտագործելով վերը ստացված բանաձևը, կարող եք ստեղծել երկու հավասարումների համակարգ.
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * դ
Անհայտ մեծություններ գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հայտնիը պարզ հնարքՆման համակարգի լուծումները՝ զույգերով հանեք ձախ և աջ կողմերը, հավասարությունը կմնա վավեր: Մենք ունենք:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Այսպիսով, մենք բացառել ենք մեկ անհայտ (a 1): Այժմ մենք կարող ենք գրել վերջնական արտահայտությունը d-ի որոշման համար.
d = (a n - a m) / (n - m), որտեղ n > m
Մենք ստացանք շատ պարզ բանաձև՝ խնդրի պայմաններին համապատասխան d տարբերությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է միայն վերցնել իրենց տարրերի և դրանց սերիական համարների միջև եղած տարբերությունների հարաբերակցությունը։ Պետք է ուշադրություն դարձնել մեկ կարևոր կետի վրա. տարբերությունները վերցված են «ավագ» և «կրտսեր» անդամների միջև, այսինքն՝ n > m («ավագ» նշանակում է հաջորդականության սկզբից ավելի հեռու կանգնած, դրա բացարձակ արժեքը կարող է լինել կամ ավելի կամ պակաս ավելի «կրտսեր» տարր):
Տարբերության d առաջընթացի արտահայտությունը պետք է փոխարինվի խնդրի լուծման սկզբում որևէ հավասարումով՝ առաջին անդամի արժեքը ստանալու համար:
Համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման մեր դարաշրջանում շատ դպրոցականներ փորձում են լուծումներ գտնել իրենց առաջադրանքների համար Ինտերնետում, ուստի հաճախ նման հարցեր են առաջանում. գտնել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը առցանց: Նման խնդրանքի համար որոնիչը կվերադարձնի մի շարք վեբ էջեր, որտեղ գնալով պետք է մուտքագրեք պայմանից հայտնի տվյալները (սա կարող է լինել առաջընթացի երկու տերմին, կամ դրանց որոշակի քանակի գումարը ) և անմիջապես ստացեք պատասխան: Այնուամենայնիվ, խնդրի լուծման այս մոտեցումը անարդյունավետ է աշակերտի զարգացման և իրեն հանձնարարված առաջադրանքի էությունը հասկանալու առումով:
Լուծում առանց բանաձևերի օգտագործման
Եկեք լուծենք առաջին խնդիրը՝ չօգտագործելով տրված բանաձևերից որևէ մեկը։ Տրված լինեն շարքի տարրերը՝ a6 = 3, a9 = 18։ Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը։
Հայտնի տարրերը անընդմեջ մոտ են միմյանց: Քանի՞ անգամ պետք է d տարբերությունը գումարել ամենափոքրին՝ ամենամեծը ստանալու համար: Երեք անգամ (առաջին անգամ ավելացնելով d, ստանում ենք 7-րդ տարրը, երկրորդ անգամ՝ ութերորդը, վերջապես, երրորդ անգամը՝ իններորդը)։ Ո՞ր թվին պետք է երեք անգամ գումարել 18-ը ստանալու համար: Սա հինգ թիվն է։ Իրոք.
Այսպիսով, անհայտ տարբերությունը d = 5:
Իհարկե, լուծումը կարող էր իրականացվել համապատասխան բանաձեւով, բայց դա միտումնավոր չի արվել։ Խնդրի լուծման մանրամասն բացատրությունը պետք է դառնա թվաբանական առաջընթացի պարզ ու հստակ օրինակ։
Առաջադրանք, որը նման է նախորդին
Հիմա եկեք լուծենք նմանատիպ խնդիր, բայց փոխենք մուտքային տվյալները։ Այսպիսով, դուք պետք է գտնեք, եթե a3 = 2, a9 = 19:
Իհարկե, դուք կարող եք կրկին դիմել «գլխավոր» լուծման մեթոդին: Բայց քանի որ տրված են շարքի տարրերը, որոնք համեմատաբար հեռու են միմյանցից, այս մեթոդը լիովին հարմար չի լինի։ Բայց արդյունքում ստացված բանաձևի օգտագործումը մեզ արագ կհանգեցնի պատասխանին.
