არითმეტიკული პროგრესიის პირველი 2 რიცხვის ცოდნა. არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა. თანხის ფორმულა

მაშ, დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, არის ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვების თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია თანმიმდევრობით მხოლოდ ერთი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (როგორც მერვე ნომერი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვთან ერთად რიცხვს მიმდევრობის მე-თე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.
მაგალითად:

და ა.შ.
ამ რიცხვთა თანმიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეტიუსმა ჯერ კიდევ VI საუკუნეში და გაიგო უფრო ფართო გაგებით, როგორც უსასრულო რიცხვების მიმდევრობა. სახელწოდება „არითმეტიკა“ გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომელსაც სწავლობდნენ ძველი ბერძნები.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი ტოლია იმავე რიცხვზე დამატებული წინა. ამ რიცხვს სხვაობა ჰქვია არითმეტიკული პროგრესიადა დანიშნულია.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვების მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

გაიგე? მოდით შევადაროთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი მე-2 წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომერი წინა მნიშვნელობას მანამ, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ შეჯამება ბევრი არ გვაქვს - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-თე წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდება და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებთ.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ არის აუცილებელი არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რას მოიცავს ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-ე წევრის მნიშვნელობა:


სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

ეცადეთ, ამ გზით თავად იპოვოთ მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გამოთვალეთ? შეადარეთ თქვენი შენიშვნები პასუხთან:

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ მიიღეთ ზუსტად იგივე რიცხვი, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად დავამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაცია“ - მოდი შემოვიტანოთ იგი ზოგადი ხედიდა მივიღებთ:

არითმეტიკული პროგრესიები შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
მაგალითად:

დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ასევე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ ეს პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან: მოდით შევამოწმოთ რა იქნება ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე რიცხვი, თუ გამოვიყენებთ ჩვენს ფორმულას მის გამოსათვლელად:

მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ფორმულა მოქმედებს როგორც შემცირების, ისე გაზრდის არითმეტიკული პროგრესიის დროს.
შეეცადეთ თავად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-4 ტერმინები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

გავართულოთ პრობლემა - გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
მარტივია, ამბობ და იწყებ დათვლას უკვე ცნობილი ფორმულის მიხედვით:

მოდით, აჰ, მაშინ:

აბსოლუტურად მართალია. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მივიღებთ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომის დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ეს არის ის, რისი გარკვევასაც ახლა შევეცდებით.

მოდი აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის საჭირო ტერმინი, როგორც ჩვენთვის ცნობილია მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რაც თავიდან გამოვიყვანეთ:
, შემდეგ:

• პროგრესის წინა ვადა არის:
• პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდგომი პირობები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და შემდგომი პუნქტების ჯამი არის მათ შორის მდებარე პროგრესიის ტერმინის ორმაგი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესული ტერმინის მნიშვნელობის საპოვნელად ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. დავიცავთ მასალას. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, ეს სულაც არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ადვილად გამოიტანა ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, „მათემატიკოსთა მეფემ“ - კარლ გაუსმა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასებში მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, კლასში დაავალა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი (სხვა წყაროების მიხედვით) ინკლუზივიდან“. წარმოიდგინეთ მასწავლებლის გაოცება, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ სწორი პასუხი გასცა დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ, ხანგრძლივი გათვლების შემდეგ, არასწორი შედეგი მიიღო...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა გარკვეული ნიმუში, რომელსაც თქვენც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ე ტერმინებისგან: ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ამ წევრთა ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალება მოითხოვს მისი ტერმინების ჯამის პოვნას, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.


სცადე? რა შეამჩნიე? უფლება! მათი ჯამები ტოლია

ახლა მითხარით, სულ რამდენი ასეთი წყვილია ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი წყვილები ტოლია, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჩაანაცვლოთ მეათე წევრის ფორმულა ჯამის ფორმულით.
რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც დაუსვეს კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ, თუ რის ტოლია th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა აღმოაჩინა, რომ ტერმინთა ჯამი ტოლია და წევრთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები სრულად იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტე და იმ დროის უდიდესი სამშენებლო პროექტი - პირამიდის მშენებლობა... სურათზე ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი, თქვენ ამბობთ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში.


რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? გამოთვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაზე. იმედი მაქვს, მონიტორზე თითის გადაადგილებისას არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი, რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში პროგრესი ასე გამოიყურება: .
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (გამოვთვალოთ ბლოკების რაოდენობა 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა კი შეგიძლიათ მონიტორზე გამოთვალოთ: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობასთან. გაიგე? კარგია, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებისგან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

ტრენინგი

ამოცანები:

1. მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ გააკეთებს მაშა ჩაჯდომას კვირაში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება?
2. რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
3. მორების შენახვისას ლოგერები აწყობენ მათ ისე, რომ თითოეული ზედა ფენაშეიცავს წინაზე ერთით ნაკლებ ჟურნალს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა საძირკველი არის მორები?

პასუხები:

1. მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. ამ შემთხვევაში
   (კვირები = დღეები).

   პასუხი:ორ კვირაში, მაშამ უნდა გააკეთოს squats დღეში ერთხელ.

2. პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
   არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
   კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარშია, თუმცა, მოდით შევამოწმოთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის ფორმულის გამოყენებით:

   რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
   მოდით ჩავანაცვლოთ არსებული მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი ტოლია.

3. გავიხსენოთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, მაშინ მთლიანობაში არის ფენების თაიგული, ანუ.
   მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ქვისა მორებია.

მოდით შევაჯამოთ

1. - რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს.
2. ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
3. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სად არის პროგრესირებადი რიცხვების რაოდენობა.
4. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
   
   , სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. შუა დონე

რიცხვების თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვების თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ბუნებრივ რიცხვთან და უნიკალურთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვთან ერთად რიცხვს უწოდებენ მიმდევრობის მე-ა წევრს.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მეათე ტერმინი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება არის). ან (, განსხვავება).

n-ე ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ ფორმულას მორეციდივე, რომელშიც, იმისათვის, რომ გაიგოთ ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ამ ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, დაუშვით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ჩვენ ვამატებთ, გამრავლებული რაღაც რიცხვზე. რომელი? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიით იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. რა განსხვავებაა? აი რა:

(ამიტომ უწოდებენ მას განსხვავებას, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული ტერმინების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა:

მაშინ მეასე წევრი უდრის:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭმა, რამდენიმე წუთში გამოთვალა ეს თანხა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამი ტოლია, მეორეს და წინაბოლოების ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. სულ რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. ასე რომ,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი მომდევნო რიცხვი მიიღება წინა რიცხვის დამატებით. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა:

რამდენი ტერმინია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

1. ყოველდღე სპორტსმენი გარბის უფრო მეტ მეტრს, ვიდრე წინა დღეს. სულ რამდენ კილომეტრს გაივლის კვირაში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
2. ველოსიპედისტი ყოველდღე უფრო მეტ კილომეტრს გადის, ვიდრე წინა დღეს. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე სჭირდება მას კილომეტრის გასავლელად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
3. მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გაყიდვაში რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

1. აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
   .
   პასუხი:
2. აქ მოცემულია: , უნდა მოიძებნოს.
   ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
   .
   შეცვალეთ მნიშვნელობები:

   ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი არის.
   გამოვთვალოთ ბოლო დღის განმავლობაში გავლილი გზა მე-ე წევრის ფორმულით:
   (კმ).
   პასუხი:

3. მოცემული: . იპოვეთ:.
   ეს არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი:
   (რუბში).
   პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.

არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება იყოს მზარდი () და კლებადი ().

მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია მისი მეზობელი ტერმინები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

თანხის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

დარჩენილი 2/3 სტატია ხელმისაწვდომია მხოლოდ YOUCLEVER სტუდენტებისთვის!

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ან მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის „თვეში ერთი ფინჯანი ყავის“ ფასად.

ასევე მიიღეთ შეუზღუდავი წვდომა სახელმძღვანელოზე "YouClever", მოსამზადებელი პროგრამა (სამუშაო წიგნი) "100gia", შეუზღუდავი საცდელი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდადა OGE, 6000 პრობლემა გადაწყვეტილებების ანალიზთან და სხვა სერვისებთან YouClever და 100gia.

აბა, მეგობრებო, თუ თქვენ კითხულობთ ამ ტექსტს, მაშინ შიდა ქუდი-მტკიცებულება მეუბნება, რომ თქვენ ჯერ არ იცით რა არის არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ ნამდვილად (არა, ასე: SOOOOO!) გსურთ იცოდეთ. ამიტომ, გრძელი შესავლებით არ დაგტანჯავთ და პირდაპირ საქმეზე გადავალ.

პირველი, რამდენიმე მაგალითი. მოდით შევხედოთ რიცხვების რამდენიმე კომპლექტს:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

რა საერთო აქვს ყველა ამ კომპლექტს? ერთი შეხედვით არაფერი. მაგრამ რეალურად არის რაღაც. კერძოდ: ყოველი შემდეგი ელემენტი წინადან ერთი და იგივე რაოდენობით განსხვავდება.

თავად განსაჯეთ. პირველი ნაკრები უბრალოდ თანმიმდევრული რიცხვებია, ყოველი შემდეგი წინაზე ერთით მეტია. მეორე შემთხვევაში, მეზობელ რიცხვებს შორის სხვაობა უკვე ხუთია, მაგრამ ეს განსხვავება მაინც მუდმივია. მესამე შემთხვევაში, ფესვები საერთოდ არსებობს. თუმცა, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ და $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ე.ი. და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი უბრალოდ იზრდება $\sqrt(2)$-ით (და ნუ გეშინიათ, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია).

ასე რომ: ყველა ასეთ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. მოდით მივცეთ მკაცრი განმარტება:

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლებშიც ყოველი შემდეგი განსხვავდება წინადან ზუსტად იგივე რაოდენობით, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. იმ რაოდენობას, რომლითაც რიცხვები განსხვავდება, ეწოდება პროგრესირების განსხვავება და ყველაზე ხშირად აღინიშნება ასო $d$-ით.

აღნიშვნა: $\left(((a)_(n)) \right)$ არის თავად პროგრესია, $d$ არის მისი განსხვავება.

და მხოლოდ რამდენიმე მნიშვნელოვანი შენიშვნა. პირველ რიგში, მხოლოდ პროგრესირება განიხილება უბრძანარიცხვების თანმიმდევრობა: ნებადართულია მათი წაკითხვა მკაცრად იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი იწერება - და სხვა არაფერი. ნომრების გადაწყობა ან გაცვლა შეუძლებელია.

მეორეც, თანმიმდევრობა თავისთავად შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, სიმრავლე (1; 2; 3) აშკარად არის სასრული არითმეტიკული პროგრესია. მაგრამ თუ რამეს წერთ სულით (1; 2; 3; 4; ...) - ეს უკვე უსასრულო პროგრესია. ოთხის შემდეგ ელიფსისი, როგორც ჩანს, მიანიშნებს იმაზე, რომ წინ კიდევ რამდენიმე რიცხვია. უსასრულოდ ბევრი, მაგალითად.

ასევე მინდა აღვნიშნო, რომ პროგრესი შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი. ჩვენ უკვე ვნახეთ მზარდი - იგივე ნაკრები (1; 2; 3; 4; ...). აქ მოცემულია პროგრესირების შემცირების მაგალითები:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

კარგი, კარგი: ბოლო მაგალითი შეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს. მაგრამ დანარჩენი, ვფიქრობ, გესმით. ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს:

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება:

1. იზრდება, თუ ყოველი შემდეგი ელემენტი მეტია წინაზე;
2. მცირდება, თუ პირიქით, ყოველი მომდევნო ელემენტი წინაზე ნაკლებია.

გარდა ამისა, არსებობს ეგრეთ წოდებული "სტაციონარული" მიმდევრობები - ისინი შედგება იგივე განმეორებადი რიცხვისგან. მაგალითად, (3; 3; 3; ...).

რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: როგორ განვასხვავოთ მზარდი პროგრესი კლებისგან? საბედნიეროდ, აქ ყველაფერი დამოკიდებულია მხოლოდ $d$ რიცხვის ნიშანზე, ე.ი. პროგრესირების განსხვავებები:

1. თუ $d \gt 0$, მაშინ პროგრესია იზრდება;
2. თუ $d \lt 0$, მაშინ პროგრესი აშკარად მცირდება;
3. და ბოლოს, არის შემთხვევა $d=0$ - ამ შემთხვევაში მთელი პროგრესია მცირდება იდენტური რიცხვების სტაციონარულ მიმდევრობამდე: (1; 1; 1; 1; ...) და ა.შ.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ სხვაობა $d$ ზემოთ მოცემული სამი კლებადი პროგრესიისთვის. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მომიჯნავე ელემენტი (მაგალითად, პირველი და მეორე) და გამოვაკლოთ მარცხნივ მდებარე რიცხვი მარჯვენა რიცხვს. ეს ასე გამოიყურება:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

როგორც ვხედავთ, სამივე შემთხვევაში განსხვავება რეალურად უარყოფითი აღმოჩნდა. ახლა კი, როდესაც ჩვენ მეტ-ნაკლებად გავარკვიეთ განმარტებები, დროა გაერკვნენ, თუ როგორ არის აღწერილი პროგრესიები და რა თვისებები აქვთ მათ.

