განსაზღვრეთ მარტივი რიცხვი ონლაინ. როგორ მოვძებნოთ მარტივი რიცხვები

თეორემა.

არის უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები.

მტკიცებულება.

დავუშვათ, რომ ეს ასე არ არის. ანუ, დავუშვათ, რომ არსებობს მხოლოდ n მარტივი რიცხვი და ეს მარტივი რიცხვებია p 1, p 2, ..., p n. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ მარტივი რიცხვი, რომელიც განსხვავდება მითითებულისგან.

განვიხილოთ რიცხვი p ტოლი p 1 ·p 2 ·…·p n +1. ნათელია, რომ ეს რიცხვი განსხვავდება თითოეული მარტივი რიცხვისგან p 1, p 2, ..., p n. თუ რიცხვი p არის მარტივი, მაშინ თეორემა დამტკიცებულია. თუ ეს რიცხვი შედგენილია, მაშინ წინა თეორემის ძალით არის ამ რიცხვის ძირითადი გამყოფი (ჩვენ აღვნიშნავთ მას p n+1). ვაჩვენოთ, რომ ეს გამყოფი არ ემთხვევა არცერთ რიცხვს p 1, p 2, ..., p n.

ეს ასე რომ არ იყოს, მაშინ, გაყოფადობის თვისებების მიხედვით, ნამრავლი p 1 ·p 2 ·…·p n გაიყოფა p n+1-ზე. მაგრამ რიცხვი p ასევე იყოფა p n+1-ზე, ტოლია ჯამის p 1 ·p 2 ·…·p n +1. აქედან გამომდინარეობს, რომ p n+1 უნდა გაიყოს ამ ჯამის მეორე წევრი, რომელიც უდრის ერთს, მაგრამ ეს შეუძლებელია.

ამრიგად, დადასტურდა, რომ ყოველთვის შეიძლება მოიძებნოს ახალი მარტივი რიცხვი, რომელიც არ შედის წინასწარ განსაზღვრულ მარტივ რიცხვებში. აქედან გამომდინარე, უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

ამრიგად, იმის გამო, რომ მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობაა, მარტივი რიცხვების ცხრილების შედგენისას თქვენ ყოველთვის ზღუდავთ თავს ზემოდან რაღაც რიცხვით, ჩვეულებრივ 100, 1000, 10000 და ა.შ.

ერატოსთენეს საცერი

ახლა განვიხილავთ მარტივი რიცხვების ცხრილების შექმნის გზებს. დავუშვათ, ჩვენ უნდა შევქმნათ 100-მდე მარტივი რიცხვების ცხრილი.

ამ პრობლემის გადაჭრის ყველაზე აშკარა მეთოდია დადებითი მთელი რიცხვების თანმიმდევრული შემოწმება, დაწყებული 2-დან და დამთავრებული 100-ით, დადებითი გამყოფის არსებობისთვის, რომელიც 1-ზე მეტია და ნაკლებია ტესტირებულ რიცხვზე (გაყოფადობის თვისებებიდან, რომელიც ჩვენ ვიცით. რომ გამყოფის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატებოდეს დივიდენდის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, არა-ნულოვანი). თუ ასეთი გამყოფი ვერ მოიძებნა, მაშინ შესამოწმებელი რიცხვი არის მარტივი და ის შედის მარტივი რიცხვების ცხრილში. თუ ასეთი გამყოფი მოიძებნება, მაშინ შესამოწმებელი რიცხვი შედგენილია, ის არ არის შეყვანილი მარტივი რიცხვების ცხრილში. ამის შემდეგ ხდება გადასვლა შემდეგ რიცხვზე, რომელიც ანალოგიურად მოწმდება გამყოფის არსებობისთვის.

მოდით აღვწეროთ პირველი რამდენიმე ნაბიჯი.

ვიწყებთ ნომრით 2. რიცხვ 2-ს არ აქვს დადებითი გამყოფები, გარდა 1-ისა და 2-ისა. მაშასადამე, ეს მარტივია, ამიტომ მას შევიყვანთ მარტივი რიცხვების ცხრილში. აქვე უნდა ითქვას, რომ 2 არის უმცირესი მარტივი რიცხვი. გადავიდეთ მე-3 ნომერზე. მისი შესაძლო დადებითი გამყოფი 1-ისა და 3-ის გარდა არის ნომერი 2. მაგრამ 3 არ იყოფა 2-ზე, მაშასადამე, 3 არის მარტივი რიცხვი და ის ასევე უნდა იყოს შეტანილი მარტივი რიცხვების ცხრილში. გადავიდეთ მე-4 ნომერზე. მისი დადებითი გამყოფები, გარდა 1-ისა და 4-ისა, შეიძლება იყოს რიცხვები 2 და 3, მოდით შევამოწმოთ ისინი. რიცხვი 4 იყოფა 2-ზე, მაშასადამე, 4 არის შედგენილი რიცხვი და არ არის საჭირო მარტივი რიცხვების ცხრილში შეტანა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ 4 არის ყველაზე პატარა შედგენილი რიცხვი. გადავიდეთ მე-5 ნომერზე. ვამოწმებთ, არის თუ არა 2, 3, 4 რიცხვებიდან ერთი მაინც მისი გამყოფი. ვინაიდან 5 არ იყოფა 2-ზე, 3-ზე ან 4-ზე, მაშინ ის მარტივია და უნდა ჩაიწეროს მარტივი რიცხვების ცხრილში. შემდეგ ხდება 6, 7 და ასე შემდეგ რიცხვებზე გადასვლა 100-მდე.

მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენის ეს მიდგომა იდეალურისგან შორს არის. ასეა თუ ისე, მას აქვს არსებობის უფლება. გაითვალისწინეთ, რომ მთელი რიცხვების ცხრილის აგების ამ მეთოდით შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაყოფის კრიტერიუმები, რაც ოდნავ დააჩქარებს გამყოფების პოვნის პროცესს.

არსებობს უფრო მოსახერხებელი გზა მარტივი რიცხვების ცხრილის შესაქმნელად, ე.წ. სახელში არსებული სიტყვა „საცერი“ შემთხვევითი არ არის, რადგან ამ მეთოდის მოქმედებები, თითქოსდა, ეხმარება მთელი რიცხვების და დიდი ერთეულების „გაცრას“ ერატოსთენეს საცერში, რათა მარტივი გამოვყოთ კომპოზიციურიდან.

50-მდე მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენისას ვაჩვენოთ ერატოსთენეს საცერი მოქმედებაში.

პირველ რიგში, თანმიმდევრობით ჩაწერეთ რიცხვები 2, 3, 4, ..., 50.

პირველი დაწერილი რიცხვი 2 არის მარტივი. ახლა, მე-2 ნომრიდან, თანმიმდევრულად გადავდივართ მარჯვნივ ორი ​​რიცხვით და ვკვეთთ ამ რიცხვებს, სანამ არ მივაღწევთ შედგენილი რიცხვების ცხრილის ბოლოს. ეს გადაკვეთს ყველა რიცხვს, რომელიც არის ორის ჯერადი.

პირველი რიცხვი 2-ის შემდეგ, რომელიც არ არის გადახაზული, არის 3. ეს რიცხვი პირველია. ახლა, მე-3 ნომრიდან, თანმიმდევრულად გადავდივართ მარჯვნივ სამი ნომრით (უკვე გადახაზული რიცხვების გათვალისწინებით) და გადავხაზავთ მათ. ეს გადაკვეთს ყველა რიცხვს, რომელიც არის სამის ჯერადი.

პირველი რიცხვი 3-ის შემდეგ, რომელიც არ არის გადახაზული, არის 5. ეს რიცხვი პირველია. ახლა მე-5 ნომრიდან თანმიმდევრულად გადავდივართ მარჯვნივ 5 ნომრით (აგრეთვე ვითვალისწინებთ ადრე გადახაზულ ციფრებს) და გადავხაზავთ მათ. ეს გადაკვეთს ყველა რიცხვს, რომლებიც ხუთის ჯერადია.

შემდეგი, ჩვენ გადავხაზავთ რიცხვებს, რომლებიც 7-ის ჯერადია, შემდეგ 11-ის ჯერადი და ა.შ. პროცესი მთავრდება, როდესაც გადაკვეთის მეტი რიცხვი არ არის. ქვემოთ მოცემულია 50-მდე მარტივი რიცხვების შევსებული ცხრილი, რომელიც მიღებულია ერატოსთენეს საცრის გამოყენებით. ყველა გადაჯვარედინებული რიცხვი მარტივია, ხოლო ყველა გადახაზული რიცხვი შედგენილია.

ასევე ჩამოვაყალიბოთ და დავამტკიცოთ თეორემა, რომელიც დააჩქარებს მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენის პროცესს ერატოსთენეს საცრის გამოყენებით.

თეორემა.

ერთისგან განსხვავებული შედგენილი რიცხვის a უმცირესი დადებითი გამყოფი არ აღემატება სად არის a-დან.

მტკიცებულება.

b ასოთი ავღნიშნოთ შედგენილი რიცხვის a უმცირესი გამყოფი, რომელიც განსხვავდება ერთისაგან (რიცხვი b არის მარტივი, როგორც წინა აბზაცის თავიდანვე დადასტურებული თეორემადან ჩანს). შემდეგ არის მთელი რიცხვი q ისეთი, რომ a=b·q (აქ q არის დადებითი რიცხვი, რომელიც გამომდინარეობს მთელი რიცხვების გამრავლების წესებიდან) და (b>q-სთვის დარღვეულია პირობა, რომ b არის a-ს უმცირესი გამყოფი. , ვინაიდან q ასევე არის a რიცხვის გამყოფი a=q·b ტოლობის გამო). უტოლობის ორივე მხარის დადებითზე და ერთზე დიდზე გამრავლებით (ჩვენ ამის უფლება გვაქვს), ვიღებთ , საიდანაც და .

რას გვაძლევს დადასტურებული თეორემა ერატოსთენეს საცერთან დაკავშირებით?