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83
Այստեղ մենք կլորացրել ենք վերջնական թիվը։ Թե որքանով է այս կլորացումը հանգեցրել սխալի, կարելի է դատել՝ ստուգելով արդյունքը.
ա 9 = ա 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Այս արդյունքը տարբերվում է պայմանում նշված արժեքից ընդամենը 0,1%-ով: Հետևաբար, կլորացումը, որն օգտագործվում է մինչև հարյուրերորդական, կարելի է հաջող ընտրություն համարել:
An տերմինի բանաձևի կիրառման հետ կապված խնդիրներ
Դիտարկենք d անհայտը որոշելու խնդրի դասական օրինակ՝ գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, եթե a1 = 12, a5 = 40։
Երբ տրված են անհայտ հանրահաշվական հաջորդականության երկու թվեր, և դրանցից մեկը a 1 տարրն է, ապա երկար մտածելու կարիք չկա, այլ անմիջապես պետք է կիրառել a n անդամի բանաձևը։ Այս դեպքում մենք ունենք.
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Մենք ստացել ենք ճշգրիտ թիվը բաժանելիս, ուստի իմաստ չունի ստուգել հաշվարկված արդյունքի ճշգրտությունը, ինչպես արվեց նախորդ պարբերությունում։
Լուծենք նմանատիպ մեկ այլ խնդիր՝ մենք պետք է գտնենք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, եթե a1 = 16, a8 = 37:
Մենք օգտագործում ենք նախորդի նման մոտեցում և ստանում ենք.
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք թվաբանական առաջընթացի մասին:
Բացի անհայտ տարբերության կամ առանձին տարրերի հայտնաբերման խնդիրներից, հաճախ անհրաժեշտ է լուծել հաջորդականության առաջին անդամների գումարի խնդիրներ։ Այս խնդիրների քննարկումը դուրս է հոդվածի շրջանակներից, այնուամենայնիվ, տեղեկատվության ամբողջականության համար մենք ներկայացնում ենք n թվերի գումարի ընդհանուր բանաձևը մի շարքում.
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ
Տեսական տեղեկատվություն
Տեսական տեղեկատվություն
Թվաբանական առաջընթաց |
Երկրաչափական առաջընթաց |
|
Սահմանում |
Թվաբանական առաջընթաց a nհաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդ անդամին դ (դ- առաջընթացի տարբերություն) |
Երկրաչափական առաջընթաց b nոչ զրոյական թվերի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին բազմապատկած նույն թվով. ք (ք- առաջընթացի հայտարար) |
Կրկնվող բանաձեւ |
Ցանկացած բնականի համար n |
Ցանկացած բնականի համար n |
Բանաձև n-րդ կիսամյակ |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Բնութագրական հատկություն |  |
|
| Առաջին n անդամների գումարը |  |
 |
Առաջադրանքների օրինակներ մեկնաբանություններով
Վարժություն 1
Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6, ա 2
n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
ա 22 = ա 1+ d (22 - 1) = ա 1+ 21 դ
Ըստ պայմանի.
ա 1= -6, ապա ա 22= -6 + 21 դ .
Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.
դ = ա 2 – ա 1 = -8 – (-6) = -2
ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Պատասխան. ա 22 = -48.
Առաջադրանք 2
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը՝ -3; 6;....
1-ին մեթոդ (n-term բանաձևի օգտագործմամբ)
Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Որովհետեւ բ 1 = -3,
2-րդ մեթոդ (կրկնվող բանաձևի օգտագործմամբ)
Քանի որ պրոգրեսիայի հայտարարը -2 է (q = -2), ապա.
բ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
բ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
բ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Պատասխան. բ 5 = -48.
