პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდებისა და კუთხეების თვისებები. პარალელოგრამი. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია
განმარტება
პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია წყვილებში.
თეორემა (პარალელოგრამის პირველი ნიშანი)
თუ ოთხკუთხედის ორი გვერდი ტოლია და პარალელურია, მაშინ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
მტკიცებულება
მოდით, გვერდები \(AB\) და \(CD\) იყოს პარალელურად ოთხკუთხედში \(ABCD\) და \(AB = CD\) .
მოდით დავხატოთ დიაგონალი \(AC\), რომელიც ყოფს ამ ოთხკუთხედს ორ ტოლ სამკუთხედად: \(ABC\) და \(CDA\) . ეს სამკუთხედები ტოლია ორ მხარეს და მათ შორის კუთხე (\(AC\) არის საერთო გვერდი, \(AB = CD\) პირობით, \(\კუთხე 1 = \კუთხე 2\) როგორც ჯვარედინი კუთხეები კვეთაზე. პარალელური წრფეების \ (AB\) და \(CD\) სეკანტური \(AC\) ), ასე რომ \(\კუთხე 3 = \კუთხე 4\) . მაგრამ კუთხეები \(3\) და \(4\) ჯვარედინზე დევს \(AD\) და \(BC\) წრფეების გადაკვეთაზე \(AC\) სეკანტით, შესაბამისად, \(AD\პარალელური BC. \) . ამრიგად, ოთხკუთხედში \(ABCD\) მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია და, შესაბამისად, ოთხკუთხედი \(ABCD\) არის პარალელოგრამი.
თეორემა (პარალელოგრამის მეორე ნიშანი)
თუ ოთხკუთხედში მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში ტოლია, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
მტკიცებულება
მოდით დავხატოთ \(AC\) ამ ოთხკუთხედის დიაგონალი \(ABCD\) და დავყოთ სამკუთხედებად \(ABC\) და \(CDA\) .
ეს სამკუთხედები ტოლია სამ მხარეს (\(AC\) - საერთო, \(AB = CD\) და \(BC = DA\) პირობით), ამიტომ \(\კუთხე 1 = \კუთხე 2\) - დევს ჯვარედინი \(AB\)-ზე და \(CD\)-ზე და სეკანტზე \(AC\) . აქედან გამომდინარეობს, რომ \(AB\პარალელური CD\) . ვინაიდან \(AB = CD\) და \(AB\პარალელური CD\) , მაშინ პარალელოგრამის პირველი კრიტერიუმის მიხედვით, ოთხკუთხედი \(ABCD\) არის პარალელოგრამი.
თეორემა (პარალელოგრამის მესამე ნიშანი)
თუ ოთხკუთხედის დიაგონალები იკვეთება და შუაზე იყოფა გადაკვეთის წერტილით, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
მტკიცებულება
განვიხილოთ ოთხკუთხედი \(ABCD\), რომელშიც \(AC\) და \(BD\) დიაგონალები იკვეთება \(O\) წერტილში და იკვეთება ამ წერტილით.
სამკუთხედები \(AOB\) და \(COD\) ტოლია სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნის მიხედვით (\(AO = OC\), \(BO = OD\) პირობით, \(\კუთხე AOB = \კუთხე COD\) როგორც ვერტიკალური კუთხეები), ისე \(AB = CD\) და \(\კუთხე 1 = \კუთხე 2\) . \(1\) და \(2\) კუთხების ტოლობიდან (გადაჯვარედინებული \(AB\) და \(CD\) და \(AC\) სკანტიდან) გამოდის, რომ \(AB\პარალელური CD \) .
ამრიგად, ოთხკუთხედში \(ABCD\) გვერდები \(AB\) და \(CD\) ტოლია და პარალელურია, რაც ნიშნავს, რომ პარალელოგრამის პირველი კრიტერიუმის მიხედვით, ოთხკუთხედი \(ABCD\) არის პარალელოგრამი. .
პარალელოგრამის თვისებები:
1. პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია და მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია.
2. პარალელოგრამის დიაგონალები იყოფა შუაზე გადაკვეთის წერტილით.
პარალელოგრამის ბისექტრის თვისებები:
1. პარალელოგრამის ბისექტრი წყვეტს მისგან ტოლფერდა სამკუთხედს.
2. პარალელოგრამის მიმდებარე კუთხეების ბისექტრები იკვეთება მართი კუთხით.
3. მოპირდაპირე კუთხეების ბისექტრული სეგმენტები ტოლია და პარალელური.