უპირველეს ყოვლისა, შედგენილი რიცხვების გადაკვეთა, რომლებიც არის b მარტივი რიცხვის ჯერადი რიცხვი, უნდა დაიწყოს ტოლი რიცხვით (ეს გამომდინარეობს უტოლობიდან). მაგალითად, რიცხვების გადაკვეთა, რომლებიც ორის ჯერადია, უნდა დაიწყოს 4-ით, სამის ჯერადი 9-ით, ხუთის ჯერადი 25-ით და ა.შ.

მეორეც, მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენა n რიცხვამდე ერატოსთენეს საცრის გამოყენებით შეიძლება ჩაითვალოს დასრულებულად, როდესაც ყველა შედგენილი რიცხვი, რომელიც არის მარტივი რიცხვების ჯერადი რიცხვები, რომლებიც არ აღემატება . ჩვენს მაგალითში n=50 (რადგან ჩვენ ვაკეთებთ 50-მდე მარტივი რიცხვების ცხრილს) და, შესაბამისად, ერატოსთენეს საცერმა უნდა აღმოფხვრას ყველა შედგენილი რიცხვი, რომელიც არის 2, 3, 5 და 7 მარტივი რიცხვების ჯერადი. არ აღემატებოდეს არითმეტიკული კვადრატული ფესვი 50-ს. ანუ, ჩვენ აღარ გვჭირდება 11, 13, 17, 19, 23 და ა.შ. 47-მდე მარტივი რიცხვების ჯერადი რიცხვების ძიება და გადაკვეთა, რადგან ისინი უკვე გადაიწერება როგორც 2-ის პატარა მარტივი რიცხვების ჯერადი. , 3, 5 და 7 .

ეს რიცხვი მარტივია თუ შედგენილი?

ზოგიერთი ამოცანა მოითხოვს იმის გარკვევას, არის თუ არა მოცემული რიცხვი მარტივი თუ შედგენილი. ზოგადად, ეს ამოცანა შორს არის მარტივისგან, განსაკუთრებით იმ რიცხვებისთვის, რომელთა ნაწერი შედგება სიმბოლოების მნიშვნელოვანი რაოდენობისგან. უმეტეს შემთხვევაში, თქვენ უნდა მოძებნოთ რაიმე კონკრეტული გზა მის გადასაჭრელად. თუმცა შევეცდებით მარტივი შემთხვევებისთვის მივცეთ მიმართულება აზროვნების მატარებელს.

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ სცადოთ გაყოფის ტესტების გამოყენება იმის დასამტკიცებლად, რომ მოცემული რიცხვი შედგენილია. თუ, მაგალითად, გაყოფის რაიმე ტესტი აჩვენებს, რომ მოცემული რიცხვი იყოფა ერთზე დიდ პოზიტიურ რიცხვზე, მაშინ თავდაპირველი რიცხვი შედგენილია.

მაგალითი.

დაამტკიცეთ, რომ 898,989,898,989,898,989 არის შედგენილი რიცხვი.

გამოსავალი.

ამ რიცხვის ციფრების ჯამია 9·8+9·9=9·17. ვინაიდან 9·17-ის ტოლი რიცხვი იყოფა 9-ზე, მაშინ 9-ზე გაყოფის კრიტერიუმით შეიძლება ითქვას, რომ საწყისი რიცხვი ასევე იყოფა 9-ზე. აქედან გამომდინარე, ის არის კომპოზიციური.

ამ მიდგომის მნიშვნელოვანი ნაკლი არის ის, რომ გაყოფის კრიტერიუმები არ იძლევა საშუალებას დაამტკიცოს რიცხვის პირველობა. ამიტომ, როდესაც ამოწმებთ რიცხვს, რათა ნახოთ, არის თუ არა ის მარტივი თუ შედგენილი, თქვენ უნდა გააგრძელოთ სხვაგვარად.

ყველაზე ლოგიკური მიდგომა არის მოცემული რიცხვის ყველა შესაძლო გამყოფის მოსინჯვა. თუ არცერთი შესაძლო გამყოფი არ არის მოცემული რიცხვის ჭეშმარიტი გამყოფი, მაშინ ეს რიცხვი იქნება მარტივი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის იქნება კომპოზიტური. წინა აბზაცში დადასტურებული თეორემებიდან გამომდინარეობს, რომ მოცემული a რიცხვის გამყოფები უნდა ვეძებოთ უბრალო რიცხვებს შორის, რომლებიც არ აღემატება . ამგვარად, მოცემული რიცხვი a შეიძლება თანმიმდევრულად დაიყოს მარტივ რიცხვებზე (რომლებიც მოხერხებულად არის აღებული მარტივი რიცხვების ცხრილიდან), ვცდილობთ ვიპოვოთ a რიცხვის გამყოფი. თუ გამყოფი ნაპოვნია, მაშინ რიცხვი a არის შედგენილი. თუ უბრალო რიცხვებს შორის, რომლებიც არ აღემატება , არ არის a რიცხვის გამყოფი, მაშინ რიცხვი a არის მარტივი.

მაგალითი.

ნომერი 11 723 მარტივი თუ რთული?

გამოსავალი.

მოდით გავარკვიოთ რომელ უბრალო რიცხვამდე შეიძლება იყოს რიცხვი 11723-ის გამყოფები. ამისათვის მოდით შევაფასოთ.