Առաջադրանք 3
Թվաբանական առաջընթացով ( ա ժ) ա 74 = 34; ա 76= 156. Գտե՛ք այս առաջընթացի յոթանասունհինգերորդ անդամը:
Թվաբանական առաջընթացի համար բնորոշ հատկությունն ունի ձևը 
.
Հետևաբար.
.
Տվյալները փոխարինենք բանաձևով.
Պատասխան՝ 95։
Առաջադրանք 4
Թվաբանական առաջընթացով ( a n ) a n= 3n - 4. Գտե՛ք առաջին տասնյոթ անդամների գումարը:
Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը գտնելու համար օգտագործվում են երկու բանաձև.
.
Դրանցից որն է ավելի հարմար օգտագործել այս դեպքում:
Ըստ պայմանի, հայտնի է սկզբնական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը ( a n) a n= 3n - 4. Դուք կարող եք անմիջապես գտնել ա 1, Եվ ա 16առանց գտնելու դ. Հետեւաբար, մենք կօգտագործենք առաջին բանաձեւը.
Պատասխան՝ 368։
Առաջադրանք 5
Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6; ա 2= -8. Գտե՛ք առաջընթացի քսաներկուերորդ անդամը:
n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
ա 22 = ա 1 + դ (22 – 1) = ա 1+ 21 դ.
Պայմանով, եթե ա 1= -6, ապա ա 22= -6 + 21 դ . Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.
դ = ա 2 – ա 1 = -8 – (-6) = -2
ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Պատասխան. ա 22 = -48.
Առաջադրանք 6
Երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ գրված են.
Գտե՛ք x-ով նշված պրոգրեսիայի տերմինը:
Լուծելիս կօգտագործենք n-րդ անդամի բանաձևը b n = b 1 ∙ q n - 1երկրաչափական առաջընթացների համար. Առաջընթացի առաջին տերմինը. q պրոգրեսիայի հայտարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել պրոգրեսիայի տրված անդամներից որևէ մեկը և բաժանել նախորդի վրա։ Մեր օրինակում մենք կարող ենք վերցնել և բաժանել: Մենք ստանում ենք, որ q = 3: Բանաձևում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 3, քանի որ անհրաժեշտ է գտնել տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը:
Գտնված արժեքները բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.
.
Պատասխան.
Առաջադրանք 7
n-րդ անդամի բանաձևով տրված թվաբանական առաջընթացներից ընտրե՛ք այն մեկը, որի համար պայմանը բավարարված է. ա 27 > 9:
Քանի որ տվյալ պայմանը պետք է բավարարվի պրոգրեսիայի 27-րդ անդամի համար, չորս առաջընթացներից յուրաքանչյուրում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 27-ը: 4-րդ առաջընթացում մենք ստանում ենք.
.
Պատասխան՝ 4.
Առաջադրանք 8
Թվաբանական առաջընթացում ա 1= 3, d = -1,5: Նշեք ամենաբարձր արժեքը n, որի համար գործում է անհավասարությունը a n > -6.