პროგრესირების პირობები და განმეორების ფორმულა

ვინაიდან ჩვენი თანმიმდევრობის ელემენტების გაცვლა შეუძლებელია, მათი დანომრვა შესაძლებელია:

\[\ მარცხნივ(((ა)_(ნ)) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ\(((ა)_(1)),\ ((ა)_(2)),((ა)_(3 )),... \მარჯვნივ\)\]

ამ ნაკრების ცალკეულ ელემენტებს პროგრესიის წევრებს უწოდებენ. ისინი მითითებულია რიცხვით: პირველი წევრი, მეორე წევრი და ა.შ.

გარდა ამისა, როგორც უკვე ვიცით, პროგრესირების მეზობელი ტერმინები დაკავშირებულია ფორმულით:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\მარჯვენა ისარი ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

მოკლედ, პროგრესიის $n$th ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ $n-1$th წევრი და სხვაობა $d$. ამ ფორმულას ეწოდება განმეორებადი, რადგან მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვი მხოლოდ წინა (და სინამდვილეში, ყველა წინა) ცოდნით. ეს ძალიან მოუხერხებელია, ამიტომ არსებობს უფრო მზაკვრული ფორმულა, რომელიც ამცირებს ნებისმიერ გამოთვლას პირველ ტერმინამდე და განსხვავებაზე:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)d\]

თქვენ ალბათ უკვე წააწყდით ამ ფორმულას. მათ მოსწონთ მისი მიცემა ყველა სახის საცნობარო წიგნებში და პრობლემურ წიგნებში. და მათემატიკის ნებისმიერ საღად მოაზროვნე სახელმძღვანელოში ის ერთ-ერთი პირველია.

თუმცა, გირჩევთ, ცოტა ივარჯიშოთ.

დავალება No1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი $\left(((a)_(n)) \right)$ თუ $((a)_(1))=8,d=-5$.

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ ვიცით პირველი წევრი $((a)_(1))=8$ და სხვაობა $d=-5$ პროგრესიაში. მოდით გამოვიყენოთ მოცემული ფორმულა და ჩავანაცვლოთ $n=1$, $n=2$ და $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \მარჯვნივ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\მარცხნივ(1-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: (8; 3; −2)

ესე იგი! გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენი პროგრესი მცირდება.

რა თქმა უნდა, $n=1$-ის ჩანაცვლება ვერ მოხერხდა - პირველი ტერმინი ჩვენთვის უკვე ცნობილია. თუმცა, ერთიანობის ჩანაცვლებით დავრწმუნდით, რომ პირველი ვადითაც კი ჩვენი ფორმულა მუშაობს. სხვა შემთხვევაში ყველაფერი ბანალურ არითმეტიკამდე მიდიოდა.

დავალება No2. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი, თუ მისი მეშვიდე წევრი უდრის -40-ს, ხოლო მეჩვიდმეტე წევრი უდრის -50-ს.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ პრობლემის მდგომარეობა ნაცნობი ტერმინებით:

\[((a)_(7))=-40;\ quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სისტემის ნიშანი დავდე იმიტომ, რომ ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. ახლა აღვნიშნოთ, რომ თუ პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას (ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან გვაქვს სისტემა), მივიღებთ ამას:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \მარჯვნივ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ასე ადვილია პროგრესის სხვაობის პოვნა! რჩება მხოლოდ ნაპოვნი რიცხვის ჩანაცვლება სისტემის რომელიმე განტოლებაში. მაგალითად, პირველში:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ქვემოთ \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ა)_(1))=-40+6=-34. \\ \ბოლო (მატრიცა)\]

ახლა, პირველი ტერმინისა და განსხვავების ცოდნით, რჩება მეორე და მესამე ტერმინების პოვნა:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მზადაა! პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: (−34; −35; −36)

დააკვირდით პროგრესიის საინტერესო თვისებას, რომელიც აღმოვაჩინეთ: თუ ავიღებთ $n$th და $m$th წევრებს და გამოვაკლებთ მათ ერთმანეთს, მივიღებთ პროგრესიის სხვაობას გამრავლებული $n-m$ რიცხვზე:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \მარცხნივ(n-m \მარჯვნივ)\]

მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ - მისი დახმარებით შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ პროგრესირების მრავალი პრობლემის გადაჭრა. აი ამის ნათელი მაგალითი:

დავალება No3. არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე წევრი არის 8,4, ხოლო მისი მეათე წევრი არის 14,4. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეთხუთმეტე წევრი.

გამოსავალი. ვინაიდან $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(15))$, აღვნიშნავთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5დ. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ პირობით $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, შესაბამისად $5d=6$, საიდანაც გვაქვს:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: 20.4

ესე იგი! ჩვენ არ დაგვჭირდა განტოლებათა სისტემის შექმნა და პირველი წევრის და სხვაობის გამოთვლა - ყველაფერი მოგვარდა მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით შევხედოთ სხვა ტიპის პრობლემას - პროგრესის უარყოფითი და დადებითი ტერმინების ძიებას. საიდუმლო არ არის, რომ თუ პროგრესი იზრდება და მისი პირველი ტერმინი უარყოფითია, ადრე თუ გვიან მასში დადებითი ტერმინები გამოჩნდება. და პირიქით: კლებადი პროგრესირების პირობები ადრე თუ გვიან გახდება უარყოფითი.

ამავდროულად, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ამ მომენტის პოვნა „პირისპირ“ ელემენტების თანმიმდევრული გავლის გზით. ხშირად, ამოცანები იწერება ისე, რომ ფორმულების ცოდნის გარეშე, გამოთვლებს დასჭირდება რამდენიმე ფურცელი - ჩვენ უბრალოდ ვიძინებდით, სანამ პასუხს ვიპოვით. ამიტომ, შევეცადოთ ეს პრობლემები უფრო სწრაფად მოვაგვაროთ.

დავალება No4. რამდენი უარყოფითი წევრია არითმეტიკული პროგრესიაში −38,5; −35,8; ...?

გამოსავალი. ასე რომ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, საიდანაც დაუყოვნებლივ ვპოულობთ განსხვავებას:

გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება დადებითია, ამიტომ პროგრესირება იზრდება. პირველი წევრი უარყოფითია, ასე რომ, რაღაც მომენტში ჩვენ წავაწყდებით დადებით რიცხვებს. ერთადერთი საკითხია, როდის მოხდება ეს.

შევეცადოთ გავარკვიოთ: როდემდე (ანუ რამდე ბუნებრივი რიცხვი$n$) ტერმინების ნეგატიურობა დაცულია:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \მარჯვნივ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი გარკვეულ ახსნას მოითხოვს. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ $n \lt 15\frac(7)(27)$. მეორე მხრივ, ჩვენ ვკმაყოფილდებით რიცხვის მხოლოდ მთელი მნიშვნელობებით (უფრო მეტიც: $n\in \mathbb(N)$), ამიტომ ყველაზე დიდი დასაშვები რიცხვი არის ზუსტად $n=15$ და არავითარ შემთხვევაში 16. .