საკმაოდ აშკარაა რომ , 200 წლიდან 2 =40 000 და 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью რიცხვების შედარება). ამრიგად, 11723-ის შესაძლო ძირითადი ფაქტორები 200-ზე ნაკლებია. ეს უკვე აადვილებს ჩვენს ამოცანას. ეს რომ არ ვიცოდეთ, მაშინ მოგვიწევდა ყველა მარტივი რიცხვის გავლა არა 200-მდე, არამედ 11723 რიცხვამდე.

თუ სასურველია, შეგიძლიათ უფრო ზუსტად შეაფასოთ. ვინაიდან 108 2 = 11,664 და 109 2 = 11,881, მაშინ 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . ამრიგად, ნებისმიერი მარტივი რიცხვი 109-ზე ნაკლები პოტენციურად არის მოცემული რიცხვის 11723-ის მარტივი კოეფიციენტი.

ახლა ჩვენ თანმიმდევრულად გავყოფთ რიცხვს 11,723 მარტივ რიცხვებად 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . თუ რიცხვი 11723 იყოფა ერთ დაწერილ მარტივ რიცხვზე, მაშინ ის შედგენილი იქნება. თუ ის არ იყოფა არცერთ დაწერილ მარტივ რიცხვზე, მაშინ საწყისი რიცხვი არის მარტივი.

ჩვენ არ აღვწერთ დაყოფის მთელ ამ ერთფეროვან და ერთფეროვან პროცესს. დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ 11,723

პრობლემა 2.30
მოცემულია ერთგანზომილებიანი A მასივი, რომელიც შედგება ბუნებრივი რიცხვებისგან. აჩვენეთ მასივის მარტივი რიცხვების რაოდენობა.

პირველ რიგში, შეგახსენებთ, რა არის მარტივი რიცხვები.

ახლა გადავიდეთ დავალებაზე. არსებითად, ჩვენ გვჭირდება პროგრამა, რომელიც განსაზღვრავს მარტივ რიცხვებს. და ელემენტების დალაგება და მათი მნიშვნელობების შემოწმება ტექნოლოგიის საკითხია. ამავდროულად, ჩვენ შეგვიძლია არა მხოლოდ დათვლა, არამედ მასივის მარტივი რიცხვების ჩვენებაც.

როგორ განვსაზღვროთ მარტივი რიცხვი პასკალში

მე შემოგთავაზებთ გადაწყვეტის ალგორითმს დეტალური ანალიზით პასკალში. გამოსავალი შეგიძლიათ ნახოთ სამაგალითო პროგრამაში C++-ში.

მნიშვნელოვანია!
ეს არის ის, სადაც ბევრი ადამიანი შეიძლება შეცდეს. განმარტება ამბობს, რომ პირველ რიცხვს აქვს გლუვიორი განსხვავებულიგამყოფი მაშასადამე, რიცხვი 1 არ არის მარტივი (ასევე არ არის მარტივი, რადგან ნული შეიძლება გაიყოს ნებისმიერ რიცხვზე).

ჩვენ შევამოწმებთ არის თუ არა რიცხვი მარტივი გამოყენებით , რომელსაც ჩვენ თავად შევქმნით. ეს ფუნქცია დააბრუნებს TRUE-ს, თუ რიცხვი მარტივია.

ფუნქციაში ჯერ შევამოწმებთ არის თუ არა რიცხვი ორზე ნაკლები. თუ ასეა, მაშინ ის აღარ არის მარტივი რიცხვი. თუ რიცხვი არის 2 ან 3, მაშინ ის აშკარად პირველია და დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო.

მაგრამ თუ რიცხვი N სამზე მეტია, მაშინ ამ შემთხვევაში ჩვენ ყველა შესაძლო გამყოფის ციკლს გავატარებთ, დაწყებული 2-დან (N-1-მდე). თუ რიცხვი N იყოფა რომელიმე გამყოფზე ნაშთის გარეშე, მაშინ ის ასევე არ არის მარტივი რიცხვი. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვწყვეტთ ციკლს (რადგან აზრი არ აქვს შემდგომ შემოწმებას) და ფუნქცია აბრუნებს FALSE-ს.

არ აქვს აზრი იმის შემოწმებას, იყო თუ არა რიცხვი თავისთავად (ამიტომ მარყუჟი გრძელდება მხოლოდ N-1-მდე).

თავად ფუნქციას აქ არ წარმოვადგენ - შეხედეთ მას სანიმუშო პროგრამებში.