მტკიცებულება
1) \(ABCD\) იყოს პარალელოგრამი, \(AE\) იყოს კუთხის ბისექტრი \(BAD\) .
კუთხეები \(1\) და \(2\) ტოლია, განლაგებულია ჯვარედინი პარალელური ხაზებით \(AD\) და \(BC\) და სეკანტი \(AE\). კუთხეები \(1\) და \(3\) ტოლია, რადგან \(AE\) არის ბისექტორი. საბოლოოდ \(\კუთხე 3 = \კუთხე 1 = \კუთხე 2\), რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედი \(ABE\) არის ტოლფერდა.
2) \(ABCD\) იყოს პარალელოგრამი, \(AN\) და \(BM\) იყოს შესაბამისად \(BAD\) და \(ABC\) კუთხეების ბისექტრები.
ვინაიდან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი პარალელური წრფეებისთვის და განივი ტოლია \(180^(\circ)\), მაშინ \(\კუთხე DAB + \კუთხე ABC = 180^(\circ)\).
ვინაიდან \(AN\) და \(BM\) ბისექტრებია, მაშინ \(\კუთხის BAN + \კუთხე ABM = 0.5(\კუთხე DAB + \კუთხე ABC) = 0.5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), სად \(\კუთხე AOB = 180^\circ - (\კუთხის BAN + \კუთხე ABM) = 90^\circ\).
3. \(AN\) და \(CM\) იყოს პარალელოგრამის კუთხეების ბისექტრები \(ABCD\) .
ვინაიდან პარალელოგრამში მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია, მაშინ \(\კუთხე 2 = 0,5\cdot\კუთხე BAD = 0,5\cdot\კუთხე BCD = \კუთხე 1\). გარდა ამისა, კუთხეები \(1\) და \(3\) ტოლია, დევს ჯვარედინი პარალელური ხაზებით \(AD\) და \(BC\) და სეკანტი \(CM\), შემდეგ \(\კუთხე 2. = \კუთხე 3\) , რაც გულისხმობს, რომ \(AN\პარალელური CM\) . უფრო მეტიც, \(AM\პარალელური CN\) , მაშინ \(ANCM\) არის პარალელოგრამი, აქედან გამომდინარე, \(AN = CM\) .
ამ განყოფილებაში ჩვენ ვუყურებთ გეომეტრიულ ობიექტს პარალელოგრამს. პარალელოგრამის ყველა ელემენტი მემკვიდრეობით მიიღება ოთხკუთხედიდან, ამიტომ მათ არ განვიხილავთ. მაგრამ თვისებები და მახასიათებლები იმსახურებს დეტალურ განხილვას. ჩვენ გადავხედავთ:
- რით განსხვავდება ნიშანი საკუთრებისგან?
- განვიხილოთ ძირითადი თვისებები და მახასიათებლები, რომლებიც შესწავლილია მე-8 კლასის პროგრამაში;
- მოდით ჩამოვაყალიბოთ ორი დამატებითი თვისება, რომელსაც ვიღებთ დამხმარე პრობლემების გადაჭრისას.
2.1 პარალელოგრამის განმარტება
გეომეტრიაში ცნებების სწორად განსაზღვრისთვის, საჭიროა არა მხოლოდ დაიმახსოვროთ ისინი, არამედ გაიგოთ, თუ როგორ იქმნება ისინი. ამ საკითხში კარგად გვეხმარება ზოგადი ცნებების სქემები. ვნახოთ რა არის.
ჩვენი სასწავლო მოდულიეწოდება "ოთხკუთხედები" და ოთხკუთხედი არის ამ კურსის მთავარი კონცეფცია. ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ ოთხკუთხედის შემდეგი განმარტება:
ოთხკუთხედი-ეს მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ოთხი გვერდი და ოთხი წვერო.
ამ განმარტებაში, ზოგადი კონცეფცია იქნება პოლიგონი. ახლა განვსაზღვროთ მრავალკუთხედი:
მრავალკუთხედიუბრალო დახურულს უწოდებენ გატეხილი ხაზითვითმფრინავის იმ ნაწილთან ერთად, რომელსაც ის ესაზღვრება.
ნათელია, რომ ზოგადი კონცეფცია აქ არის გატეხილი ხაზის კონცეფცია. თუ უფრო შორს წავალთ, მივალთ სეგმენტის ცნებამდე, შემდეგ კი წერტილისა და სწორი ხაზის საბოლოო ცნებებამდე. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ ჩვენი დიაგრამა ქვემოთ:
თუ მოვითხოვთ, რომ ოთხკუთხედის ორი გვერდი იყოს პარალელური და ორი არა, მაშინ მივიღებთ ფიგურას, რომელსაც ტრაპეცია ეწოდება.