Թվաբանական առաջընթացի հետ կապված խնդիրներ կային արդեն հին ժամանակներում։ Նրանք հայտնվեցին և լուծում պահանջեցին, քանի որ գործնական կարիք ունեին։
Այսպիսով, Հին Եգիպտոսի պապիրուսներից մեկը, որն ունի մաթեմատիկական բովանդակություն՝ Ռինդ պապիրուսը (մ. չափել»։
Իսկ հին հույների մաթեմատիկական աշխատություններում կան էլեգանտ թեորեմներ՝ կապված թվաբանական պրոգրեսիայի հետ։ Այսպիսով, Hypsicles of Alexandria (2-րդ դար, որը հավաքեց շատ հետաքրքիր խնդիրներ և ավելացրեց տասնչորսերորդ գիրքը Էվկլիդեսի տարրերին), ձևակերպեց գաղափարը. մեծ է անդամների 1/2 քառակուսու 1-ին թվերի գումարից»։
Հերթականությունը նշվում է an-ով: Հերթականության համարները կոչվում են նրա անդամներ և սովորաբար նշանակվում են ցուցիչներով տառերով, որոնք ցույց են տալիս այս անդամի սերիական համարը (a1, a2, a3 ... կարդալ՝ «1-ին», «ա 2-րդ», «ա 3-րդ» և այլն):
Հերթականությունը կարող է լինել անվերջ կամ վերջավոր:
Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը: Դրա տակ նկատի ունենք նախորդ (n) անդամը նույն d թվով գումարելով ստացվածը, որը պրոգրեսիայի տարբերությունն է։
Եթե դ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ապա այս առաջընթացը համարվում է աճող:
Թվաբանական առաջընթացը կոչվում է վերջավոր, եթե հաշվի առնվեն միայն դրա առաջին մի քանի անդամները: Շատ մեծ քանակությամբանդամներն արդեն անվերջ առաջընթաց է:
Ցանկացած թվաբանական առաջընթաց սահմանվում է հետևյալ բանաձևով.
an =kn+b, մինչդեռ b և k որոշ թվեր են:
Հակառակ պնդումը բացարձակապես ճիշտ է. եթե հաջորդականությունը տրված է նմանատիպ բանաձևով, ապա դա հենց թվաբանական պրոգրեսիա է, որն ունի հատկություններ.
- Առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ նախորդ և հաջորդ անդամի միջին թվաբանականն է:
- Հակադարձ. եթե 2-րդից սկսած յուրաքանչյուր անդամ նախորդ և հաջորդ անդամի միջին թվաբանականն է, այսինքն. եթե պայմանը բավարարված է, ապա այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է: Այս հավասարությունը նույնպես առաջընթացի նշան է, այդ իսկ պատճառով այն սովորաբար կոչվում է պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն։
Նույն կերպ, այս հատկությունն արտացոլող թեորեմը ճշմարիտ է. հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է միայն այն դեպքում, եթե այս հավասարությունը ճշմարիտ է հաջորդականության որևէ անդամի համար՝ սկսած 2-րդից:
Թվաբանական առաջընթացի ցանկացած չորս թվերի բնորոշ հատկությունը կարող է արտահայտվել an + am = ak + al բանաձևով, եթե n + m = k + l (m, n, k պրոգրեսիայի թվեր են):
Թվաբանական առաջընթացում ցանկացած անհրաժեշտ (N-րդ) տերմին կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով.
Օրինակ՝ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը (a1) տրված է և հավասար է երեքի, իսկ (d) տարբերությունը հավասար է չորսի: Դուք պետք է գտնեք այս առաջընթացի քառասունհինգերորդ անդամը: a45 = 1+4 (45-1) = 177
Բանաձևը an = ak + d(n - k) թույլ է տալիս որոշել թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը նրա kth անդամներից որևէ մեկի միջոցով, պայմանով, որ այն հայտնի է:
Թվաբանական պրոգրեսիայի (նկատի ունի վերջավոր պրոգրեսիայի առաջին n անդամները) գումարը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
Sn = (a1+an) n/2.
Եթե 1-ին անդամը նույնպես հայտնի է, ապա հաշվարկման համար հարմար է մեկ այլ բանաձև.
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Թվաբանական առաջընթացի գումարը, որը պարունակում է n անդամ, հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
Հաշվարկների համար բանաձևերի ընտրությունը կախված է խնդիրների պայմաններից և նախնական տվյալներից:
Ցանկացած թվերի բնական շարքեր, ինչպիսիք են 1,2,3,...,n,...- ամենապարզ օրինակըթվաբանական առաջընթաց.
Բացի թվաբանական պրոգրեսիայից, կա նաև երկրաչափական պրոգրեսիա, որն ունի իր առանձնահատկություններն ու առանձնահատկությունները։