2.30 ამოცანის ამოხსნა პასკალში mytask; //************************************************ ************* //მუდმივები //**************************** ********* ************************************ COUNT = 100; //ელემენტების რაოდენობა მასივში //**************************************** ********** ********************* // ფუნქციები და პროცედურები //************ ************************************************** ** //******** ************************************* * ******** // ამოწმებს რიცხვი მარტივია თუ არა // INPUT: N - ნომერი // OUTPUT: TRUE - ნომერი N არის მარტივი, FALSE - არა მარტივი //************ ******************************************** **** IsPrimeNumber(N: WORD) : ; var i: ; დაწყება := TRUE;

N 0..3-დან: დაწყება N გასვლა;დასასრული; დასასრული; namespace std-ის გამოყენებით; //************************************************ ************* //მუდმივები //**************************** ********* ************************************ const int COUNT = 100; //ელემენტების რაოდენობა მასივში //**************************************** ********** ********************* // ფუნქციები და პროცედურები //************ ************************************************** ** //******** ************************************* * ******** // ამოწმებს რიცხვი მარტივია თუ არა // INPUT: N - ნომერი // OUTPUT: TRUE - ნომერი N არის მარტივი, FALSE - არა მარტივი //************ ******************************************** **** bool IsPrimeNumber(int N) ( bool Res = ჭეშმარიტი; შეცვლა (N) (შემთხვევა 0: Res = მცდარი; შესვენება; შემთხვევა 1: Res = მცდარი; შესვენება; შემთხვევა 2: Res = მართალია; შესვენება; შემთხვევა 3: Res = ჭეშმარიტი; შესვენება; ნაგულისხმევი: for (int i = 2; i

სტატიაში განხილულია მარტივი და შედგენილი რიცხვების ცნებები. ასეთი რიცხვების განმარტებები მოცემულია მაგალითებით. წარმოგიდგენთ მტკიცებულებას, რომ მარტივი რიცხვების რაოდენობა შეუზღუდავია და მას ჩავწერთ მარტივ რიცხვთა ცხრილში ერატოსთენეს მეთოდით. მოყვანილი იქნება მტკიცებულება იმის დასადგენად, არის თუ არა რიცხვი მარტივი თუ შედგენილი.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მარტივი და შედგენილი რიცხვები - განმარტებები და მაგალითები

მარტივი და კომპოზიტური რიცხვები კლასიფიცირდება როგორც დადებითი მთელი რიცხვები. ისინი უნდა იყოს ერთზე მეტი. გამყოფები ასევე იყოფა მარტივ და კომპოზიტურად. კომპოზიტური რიცხვების ცნების გასაგებად, ჯერ უნდა შეისწავლოთ გამყოფებისა და ჯერადების ცნებები.

განმარტება 1

მარტივი რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და აქვთ ორი დადებითი გამყოფი, ანუ საკუთარი თავი და 1.

განმარტება 2

კომპოზიტური რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და აქვთ მინიმუმ სამი დადებითი გამყოფი.

ერთი არც მარტივი და არც შედგენილი რიცხვია. მას აქვს მხოლოდ ერთი დადებითი გამყოფი, ამიტომ იგი განსხვავდება ყველა სხვა დადებითი რიცხვისგან. ყველა დადებით რიცხვს უწოდებენ ნატურალურ რიცხვს, ანუ გამოიყენება დათვლაში.

განმარტება 3

მარტივი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ორი დადებითი გამყოფი.

განმარტება 4

კომპოზიტური ნომერიარის ნატურალური რიცხვი, რომელსაც აქვს ორზე მეტი დადებითი გამყოფი.

ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც 1-ზე მეტია, არის მარტივი ან შედგენილი. გაყოფის თვისებიდან გვაქვს ის, რომ 1 და რიცხვი a ყოველთვის იქნება გამყოფი ნებისმიერი a რიცხვისთვის, ანუ ის იყოფა თავის თავზე და 1-ზე. მოდით მივცეთ მთელი რიცხვების განმარტება.

განმარტება 5

ბუნებრივ რიცხვებს, რომლებიც არ არიან მარტივი, ეწოდებათ შედგენილი რიცხვები.

მარტივი რიცხვები: 2, 3, 11, 17, 131, 523. ისინი იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1-ზე. კომპოზიტური ნომრები: 6, 63, 121, 6697. ანუ რიცხვი 6 შეიძლება დაიშალოს 2-ად და 3-ად, ხოლო 63-ად 1, 3, 7, 9, 21, 63 და 121 11-ად, 11-ად, ანუ მისი გამყოფები იქნება 1, 11, 121. რიცხვი 6697 დაიშალა 37-ად და 181-ად. გაითვალისწინეთ, რომ მარტივი რიცხვების და თანაპირდაპირი რიცხვების ცნებები განსხვავებული ცნებებია.

მარტივი რიცხვების გამოყენების გასაადვილებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ცხრილი:

ცხრილი ყველა არსებული ნატურალური რიცხვისთვის არარეალურია, რადგან მათი რიცხვი უსასრულოა. როდესაც რიცხვები მიაღწევს ზომებს 10000 ან 1000000000, მაშინ უნდა განიხილოთ ერატოსთენეს საცრის გამოყენება.

განვიხილოთ თეორემა, რომელიც განმარტავს ბოლო დებულებას.

თეორემა 1

ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვის 1-ის გარდა უმცირესი დადებითი გამყოფი არის მარტივი რიცხვი.

მტკიცებულება 1

დავუშვათ, რომ a არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც მეტია 1-ზე, b არის a-ს უმცირესი არაერთი გამყოფი. აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ b არის მარტივი რიცხვი წინააღმდეგობის მეთოდის გამოყენებით.