ტრაპეცია – ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია და დანარჩენი ორი პარალელური არ არის.
ხოლო იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა მოპირდაპირე მხარე პარალელურია, საქმე გვაქვს პარალელოგრამასთან.
პარალელოგრამი – ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია.
2.2 პარალელოგრამის თვისებები
საკუთრება 1.პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია და მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია.
დავამტკიცოთ ეს ქონება.
მოცემული: ABCD არის პარალელოგრამი.
დაამტკიცე:$\კუთხე A = \კუთხე C, \კუთხე B = \კუთხე D, AB = CD, AD = BC.$
მტკიცებულება:
ნებისმიერი გეომეტრიული ობიექტის თვისებების დამტკიცებისას ყოველთვის გვახსოვს მისი განმარტება. Ისე, პარალელოგრამი- ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია. საკვანძო წერტილიაქ ჩნდება მხარეთა პარალელიზმი.
მოდით ავაშენოთ სეკანტი ოთხივე სტრიქონზე. ეს სეკანტი იქნება დიაგონალი BD.
ცხადია, უნდა გავითვალისწინოთ განივი და პარალელური ხაზებით წარმოქმნილი კუთხეები. ვინაიდან ხაზები პარალელურია, მათზე განლაგებული კუთხეები ტოლია.
ახლა თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ორი ტოლი სამკუთხედი მეორე ნიშნის მიხედვით.
სამკუთხედების ტოლობა პირდაპირ გულისხმობს პარალელოგრამის პირველ თვისებას.
საკუთრება 2.პარალელოგრამის დიაგონალები იყოფა შუაზე გადაკვეთის წერტილით.
მოცემული: Ა Ბ Გ Დ- პარალელოგრამი.
დაამტკიცე:$AO = OC, BO = OD.$
მტკიცებულება:
დამტკიცების ლოგიკა აქ იგივეა, რაც წინა თვისებაში: გვერდების პარალელიზმი და სამკუთხედების ტოლობა. მტკიცებულების პირველი ნაბიჯი იგივეა, რაც პირველი ქონებისთვის.
მეორე ნაბიჯი არის სამკუთხედების ტოლობის დამტკიცება მეორე კრიტერიუმით. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თანასწორობა $BC=AD$ შეიძლება მიღებულ იქნას მტკიცებულების გარეშე (გამოყენებით საკუთრება 1).
ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ $AO = OC, BO = OD.$
2.3 საყრდენი ამოცანა No4 (პარალელოგრამის სიმაღლეებს შორის კუთხის თვისება)
მოცემული: Ა Ბ Გ Დ - პარალელოგრამი, ბ.კ. და ბ.მ. - მისი სიმაღლე, $\კუთხე KBM = 60^0$.
იპოვე:$\კუთხე ABK$, $\კუთხე A$
გამოსავალი:ამ პრობლემის მოგვარების დაწყებისას უნდა გახსოვდეთ შემდეგი:
პარალელოგრამში სიმაღლე ორივე მოპირდაპირე მხარის პერპენდიკულარულია
მაგალითად, თუ სეგმენტი $BM$ დახატულია $DC$ მხარეს და არის მისი სიმაღლე ($BM \perp DC$), მაშინ იგივე სეგმენტი იქნება სიმაღლე მოპირდაპირე მხარეს ($BM \perp BA$). ეს გამომდინარეობს $AB \პარალელური DC$ გვერდების პარალელიზმიდან.
ამ პრობლემის გადაჭრისას ღირებულია ის ქონება, რომელსაც ვიღებთ.
დამატებითი ქონება.მისი წვეროდან გამოყვანილი პარალელოგრამის სიმაღლეებს შორის კუთხე უდრის მიმდებარე წვეროსთან არსებულ კუთხეს.
2.4 საყრდენი ამოცანა No5 (პარალელოგრამის ბისექტრის თვისება)
კუთხის ბისექტორი აპარალელოგრამი Ა Ბ Გ Დკვეთს მხარეს ძვ.წ.წერტილში ლ, AD=12 სმ, AB =10 სმ. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე ლ..
გამოსავალი:
- $\კუთხე 1 = \კუთხე 2$ (AK - ბისექტორი);
- $\კუთხე 2 = \კუთხე 3$ (როგორც ჯვარედინი კუთხეები $AD \პარალელური BC$ და სეკანტური AL);
- $\კუთხე 1 = \კუთხე 3$, $\დიდი სამკუთხედი ABL -$ ტოლფერდა.