დავალება No5. არითმეტიკული პროგრესიით $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი დადებითი წევრის რიცხვი.

ეს იქნება ზუსტად იგივე პრობლემა, როგორც წინა, მაგრამ ჩვენ არ ვიცით $((a)_(1))$. მაგრამ მეზობელი ტერმინები ცნობილია: $((a)_(5))$ და $((a)_(6))$, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

გარდა ამისა, შევეცადოთ გამოვხატოთ მეხუთე ტერმინი პირველში და განსხვავება სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ჩვენ გავაგრძელებთ წინა დავალების ანალოგიით. მოდით გავარკვიოთ ჩვენი მიმდევრობის რომელ მომენტში გამოჩნდება დადებითი რიცხვები:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\მარჯვენა ისარი ((n)_(\წთ))=56. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამ უტოლობის მინიმალური მთელი რიცხვი არის რიცხვი 56.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ბოლო ამოცანაში ყველაფერი მკაცრ უთანასწორობამდე მივიდა, ასე რომ, ვარიანტი $n=55$ არ მოგვწონს.

ახლა, როდესაც ვისწავლეთ მარტივი პრობლემების გადაჭრა, მოდით გადავიდეთ უფრო რთულზე. ოღონდ ჯერ შევისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესიების კიდევ ერთი ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც დაგვიზოგავს უამრავ დროს და არათანაბარ უჯრედებს მომავალში.

საშუალო არითმეტიკული და თანაბარი ჩაღრმავები

განვიხილოთ $\left((a)_(n)) \right)$ მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი. შევეცადოთ აღვნიშნოთ ისინი რიცხვით ხაზზე:

მე კონკრეტულად აღვნიშნე თვითნებური ტერმინები $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, და არა ზოგიერთი $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ და ა.შ. იმის გამო, რომ წესი, რომლის შესახებაც ახლა მოგიყვებით, იგივე მუშაობს ნებისმიერი "სეგმენტისთვის".

და წესი ძალიან მარტივია. გავიხსენოთ განმეორებითი ფორმულა და დავწეროთ ყველა მონიშნული ტერმინისთვის:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუმცა, ეს თანასწორობები შეიძლება სხვაგვარად გადაიწეროს:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მერე რა? და ის ფაქტი, რომ ტერმინები $((a)_(n-1))$ და $((a)_(n+1))$ ერთსა და იმავე მანძილზეა $((a)_(n)) $-დან. . და ეს მანძილი $d$-ის ტოლია. იგივე შეიძლება ითქვას ტერმინებზე $((a)_(n-2))$ და $((a)_(n+2))$ - ისინი ასევე ამოღებულია $((a)_(n)-დან. )$ იმავე მანძილზე უდრის $2d$-ს. ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ უსასრულოდ, მაგრამ მნიშვნელობა კარგად არის ილუსტრირებული სურათზე

რას ნიშნავს ეს ჩვენთვის? ეს ნიშნავს, რომ $((a)_(n))$ შეიძლება მოიძებნოს, თუ ცნობილია მეზობელი ნომრები:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ჩვენ მივიღეთ შესანიშნავი განცხადება: არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი უდრის მისი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკულს! უფრო მეტიც: ჩვენ შეგვიძლია დავიხიოთ $((a)_(n))$-დან მარცხნივ და მარჯვნივ არა ერთი ნაბიჯით, არამედ $k$ ნაბიჯებით - და ფორმულა მაინც სწორი იქნება:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

იმათ. ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ $((a)_(150))$ თუ ვიცით $((a)_(100))$ და $((a)_(200))$, რადგან $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. ერთი შეხედვით შეიძლება მოგვეჩვენოს, რომ ეს ფაქტი არაფერს გვაძლევს სასარგებლოს. თუმცა, პრაქტიკაში, ბევრი პრობლემა სპეციალურად არის მორგებული საშუალო არითმეტიკის გამოსაყენებლად. შეხედე:

დავალება No6. იპოვეთ $x$-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც რიცხვები $-6((x)^(2))$, $x+1$ და $14+4((x)^(2))$ არის თანმიმდევრული ტერმინები. არითმეტიკული პროგრესია (მითითებული თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. ვინაიდან ეს რიცხვები პროგრესიის წევრები არიან, მათთვის საშუალო არითმეტიკული პირობა დაკმაყოფილებულია: ცენტრალური ელემენტი $x+1$ შეიძლება გამოისახოს მეზობელი ელემენტების მიხედვით:

\[\begin(გასწორება) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

შედეგი არის კლასიკური კვადრატული განტოლება. მისი ფესვები: $x=2$ და $x=-3$ არის პასუხები.

პასუხი: −3; 2.

დავალება No7. იპოვეთ $$-ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც რიცხვები $-1;4-3;(()^(2))+1$ ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას (ამ თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. მოდით კვლავ გამოვხატოთ შუა რიცხვი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკული საშუალებით:

\[\begin(გასწორება) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \მარცხნივ| \cdot 2 \მარჯვნივ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ კვადრატული განტოლება. და ისევ არის ორი ფესვი: $x=6$ და $x=1$.

პასუხი: 1; 6.

თუ პრობლემის გადაჭრის პროცესში გამოგივათ რაღაც სასტიკი რიცხვები, ან ბოლომდე დარწმუნებული არ ხართ ნაპოვნი პასუხების სისწორეში, მაშინ არსებობს შესანიშნავი ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ: სწორად გადავწყვიტეთ პრობლემა?

ვთქვათ, მე-6 ამოცანაში მივიღეთ პასუხები −3 და 2. როგორ შევამოწმოთ, რომ ეს პასუხები სწორია? მოდით შევაერთოთ ისინი თავდაპირველ მდგომარეობაში და ვნახოთ რა მოხდება. შეგახსენებთ, რომ გვაქვს სამი რიცხვი ($-6(()^(2))$, $+1$ და $14+4(()^(2))$), რომლებიც არითმეტიკულ პროგრესიას უნდა ქმნიან. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ბოლო(გასწორება)\]

მივიღეთ რიცხვები −54; −2; 50, რომელიც განსხვავდება 52-ით, უდავოდ არის არითმეტიკული პროგრესია. იგივე ხდება $x=2$-ზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x=2\მარჯვენა ისარი \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ბოლო(გასწორება)\]

ისევ პროგრესია, მაგრამ 27-ის სხვაობით. ამრიგად, პრობლემა სწორად მოგვარდა. მსურველებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად შეამოწმონ მეორე პრობლემა, მაგრამ მე მაშინვე ვიტყვი: იქაც ყველაფერი სწორია.