დავუშვათ, რომ b არის შედგენილი რიცხვი. აქედან გვაქვს, რომ არის b-ის გამყოფი, რომელიც განსხვავდება 1-ისგან და ასევე b-ისგან. ასეთი გამყოფი აღინიშნება როგორც b 1. აუცილებელია 1 პირობა< b 1 < b დასრულდა.

პირობიდან ირკვევა, რომ a იყოფა b-ზე, b იყოფა b 1-ზე, რაც ნიშნავს, რომ გაყოფის ცნება გამოიხატება შემდეგნაირად: a = b qდა b = b 1 · q 1 , საიდანაც a = b 1 · (q 1 · q) , სადაც q და q 1არის მთელი რიცხვები. მთელი რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით გვაქვს, რომ მთელი რიცხვების ნამრავლი არის a = b 1 · (q 1 · q) ფორმის ტოლობის მთელი რიცხვი. ჩანს, რომ b 1 არის a რიცხვის გამყოფი. უტოლობა 1< b 1 < b არაშეესაბამება, რადგან ვხვდებით, რომ b არის a-ს უმცირესი დადებითი და არა-1 გამყოფი.

თეორემა 2

არის უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები.

მტკიცებულება 2

სავარაუდოდ ვიღებთ n ნატურალური რიცხვების სასრულ რაოდენობას და აღვნიშნავთ მათ p 1, p 2, …, p n. მოდი განვიხილოთ მითითებულისგან განსხვავებული მარტივი რიცხვის პოვნის ვარიანტი.

გავითვალისწინოთ რიცხვი p, რომელიც უდრის p 1, p 2, ..., p n + 1. ის არ არის ტოლი p 1, p 2, ..., p n ფორმის უბრალო რიცხვების შესაბამისი თითოეული რიცხვის. რიცხვი p არის მარტივი. მაშინ თეორემა დადასტურებულად ითვლება. თუ ის კომპოზიტურია, მაშინ უნდა აიღოთ აღნიშვნა p n + 1 და აჩვენეთ, რომ გამყოფი არ ემთხვევა არცერთს p 1, p 2, ..., p n.

თუ ეს ასე არ იყო, მაშინ ნამრავლის გაყოფის თვისებაზე დაყრდნობით p 1, p 2, ..., p n , ჩვენ ვხვდებით, რომ ის იყოფა pn + 1-ზე. გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება p n + 1 რიცხვის p გაყოფა უდრის ჯამს p 1, p 2, ..., p n + 1. ჩვენ ვიღებთ, რომ გამოხატულება p n + 1 ამ ჯამის მეორე წევრი, რომელიც უდრის 1-ს, უნდა გაიყოს, მაგრამ ეს შეუძლებელია.

ჩანს, რომ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი შეიძლება მოიძებნოს მოცემულ მარტივ რიცხვებს შორის. აქედან გამომდინარეობს, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

ვინაიდან უამრავი მარტივი რიცხვია, ცხრილები შემოიფარგლება რიცხვებით 100, 1000, 10000 და ა.შ.

მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენისას უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ასეთი დავალება მოითხოვს რიცხვების თანმიმდევრულ შემოწმებას, დაწყებული 2-დან 100-მდე. თუ არ არის გამყოფი, ის ჩაიწერება ცხრილში, თუ ის კომპოზიტურია, მაშინ ის არ შეიტანება ცხრილში.

მოდით შევხედოთ მას ეტაპობრივად.

თუ დაიწყებთ 2 რიცხვით, მაშინ მას აქვს მხოლოდ 2 გამყოფი: 2 და 1, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება შევიდეს ცხრილში. იგივე ნომერი 3. რიცხვი 4 არის შედგენილი, ის უნდა დაიშალოს 2 და 2-ად. რიცხვი 5 არის მარტივი, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება ჩაიწეროს ცხრილში. გააკეთეთ ეს 100 რიცხვამდე.

ეს მეთოდი არასასიამოვნო და შრომატევადია. შესაძლებელია მაგიდის შექმნა, მაგრამ დიდი დროის დახარჯვა მოგიწევთ. აუცილებელია გაყოფის კრიტერიუმების გამოყენება, რაც დააჩქარებს გამყოფების პოვნის პროცესს.

ყველაზე მოსახერხებლად ითვლება ერატოსთენეს საცრის გამოყენებით მეთოდი. მოდით შევხედოთ ქვემოთ მოცემულ ცხრილების მაგალითებს. დასაწყისისთვის, იწერება რიცხვები 2, 3, 4, ..., 50.

ახლა თქვენ უნდა გადაკვეთოთ ყველა ის რიცხვი, რომელიც 2-ის ჯერადია. შეასრულეთ თანმიმდევრული დარტყმები. ჩვენ ვიღებთ მაგიდას, როგორიცაა:

ჩვენ გადავდივართ 5-ის ჯერადი რიცხვების გადაკვეთაზე. ჩვენ ვიღებთ:

გადახაზეთ რიცხვები, რომლებიც მრავლდება 7-ის, 11-ის. საბოლოო ჯამში, მაგიდა ასე გამოიყურება

გადავიდეთ თეორემის ფორმულირებაზე.