პრობლემის გადაჭრის პროცესში მივიღეთ შემდეგი ქონება:
დამატებითი ქონება.პარალელოგრამის კუთხის ბისექტრი წყვეტს მისგან ტოლფერდა სამკუთხედს.
გაკვეთილის თემა
- პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებები.
გაკვეთილის მიზნები
- გაეცანით ახალ განმარტებებს და გაიხსენეთ უკვე შესწავლილი.
- ჩამოთვალეთ და დაამტკიცეთ პარალელოგრამის დიაგონალების თვისება.
- ისწავლეთ ფორმების თვისებების გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.
- განმავითარებელი - მოსწავლეთა ყურადღების, გამძლეობის, გამძლეობის განვითარება, ლოგიკური აზროვნება, მათემატიკური მეტყველება.
- საგანმანათლებლო - გაკვეთილის საშუალებით გამოუმუშავეთ ერთმანეთის მიმართ ყურადღებიანი დამოკიდებულება, ჩაუნერგეთ ამხანაგების მოსმენის უნარი, ურთიერთდახმარება და დამოუკიდებლობა.
გაკვეთილის მიზნები
- შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემის გადაჭრის უნარები.
Გაკვეთილის გეგმა
- შესავალი.
- ადრე შესწავლილი მასალის გამეორება.
- პარალელოგრამი, მისი თვისებები და მახასიათებლები.
- დავალებების მაგალითები.
- Თვითშემოწმება.
შესავალი
”მთავარი მეცნიერული აღმოჩენა იძლევა მთავარი პრობლემის გადაწყვეტას, მაგრამ ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრაში არის აღმოჩენის მარცვალი.”
პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების თვისება
პარალელოგრამს აქვს მოპირდაპირე გვერდები, რომლებიც ტოლია.
მტკიცებულება.
ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. და მოდით, მისი დიაგონალები იკვეთოს O წერტილში.
ვინაიდან Δ AOB = Δ COD სამკუთხედების ტოლობის პირველი კრიტერიუმით (∠ AOB = ∠ COD, როგორც ვერტიკალურად, AO=OC, DO=OB, პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებით), მაშინ AB=CD. ანალოგიურად, BOC და DOA სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ BC = DA. თეორემა დადასტურდა.
პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეების თვისება
პარალელოგრამში საპირისპირო კუთხეები ტოლია.
მტკიცებულება.
ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. და მოდით, მისი დიაგონალები იკვეთოს O წერტილში.
რაც დადასტურდა თეორემაში პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების თვისებების Δ ABC = Δ CDA სამ მხარეს (AB=CD, BC=DA დადასტურებულიდან, AC – ზოგადი). სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ ABC = ∠ CDA.
ასევე დადასტურებულია, რომ ∠ DAB = ∠ BCD, რომელიც გამომდინარეობს ∠ ABD = ∠ CDB-დან. თეორემა დადასტურდა.
პარალელოგრამის დიაგონალების თვისება
პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება და იკვეთება გადაკვეთის წერტილში.
მტკიცებულება.
ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. დავხატოთ AC დიაგონალი. მოდი მოვნიშნოთ მასზე შუა O სეგმენტი DO-ს გაგრძელებაზე განზე ვდებთ OB 1-ის ტოლს.
წინა თეორემით AB 1 CD არის პარალელოგრამი. მაშასადამე, ხაზი AB 1 არის DC-ის პარალელურად. მაგრამ A წერტილის გავლით მხოლოდ ერთი ხაზის გაყვანა შეიძლება DC-ის პარალელურად. ეს ნიშნავს, რომ სწორი AB 1 ემთხვევა სწორ AB-ს.
ასევე დასტურდება, რომ ძვ.წ 1 ემთხვევა ძვ.წ. ეს ნიშნავს, რომ C წერტილი ემთხვევა C 1-ს. პარალელოგრამი ABCD ემთხვევა პარალელოგრამს AB 1 CD. შესაბამისად, პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება და იკვეთება გადაკვეთის წერტილში. თეორემა დადასტურდა.
სახელმძღვანელოებში ამისთვის ჩვეულებრივი სკოლები(მაგალითად, პოგორელოვში) ასეა დადასტურებული: დიაგონალები ყოფენ პარალელოგრამს 4 სამკუთხედად. განვიხილოთ ერთი წყვილი და გავარკვიოთ - ისინი ტოლია: მათი ფუძეები მოპირდაპირე გვერდებია, მის მიმდებარედ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ისევე როგორც ვერტიკალური კუთხეები პარალელური ხაზებით. ანუ დიაგონალების სეგმენტები წყვილებში ტოლია. ყველა.