ზოგადად, ბოლო პრობლემების გადაჭრისას სხვას წავაწყდით საინტერესო ფაქტი, რომელიც ასევე უნდა გვახსოვდეს:

თუ სამი რიცხვი ისეთია, რომ მეორე არის პირველი და ბოლო საშუალო არითმეტიკული, მაშინ ეს რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

მომავალში, ამ განცხადების გაგება საშუალებას მოგვცემს ფაქტიურად „ავაშენოთ“ საჭირო პროგრესი პრობლემის პირობებზე დაყრდნობით. მაგრამ სანამ ასეთ „მშენებლობაში“ ჩაერთვებით, ყურადღება უნდა მივაქციოთ კიდევ ერთ ფაქტს, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს უკვე განხილულიდან.

ელემენტების დაჯგუფება და შეჯამება

ისევ რიცხვთა ღერძს დავუბრუნდეთ. აქვე აღვნიშნოთ პროგრესის რამდენიმე წევრი, რომელთა შორის, შესაძლოა. ღირს ბევრი სხვა წევრი:

შევეცადოთ გამოვხატოთ „მარცხენა კუდი“ $((a)_(n))$-ით და $d$-ით, ხოლო „მარჯვენა კუდი“ $((a)_(k))$-ით და $d$-ით. ძალიან მარტივია:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ა)_(კ-1))=((ა)_(კ))-დ; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი თანხები ტოლია:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ს. \ბოლო(გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, თუ საწყისად განვიხილავთ პროგრესიის ორ ელემენტს, რომლებიც მთლიანობაში უდრის რაღაც რიცხვს $S$ და შემდეგ დავიწყებთ ამ ელემენტებიდან გადასვლას მოპირდაპირე მხარეები(ერთმანეთის მიმართ ან პირიქით, რომ დაშორდეთ), შემდეგ ელემენტების ჯამები, რომლებზეც ჩვენ წავაწყდებით, ასევე ტოლი იქნება$S$. ეს შეიძლება იყოს ყველაზე ნათლად წარმოდგენილი გრაფიკულად:

ამ ფაქტის გაგება საშუალებას მოგვცემს პრობლემების ფუნდამენტურად მეტი გადაჭრა მაღალი დონისსირთულეები, ვიდრე ზემოთ განვიხილეთ. მაგალითად, ესენი:

დავალება No8. დაადგინეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, რომელშიც პირველი წევრი არის 66, ხოლო მეორე და მეთორმეტე წევრის ნამრავლი ყველაზე მცირეა.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ ყველაფერი, რაც ვიცით:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\წთ. \ბოლო(გასწორება)\]

ასე რომ, ჩვენ არ ვიცით პროგრესირების სხვაობა $d$. სინამდვილეში, მთელი გამოსავალი აგებული იქნება სხვაობის გარშემო, ვინაიდან პროდუქტი $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\begin(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\მარცხნივ(66+d \მარჯვნივ)\cdot \left(66+11d \მარჯვნივ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \მარჯვნივ)\cdot \left(d+6 \მარჯვნივ). \ბოლო(გასწორება)\]

ავზში მყოფთათვის: მეორე ფრჩხილიდან ავიღე ჯამური მამრავლი 11. ამრიგად, სასურველი პროდუქტი არის კვადრატული ფუნქცია $d$ ცვლადის მიმართ. ამიტომ, განიხილეთ ფუნქცია $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან თუ გავაფართოვებთ ფრჩხილებს, მივიღებთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & f\ მარცხნივ(d \მარჯვნივ)=11\მარცხნივ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \მარჯვნივ)= \\ & =11(( დ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, უმაღლესი ტერმინის კოეფიციენტი არის 11 - ეს არის დადებითი რიცხვიასე რომ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საქმე პარაბოლასთან ტოტებით ზემოთ:

განრიგი კვადრატული ფუნქცია- პარაბოლა

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს პარაბოლა იღებს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას თავის წვეროზე $((d)_(0))$ აბსცისით. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ეს აბსციზა სტანდარტული სქემა(არსებობს ფორმულა $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), მაგრამ ბევრად უფრო გონივრული იქნება აღვნიშნოთ, რომ სასურველი წვერო დევს სიმეტრიის ღერძზე. პარაბოლა, ამიტომ წერტილი $((d) _(0))$ თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $f\left(d \right)=0$ განტოლების ფესვებისგან:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((დ)_(1))=-66;\ოთხი ((დ)_(2))=-6. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამიტომაც არ ვჩქარობდი ფრჩხილების გახსნას: თავდაპირველი სახით ფესვები ძალიან, ძალიან ადვილი საპოვნელი იყო. მაშასადამე, აბსციზა უდრის −66 და −6 რიცხვების საშუალო არითმეტიკულს:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

რას გვაძლევს აღმოჩენილი რიცხვი? მასთან ერთად, საჭირო პროდუქტი იღებს უმცირესი ღირებულება(სხვათა შორის, ჩვენ არასდროს გამოვთვალეთ $((y)_(\min ))$ - ეს ჩვენგან არ არის საჭირო). ამავდროულად, ეს რიცხვი არის ორიგინალური პროგრესიის განსხვავება, ე.ი. ვიპოვეთ პასუხი. :)

პასუხი: -36

დავალება No9. $-\frac(1)(2)$ და $-\frac(1)(6)$ რიცხვებს შორის ჩადეთ სამი რიცხვი ისე, რომ ამ ციფრებთან ერთად მათ შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.

გამოსავალი. არსებითად, ჩვენ უნდა შევქმნათ ხუთი რიცხვის მიმდევრობა, პირველი და ბოლო რიცხვი უკვე ცნობილია. გამოტოვებული რიცხვები ავღნიშნოთ $x$, $y$ და $z$ ცვლადებით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \მარჯვნივ\ )\]

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი $y$ არის ჩვენი მიმდევრობის „შუა“ - ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $x$ და $z$ რიცხვებისგან და $-\frac(1)(2)$ და $-\frac რიცხვებისგან. (1)(6)$. და თუ ჩვენ ვართ $x$ და $z$ რიცხვებიდან მომენტშიჩვენ ვერ მივიღებთ $y$-ს, მაშინ სიტუაცია განსხვავებულია პროგრესის ბოლოებით. გავიხსენოთ საშუალო არითმეტიკული:

ახლა, ვიცით $y$, ჩვენ ვიპოვით დარჩენილ ნომრებს. გაითვალისწინეთ, რომ $x$ დევს რიცხვებს შორის: $-\frac(1)(2)$ და $y=-\frac(1)(3)$, რომელიც ახლახან ვიპოვეთ. ამიტომაც

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით ვპოულობთ დარჩენილ რიცხვს:

მზადაა! სამივე ნომერი ვიპოვეთ. დავწეროთ ისინი პასუხში იმ თანმიმდევრობით, რა თანმიმდევრობით უნდა იყოს ჩასმული თავდაპირველ რიცხვებს შორის.

პასუხი: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

დავალება No10. 2 და 42 რიცხვებს შორის ჩასვით რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც ამ რიცხვებთან ერთად ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ იცით, რომ ჩასმული რიცხვებიდან პირველი, მეორე და ბოლო ჯამი არის 56.