თეორემა 3

a საბაზისო რიცხვის უმცირესი დადებითი და არა1 გამყოფი არ აღემატება a-ს, სადაც a არის მოცემული რიცხვის არითმეტიკული ფესვი.

მტკიცებულება 3

აუცილებელია b აღვნიშნოთ a შედგენილი რიცხვის უმცირესი გამყოფი. არის მთელი რიცხვი q, სადაც a = b · q, და გვაქვს, რომ b ≤ q. ფორმის უტოლობები მიუღებელია b > q,რადგან პირობა დარღვეულია. b ≤ q უტოლობის ორივე მხარე უნდა გავამრავლოთ ნებისმიერ დადებით რიცხვზე b, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. მივიღებთ, რომ b · b ≤ b · q, სადაც b 2 ≤ a და b ≤ a.

დადასტურებული თეორემიდან ირკვევა, რომ ცხრილში რიცხვების გადაკვეთა მივყავართ იმ ფაქტს, რომ აუცილებელია დაიწყოს რიცხვი, რომელიც უდრის b 2-ს და აკმაყოფილებს b 2 ≤ a უტოლობას. ანუ თუ გადახაზავთ რიცხვებს, რომლებიც 2-ის ჯერადებია, მაშინ პროცესი იწყება 4-ით, ხოლო 3-ის ჯერადი 9-ით და ასე გაგრძელდება 100-მდე.

ერატოსთენეს თეორემის გამოყენებით ასეთი ცხრილის შედგენა ვარაუდობს, რომ როდესაც ყველა შედგენილი რიცხვი გადახაზულია, დარჩება მარტივი რიცხვები, რომლებიც არ აღემატება n-ს. მაგალითში, სადაც n = 50, გვაქვს n = 50. აქედან მივიღებთ, რომ ერატოსთენეს საცერი ამოიღებს ყველა შედგენილ რიცხვს, რომელთა ღირებულება არ აღემატება 50-ის ფესვის მნიშვნელობას. ნომრების ძებნა ხდება გადაკვეთით.

ამოხსნამდე უნდა გაარკვიოთ რიცხვი მარტივია თუ შედგენილი. ხშირად გამოიყენება გაყოფის კრიტერიუმები. მოდით შევხედოთ ამას ქვემოთ მოცემულ მაგალითში.

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ რიცხვი 898989898989898989 არის შედგენილი.

გამოსავალი

მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამია 9 8 + 9 9 = 9 17. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 9 · 17 იყოფა 9-ზე, გაყოფის ტესტის საფუძველზე 9-ზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ ის კომპოზიტურია.

ასეთი ნიშნები არ ძალუძს დაამტკიცოს რიცხვის პირველობა. თუ გადამოწმება საჭიროა, სხვა ქმედებები უნდა იქნას მიღებული. ყველაზე შესაფერისი გზაა რიცხვების ჩამოთვლა. პროცესის დროს შეგიძლიათ იპოვოთ მარტივი და შედგენილი რიცხვები. ანუ რიცხვები არ უნდა აღემატებოდეს a-ს მნიშვნელობას. ანუ რიცხვი a უნდა გამრავლდეს პირველ ფაქტორებად. თუ ეს დაკმაყოფილებულია, მაშინ რიცხვი a შეიძლება ჩაითვალოს უბრალო.

მაგალითი 2

განსაზღვრეთ კომპოზიტური ან მარტივი რიცხვი 11723.

გამოსავალი

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ ყველა გამყოფი ნომრისთვის 11723. საჭიროა 11723 შეფასება.

აქედან ვხედავთ, რომ 11723 წ< 200 , то 200 2 = 40 000 და 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

11723 რიცხვის უფრო ზუსტი შეფასებისთვის, თქვენ უნდა დაწეროთ გამოხატულება 108 2 = 11 664 და 109 2 = 11 881 , ეს 108 2 < 11 723 < 109 2 . აქედან გამომდინარეობს, რომ 11723 წ< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

გაფართოებისას აღმოვაჩენთ, რომ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 ყველა მარტივი რიცხვია. მთელი ეს პროცესი შეიძლება გამოსახული იყოს სვეტით დაყოფად. ანუ გაყავით 11723 19-ზე. რიცხვი 19 მისი ერთ-ერთი ფაქტორია, რადგან ვიღებთ გაყოფას ნაშთის გარეშე. წარმოვიდგინოთ გაყოფა სვეტის სახით:

აქედან გამომდინარეობს, რომ 11723 არის შედგენილი რიცხვი, რადგან თავის და 1-ის გარდა მას აქვს 19-ის გამყოფი.