გამოსავალი. უფრო მეტიც რთული ამოცანა, რომელიც, თუმცა, წყდება იგივე სქემით, როგორც წინაები - საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. პრობლემა ის არის, რომ ზუსტად არ ვიცით რამდენი რიცხვის ჩასმაა საჭირო. მაშასადამე, დანამდვილებით დავუშვათ, რომ ყველაფრის ჩასმის შემდეგ იქნება ზუსტად $n$ რიცხვები და მათგან პირველი არის 2, ხოლო ბოლო არის 42. ამ შემთხვევაში, საჭირო არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ა)_(n-1));42 \მარჯვნივ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები $((a)_(2))$ და $((a)_(n-1))$ მიღებულია 2 და 42 რიცხვებიდან კიდეებზე ერთი ნაბიჯით ერთმანეთისკენ. ე.ი. მიმდევრობის ცენტრამდე. და ეს იმას ნიშნავს

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

მაგრამ შემდეგ ზემოთ დაწერილი გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \მარჯვნივ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ ვიცით $((a)_(3))$ და $((a)_(1))$, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((ა)_(3))-((ა)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\მარჯვენა ისარი d=5. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რჩება მხოლოდ დარჩენილი პირობების პოვნა:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, უკვე მე-9 საფეხურზე მივალთ მიმდევრობის მარცხენა ბოლოში - რიცხვი 42. ჯამში მხოლოდ 7 რიცხვის ჩასმა იყო საჭირო: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

პასუხი: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

სიტყვის პრობლემები პროგრესირებასთან

დასასრულს, მსურს განვიხილო რამდენიმე შედარებით მარტივი პრობლემა. ასე მარტივია: სტუდენტების უმრავლესობისთვის, რომლებიც მათემატიკას სწავლობენ სკოლაში და არ წაკითხული აქვთ ზემოთ დაწერილი, ეს პრობლემები შეიძლება რთული ჩანდეს. მიუხედავად ამისა, ეს არის პრობლემების ტიპები, რომლებიც ჩნდება OGE-სა და მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, ამიტომ გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

დავალება No11. გუნდმა იანვარში დაამზადა 62 ნაწილი, ხოლო ყოველ მომდევნო თვეში 14-ით მეტი ნაწილი გამოუშვა, ვიდრე წინა თვეში. რამდენი ნაწილი დაამზადა გუნდმა ნოემბერში?

გამოსავალი. ცხადია, თვეების მიხედვით ჩამოთვლილი ნაწილების რაოდენობა წარმოადგენს მზარდ არითმეტიკულ პროგრესს. უფრო მეტიც:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 14. \\ \end (გასწორება)\]

ნოემბერი არის წლის მე-11 თვე, ამიტომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

შესაბამისად, ნოემბერში 202 ნაწილის წარმოება მოხდება.

დავალება No12. იანვარში წიგნების აკინძვის სახელოსნომ 216 წიგნი შეკრა, ყოველი მომდევნო თვეში კი 4 წიგნით მეტი აკრა, ვიდრე წინა. რამდენი წიგნი შეიკრა სახელოსნომ დეკემბერში?

გამოსავალი. ყველაფერი იგივეა:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 4. \\ \end (გასწორება)$

დეკემბერი არის წლის ბოლო, მე-12 თვე, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ეს არის პასუხი - დეკემბერში 260 წიგნი იკვრება.

აბა, თუ აქამდე წაიკითხეთ, მეჩქარება მოგილოცოთ: თქვენ წარმატებით დაასრულეთ არითმეტიკული პროგრესიების "ახალგაზრდა მებრძოლის კურსი". შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადახვიდეთ შემდეგ გაკვეთილზე, სადაც შევისწავლით პროგრესირების ჯამის ფორმულას, ასევე მისგან მნიშვნელოვან და ძალიან სასარგებლო შედეგებს.

მათემატიკაში რიცხვების ნებისმიერ კრებულს, რომლებიც ერთმანეთს მიჰყვება, რაღაცნაირად ორგანიზებულნი, მიმდევრობას უწოდებენ. რიცხვების ყველა არსებული თანმიმდევრობიდან გამოიყოფა ორი საინტერესო შემთხვევა: ალგებრული და გეომეტრიული პროგრესიები.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია?

დაუყოვნებლივ უნდა ითქვას, რომ ალგებრულ პროგრესიას ხშირად არითმეტიკას უწოდებენ, რადგან მის თვისებებს სწავლობს მათემატიკის ფილიალი - არითმეტიკა.

ეს პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი მომდევნო წევრი განსხვავდება წინასგან გარკვეული მუდმივი რიცხვით. მას ალგებრული პროგრესიის განსხვავებას უწოდებენ. დაზუსტებისთვის, მოდით აღვნიშნოთ იგი ლათინური ასოდ.

ასეთი თანმიმდევრობის მაგალითი შეიძლება იყოს შემდეგი: 3, 5, 7, 9, 11 ..., აქ ხედავთ, რომ რიცხვი არის 5. მეტი ნომერი 3 არის 2, 7 მეტია, ვიდრე 5 არის ასევე 2 და ა.შ. ამრიგად, წარმოდგენილ მაგალითში d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

რა არის არითმეტიკული პროგრესიების ტიპები?

რიცხვების ამ მოწესრიგებული თანმიმდევრობის ბუნება დიდწილად განისაზღვრება d რიცხვის ნიშნით. განასხვავებენ ალგებრულ პროგრესირებას:

• იზრდება როცა d დადებითია (d>0);
• მუდმივი, როდესაც d = 0;
• მცირდება, როდესაც d უარყოფითია (დ<0).

წინა აბზაცში მოცემული მაგალითი გვიჩვენებს მზარდ პროგრესს. კლებადი მიმდევრობის მაგალითია რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა: 10, 5, 0, -5, -10, -15... მუდმივი პროგრესია, როგორც მისი განმარტებიდან გამომდინარეობს, არის იდენტური რიცხვების კრებული.

პროგრესირების მე-n ვადა

გამომდინარე იქიდან, რომ განსახილველ პროგრესში ყოველი მომდევნო რიცხვი განსხვავდება წინა მუდმივი d-ით, მისი n წევრის დადგენა მარტივად შეიძლება. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ d, არამედ 1 - პროგრესირების პირველი ტერმინი. რეკურსიული მიდგომის გამოყენებით, შეიძლება მივიღოთ ალგებრული პროგრესიის ფორმულა n-ე ტერმინის საპოვნელად. ეს ასე გამოიყურება: a n = a 1 + (n-1)*d. ეს ფორმულა საკმაოდ მარტივია და მისი გაგება შესაძლებელია ინტუიციურად.

ასევე არ არის რთული გამოყენება. მაგალითად, ზემოთ მოცემულ პროგრესში (d=2, a 1 =3), ჩვენ განვსაზღვრავთ მის 35-ე წევრს. ფორმულის მიხედვით ტოლი იქნება: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

თანხის ფორმულა

როდესაც მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, მისი პირველი n წევრის ჯამი ხშირად გვხვდება პრობლემა, n-ე წევრის მნიშვნელობის განსაზღვრასთან ერთად. ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა იწერება შემდეგი სახით: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, აქ ხატი ∑ n 1 მიუთითებს, რომ ისინი ჯამდება 1-დან მე-9 ტერმინი.

ზემოაღნიშნული გამოთქმის მიღება შესაძლებელია იმავე რეკურსიის თვისებების გამოყენებით, მაგრამ არსებობს უფრო მარტივი გზა მისი მართებულობის დასამტკიცებლად. ჩამოვწეროთ ამ ჯამის პირველი 2 და ბოლო 2 წევრი, გამოვხატოთ რიცხვებში a 1, a n და d და მივიღებთ: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. ახლა გაითვალისწინეთ, რომ თუ პირველ წევრს ბოლოს დავუმატებთ, ის ზუსტად უდრის მეორე და წინაბოლო წევრთა ჯამს, ანუ a 1 +a n. ანალოგიურად შეიძლება აჩვენოს, რომ იგივე ჯამის მიღება შესაძლებელია მესამე და წინაბოლო ტერმინების მიმატებით და ა.შ. თანმიმდევრობით რიცხვების წყვილის შემთხვევაში ვიღებთ n/2 ჯამს, რომელთაგან თითოეული უდრის 1 +a n-ს. ანუ ვიღებთ ზემოხსენებულ ფორმულას ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

n ტერმინების დაუწყვილებელი რაოდენობისთვის მსგავსი ფორმულა მიიღება, თუ დაიცავთ აღწერილ მსჯელობას. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ დაამატოთ დარჩენილი ტერმინი, რომელიც პროგრესირების ცენტრშია.

მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულა მარტივი პროგრესიის მაგალითის გამოყენებით, რომელიც ზემოთ იყო შემოღებული (3, 5, 7, 9, 11 ...). მაგალითად, აუცილებელია მისი პირველი 15 წევრის ჯამის დადგენა. ჯერ განვსაზღვროთ 15. n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით (იხ. წინა აბზაცი), ვიღებთ: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. ახლა შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამი: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

საინტერესოა საინტერესო ისტორიული ფაქტის მოყვანა. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა პირველად მიიღო კარლ გაუსმა (მე-18 საუკუნის ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა). როდესაც ის მხოლოდ 10 წლის იყო, მასწავლებელმა სთხოვა ამოცანის პოვნა რიცხვების ჯამის 1-დან 100-მდე. ამბობენ, რომ პატარა გაუსმა ეს პრობლემა რამდენიმე წამში გადაჭრა და შენიშნა, რომ რიცხვების შეჯამებით თავიდან და ბოლოდან. თანმიმდევრობა წყვილებში, ყოველთვის შეგიძლიათ მიიღოთ 101 და რადგან 50 ასეთი ჯამია, მან სწრაფად გასცა პასუხი: 50*101 = 5050.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

ალგებრული პროგრესიის თემის დასასრულებლად კიდევ ერთი საინტერესო პრობლემის გადაჭრის მაგალითს მოვიყვანთ, რითაც გავაძლიერებთ განსახილველი თემის გაგებას. მიეცით გარკვეული პროგრესია, რომლისთვისაც ცნობილია სხვაობა d = -3, ისევე როგორც მისი 35-ე წევრი a 35 = -114. აუცილებელია ვიპოვოთ პროგრესიის მე-7 წევრი a 7 .

როგორც პრობლემის პირობებიდან ჩანს, 1-ის მნიშვნელობა უცნობია, ამიტომ შეუძლებელი იქნება n-ე ტერმინის ფორმულის პირდაპირ გამოყენება. მოუხერხებელია რეკურსიის მეთოდიც, რომლის ხელით განხორციელება რთულია და შეცდომის დაშვების დიდი ალბათობაა. მოდით ვიმოქმედოთ შემდეგნაირად: ჩაწერეთ ფორმულები 7-ისა და 35-ისთვის, გვაქვს: a 7 = a 1 + 6*d და a 35 = a 1 + 34*d. გამოვაკლოთ მეორე პირველ გამოსახულებას, მივიღებთ: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. შემდეგნაირად ხდება: a 7 = a 35 - 28*d. რჩება პრობლემის დებულებიდან ცნობილი მონაცემების ჩანაცვლება და პასუხის ჩაწერა: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

გეომეტრიული პროგრესია

სტატიის თემის უფრო სრულყოფილად გამოსავლენად გთავაზობთ პროგრესის სხვა ტიპის - გეომეტრიულის მოკლე აღწერას. მათემატიკაში ეს სახელი გაგებულია, როგორც რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი განსხვავდება წინადან გარკვეული ფაქტორით. ავღნიშნოთ ეს ფაქტორი ასო r-ით. მას ეწოდება განსახილველი პროგრესიის ტიპის მნიშვნელი. ამ რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი იქნება: 1, 5, 25, 125, ...

როგორც ზემოაღნიშნული განმარტებიდან ჩანს, ალგებრული და გეომეტრიული პროგრესიები იდეით მსგავსია. მათ შორის განსხვავება ისაა, რომ პირველი იცვლება უფრო ნელა, ვიდრე მეორე.

გეომეტრიული პროგრესია ასევე შეიძლება იყოს მზარდი, მუდმივი ან კლებადი. მისი ტიპი დამოკიდებულია r მნიშვნელის მნიშვნელობაზე: თუ r>1, მაშინ არის მზარდი პროგრესია, თუ r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

გეომეტრიული პროგრესირების ფორმულები

როგორც ალგებრულის შემთხვევაში, გეომეტრიული პროგრესიის ფორმულები მცირდება მისი n-ე წევრისა და n-ის ჯამის განსაზღვრამდე. ქვემოთ მოცემულია ეს გამონათქვამები:

• a n = a 1 *r (n-1) - ეს ფორმულა გამომდინარეობს გეომეტრიული პროგრესიის განმარტებიდან.
• ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ თუ r = 1, მაშინ ზემოაღნიშნული ფორმულა იძლევა გაურკვევლობას, ამიტომ მისი გამოყენება შეუძლებელია. ამ შემთხვევაში, n წევრთა ჯამი ტოლი იქნება მარტივი ნამრავლის a 1 *n.

მაგალითად, ვიპოვოთ 1, 5, 25, 125, მიმდევრობის მხოლოდ 10 წევრის ჯამი, თუ ვიცით, რომ a 1 = 1 და r = 5, მივიღებთ: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. მიღებული მნიშვნელობა არის ნათელი მაგალითი იმისა, თუ რამდენად სწრაფად იზრდება გეომეტრიული პროგრესია.