პასუხი: 11723 არის კომპოზიტური რიცხვი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ილიას პასუხი სწორია, მაგრამ არც ისე დეტალური. მე-18 საუკუნეში, სხვათა შორის, ერთი ჯერ კიდევ პირველ რიცხვად ითვლებოდა. მაგალითად, ისეთი დიდი მათემატიკოსები, როგორებიც არიან ეილერი და გოლდბახი. გოლდბახი არის ათასწლეულის შვიდი პრობლემისგან ერთ-ერთის – გოლდბახის ჰიპოთეზის ავტორი. თავდაპირველ ფორმულირებაში ნათქვამია, რომ ყოველი ლუწი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მარტივი რიცხვის ჯამად. უფრო მეტიც, თავდაპირველად 1 იყო გათვალისწინებული, როგორც მარტივი რიცხვი და ჩვენ ვხედავთ ამას: 2 = 1+1. ეს არის ყველაზე პატარა მაგალითი, რომელიც აკმაყოფილებს ჰიპოთეზის თავდაპირველ ფორმულირებას. მოგვიანებით იგი გამოსწორდა და ფორმულირებამ შეიძინა თანამედროვე ფორმა: „ყოველი ლუწი რიცხვი, დაწყებული 4-ით, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი მარტივი რიცხვის ჯამი“.

გავიხსენოთ განმარტება. მარტივი რიცხვი არის ბუნებრივი რიცხვი p, რომელსაც აქვს მხოლოდ 2 განსხვავებული ბუნებრივი გამყოფი: თავად p და 1. დასკვნა განმარტებიდან: მარტივ რიცხვს p აქვს მხოლოდ ერთი მარტივი გამყოფი - თავად p.

ახლა დავუშვათ, რომ 1 არის მარტივი რიცხვი. განმარტებით, მარტივ რიცხვს აქვს მხოლოდ ერთი მარტივი გამყოფი - თავად. შემდეგ გამოდის, რომ 1-ზე მეტი ნებისმიერი მარტივი რიცხვი იყოფა მისგან განსხვავებულ მარტივ რიცხვზე (1-ზე). მაგრამ ორი განსხვავებული მარტივი რიცხვი არ შეიძლება დაიყოს ერთმანეთზე, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი არ არიან მარტივი რიცხვები, არამედ შედგენილი რიცხვები და ეს ეწინააღმდეგება განმარტებას. ამ მიდგომით, გამოდის, რომ არსებობს მხოლოდ 1 მარტივი რიცხვი - თავად ერთეული. მაგრამ ეს აბსურდია. ამიტომ, 1 არ არის მარტივი რიცხვი.

1, ისევე როგორც 0, ქმნიან რიცხვთა სხვა კლასს - ნეიტრალური ელემენტების კლასს n-არის მოქმედებებთან მიმართებაში ალგებრული ველის ზოგიერთ ქვეჯგუფში. უფრო მეტიც, შეკრების მოქმედებასთან დაკავშირებით, 1 ასევე არის მთელი რიცხვების რგოლის წარმომქმნელი ელემენტი.

ამ გათვალისწინებით, სხვა ალგებრულ სტრუქტურებში მარტივი რიცხვების ანალოგების აღმოჩენა არ არის რთული. დავუშვათ, გვაქვს 2-ის ხარისხებიდან ჩამოყალიბებული მრავლობითი ჯგუფი, დაწყებული 1-დან: 2, 4, 8, 16, ... და ა.შ. 2 აქ ფორმირების ელემენტად მოქმედებს. მარტივი რიცხვი ამ ჯგუფში არის რიცხვი, რომელიც აღემატება უმცირეს ელემენტს და იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და უმცირეს ელემენტზე. ჩვენს ჯგუფში მხოლოდ 4-ს აქვს ასეთი თვისებები. ჩვენს ჯგუფში აღარ არის მარტივი რიცხვები.

თუ 2 ასევე მარტივი რიცხვი იყო ჩვენს ჯგუფში, მაშინ იხილეთ პირველი აბზაცი - ისევ აღმოჩნდება, რომ მხოლოდ 2 არის მარტივი რიცხვი.

გამყოფთა ჩამოთვლა.განმარტებით, ნომერი ნმარტივია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის თანაბრად არ იყოფა 2-ზე და სხვა მთელ რიცხვებზე, გარდა 1-ისა და თავისა. ზემოაღნიშნული ფორმულა შლის ზედმეტ ნაბიჯებს და დაზოგავს დროს: მაგალითად, იმის შემოწმების შემდეგ, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე, არ არის საჭირო იმის შემოწმება, იყო თუ არა იგი 9-ზე.

• სართული(x) ფუნქცია ამრგვალებს x-ს უახლოეს მთელ რიცხვამდე, რომელიც არის x-ზე ნაკლები ან ტოლი.

შეიტყვეთ მოდულარული არითმეტიკის შესახებ.ოპერაცია „x mod y“ (mod არის ლათინური სიტყვის „modulo“ შემოკლება, ანუ „module“) ნიშნავს „გაყავი x y-ზე და იპოვე დარჩენილი“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდულურ არითმეტიკაში, გარკვეული მნიშვნელობის მიღწევისას, რომელსაც ე.წ მოდული, რიცხვები ისევ ნულზე "ბრუნდებიან". მაგალითად, საათი ინახავს დროს 12 მოდულით: ის აჩვენებს 10, 11 და 12 საათს და შემდეგ უბრუნდება 1-ს.

• ბევრ კალკულატორს აქვს mod გასაღები. ამ განყოფილების ბოლოს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა შეაფასოთ ეს ფუნქცია ხელით დიდი რაოდენობით.