ალბათ ისტორიაში ამ პროგრესის პირველი ნახსენები ლეგენდაა ჭადრაკის დაფასთან დაკავშირებით, როდესაც ერთ-ერთ სულთანს მეგობარმა ჭადრაკის თამაში ასწავლა, სამსახურისთვის მარცვლეული სთხოვა. უფრო მეტიც, მარცვლის რაოდენობა უნდა ყოფილიყო ასეთი: ერთი მარცვალი უნდა დაიდოს ჭადრაკის დაფის პირველ კვადრატზე, მეორეზე ორჯერ მეტი, ვიდრე პირველზე, მესამეზე ორჯერ მეტი მეორეზე და ა.შ. . სულთანი ნებით დათანხმდა ამ თხოვნის შესრულებას, მაგრამ არ იცოდა, რომ თავისი ქვეყნის ყველა ურნის დაცლა მოუწევდა, რათა სიტყვა შეესრულებინა.

მაგალითად, თანმიმდევრობა \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... არის არითმეტიკული პროგრესია, რადგან ყოველი მომდევნო ელემენტი განსხვავდება წინადან სამით (შეიძლება მიიღოთ წინადან სამის მიმატებით):

ამ პროგრესიაში სხვაობა \(d\) დადებითია (ტოლია \(3\)) და ამიტომ ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე მეტია. ასეთ პროგრესებს ე.წ იზრდება.

თუმცა, \(d\) ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიაში \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... პროგრესიის სხვაობა \(d\) უდრის მინუს ექვსი.

და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი უფრო მცირე იქნება ვიდრე წინა. ამ პროგრესირებას ე.წ მცირდება.

არითმეტიკული პროგრესიის აღნიშვნა

პროგრესი მითითებულია პატარა ლათინური ასოებით.

რიცხვები, რომლებიც ქმნიან პროგრესიას, ეწოდება წევრები(ან ელემენტები).

ისინი აღინიშნება იგივე ასოთი, როგორც არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ რიცხვითი ინდექსით, რომელიც ტოლია ელემენტის რაოდენობის მიხედვით.

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) შედგება ელემენტებისაგან \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) და ასე შემდეგ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიისთვის \(a_n = \მარცხნივ\(2; 5; 8; 11; 14…\მარჯვნივ\)\)

არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა

პრინციპში, ზემოთ წარმოდგენილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია თითქმის ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის OGE-ში შემოთავაზებული).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მითითებულია პირობებით \(b_1=7; d=4\). იპოვეთ \(b_5\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(b_5=23\)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი: \(62; 49; 36…\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი უარყოფითი წევრის მნიშვნელობა..
გამოსავალი:

პასუხი: \(-3\)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული ელემენტი: \(…5; x; 10; 12.5...\) იპოვეთ ელემენტის მნიშვნელობა, რომელიც მითითებულია ასო \(x\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(7,5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია განისაზღვრება შემდეგი პირობებით: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი.
გამოსავალი:

პასუხი: \(S_6=9\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესიაში \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). იპოვნეთ ამ პროგრესის განსხვავება.
გამოსავალი:

პასუხი: \(d=7\).

არითმეტიკული პროგრესირების მნიშვნელოვანი ფორმულები

როგორც ხედავთ, არითმეტიკული პროგრესიის მრავალი პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია უბრალოდ მთავარის გაგებით - რომ არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების ჯაჭვი და ამ ჯაჭვის ყოველი მომდევნო ელემენტი მიიღება იმავე რიცხვის წინას მიმატებით ( პროგრესის განსხვავება).

თუმცა, ზოგჯერ არის სიტუაციები, როდესაც ძალიან მოუხერხებელია გადაწყვეტილების მიღება "პირდაპირი". მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ პირველივე მაგალითში უნდა ვიპოვოთ არა მეხუთე ელემენტი \(b_5\), არამედ სამას ოთხმოცდამეექვსე \(b_(386)\). გვჭირდება თუ არა ოთხი \(385\)-ჯერ დამატება? ან წარმოიდგინეთ, რომ ბოლო მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი სამოცდასამი ელემენტის ჯამი. მოგბეზრდებათ დათვლა...

მაშასადამე, ასეთ შემთხვევებში ისინი არ წყვეტენ საკითხებს „პირდაპირ“, არამედ იყენებენ არითმეტიკული პროგრესიისთვის გამოყვანილ სპეციალურ ფორმულებს. და მთავარია პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა და \(n\) პირველი ტერმინების ჯამის ფორმულა.

\(n\)-ე ტერმინის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\), სადაც \(a_1\) არის პროგრესიის პირველი წევრი;
\(n\) – საჭირო ელემენტის ნომერი;
\(a_n\) – პროგრესიის ვადა ნომრით \(n\).

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს სწრაფად ვიპოვოთ თუნდაც სამასი ან მემილიონე ელემენტი, ვიცით მხოლოდ პირველი და პროგრესიის განსხვავება.

მაგალითი. არითმეტიკული პროგრესია მითითებულია პირობებით: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). იპოვეთ \(b_(246)\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(b_(246)=1850\).

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), სადაც

\(a_n\) – ბოლო შეჯამება;

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მითითებულია პირობებით \(a_n=3.4n-0.6\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი \(25\) ტერმინების ჯამი.
გამოსავალი:

პასუხი: \(S_(25)=1090\).

პირველი ტერმინების ჯამისთვის \(n\) შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ფორმულა: თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ნაცვლად \(a_n\) შეცვალეთ მისი ფორმულა \(a_n=a_1+(n-1)d\). ჩვენ ვიღებთ:

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), სადაც

\(S_n\) – \(n\) პირველი ელემენტების საჭირო ჯამი;
\(a_1\) – პირველი შეჯამებული წევრი;
\(d\) – პროგრესირების განსხვავება;
\(n\) – ელემენტების რაოდენობა ჯამში.

მაგალითი. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი \(33\)-ექს წევრთა ჯამი: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
გამოსავალი:

პასუხი: \(S_(33)=-231\).

უფრო რთული არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები

ახლა თქვენ გაქვთ ყველა ინფორმაცია, რომელიც გჭირდებათ თითქმის ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პრობლემის გადასაჭრელად. დავასრულოთ თემა იმ პრობლემების განხილვით, რომლებშიც არა მხოლოდ ფორმულების გამოყენება გჭირდებათ, არამედ ცოტათი დაფიქრებაც (მათემატიკაში ეს შეიძლება სასარგებლო იყოს ☺)

მაგალითი (OGE). იპოვეთ პროგრესიის ყველა უარყოფითი წევრის ჯამი: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
გამოსავალი:

პასუხი: \(S_(65)=-630.5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მითითებულია პირობებით: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). იპოვეთ ჯამი \(26\)-დან \(42\) ელემენტის ჩათვლით.
გამოსავალი:

პასუხი: \(S=1683\).

არითმეტიკული პროგრესირებისთვის, არის კიდევ რამდენიმე ფორმულა, რომლებიც ჩვენ არ განვიხილეთ ამ სტატიაში მათი დაბალი პრაქტიკული სარგებლობის გამო. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ისინი.