Სულ ეს არის?
ზემოთ დადასტურდა, რომ გადაკვეთის წერტილი ყოფს დიაგონალებს - თუ ის არსებობს. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა არანაირად არ ადასტურებს მის არსებობას. ანუ, თეორემის ნაწილი „პარალელოგრამის დიაგონალების იკვეთება“ დაუმტკიცებელი რჩება.
სასაცილო ის არის, რომ ეს ნაწილი გაცილებით რთული დასამტკიცებელია. ეს, სხვათა შორის, უფრო მეტიდან გამომდინარეობს საერთო შედეგი: ნებისმიერ ამოზნექილ ოთხკუთხედს ექნება დიაგონალები, რომლებიც იკვეთება, მაგრამ ნებისმიერ არაამოზნექილ ოთხკუთხედს არა.
გვერდის და ორი მიმდებარე კუთხის გასწვრივ სამკუთხედების ტოლობის შესახებ (სამკუთხედების ტოლობის მეორე ნიშანი) და სხვა.
თალესმა აღმოაჩინა მნიშვნელოვანი თეორემა გვერდის გასწვრივ ორი სამკუთხედისა და ორი მიმდებარე კუთხის ტოლობის შესახებ. პრაქტიკული გამოყენება. მილეტის ნავსადგურში აშენდა მანძილი, რათა დაედგინა მანძილი გემამდე ზღვაში. იგი შედგებოდა სამი ამოძრავებული სამაგრი A, B და C (AB = BC) და მონიშნული სწორი ხაზი SC, პერპენდიკულარული CA. როდესაც გემი გამოჩნდა SK სწორ ხაზზე, ჩვენ აღმოვაჩინეთ D წერტილი ისეთი, რომ D, .B და E წერტილები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე იყო. როგორც ნახატიდან ირკვევა, CD მანძილი ადგილზე არის სასურველი მანძილი გემამდე.
კითხვები
- კვადრატის დიაგონალები იყოფა თუ არა გადაკვეთის წერტილით ნახევრად?
- პარალელოგრამის დიაგონალები ტოლია?
- პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები ტოლია?
- დაასახელეთ პარალელოგრამის განმარტება?
- პარალელოგრამის რამდენი ნიშანია?
- შეიძლება რომბი იყოს პარალელოგრამი?
გამოყენებული წყაროების სია
- კუზნეცოვი A.V., მათემატიკის მასწავლებელი (5-9 კლასები), კიევი
- „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2006. მათემატიკა. სასწავლო და სასწავლო მასალები სტუდენტების მოსამზადებლად / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
- Mazur K. I. „მ.ი. სკანავის რედაქტორული კრებულის ძირითადი საკონკურსო ამოცანების ამოხსნა მათემატიკაში“
- ლ.
ვიმუშავეთ გაკვეთილზე
კუზნეცოვი A.V.
Poturnak S.A.
ევგენი პეტროვი
დასვით შეკითხვა თანამედროვე განათლება, გამოხატეთ იდეა ან გადაჭრით აქტუალური პრობლემა, შეგიძლიათ საგანმანათლებლო ფორუმი, სადაც ახალი აზრისა და მოქმედების საგანმანათლებლო საბჭო იკრიბება საერთაშორისო დონეზე. რომელმაც შექმნა ბლოგი,თქვენ არა მხოლოდ გააუმჯობესებთ კომპეტენტური მასწავლებლის სტატუსს, არამედ მნიშვნელოვან წვლილს შეიტანთ მომავლის სკოლის განვითარებაში. განათლების ლიდერთა გილდიაუხსნის კარს უმაღლესი რანგის სპეციალისტებს და იწვევს მათ თანამშრომლობისთვის მსოფლიოში საუკეთესო სკოლების შესაქმნელად.
განმარტება
პარალელოგრამიარის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია.
სურათი 1 გვიჩვენებს პარალელოგრამს $A B C D, A B\|C D, B C\| D$.
პარალელოგრამის თვისებები
- პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია: $A B=C D, B C=A D$ (სურათი 1).
- პარალელოგრამში მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია $\კუთხე A=\კუთხე C, \კუთხე B=\კუთხე D$ (სურათი 1).
- პარალელოგრამის დიაგონალები გადაკვეთის წერტილში იყოფა $A O=O C, B O=O D$ ნახევრად (სურათი 1).
- პარალელოგრამის დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.
- პარალელოგრამში სიმაღლეებს შორის კუთხე უდრის მის მახვილ კუთხეს: $\კუთხე K B H=\კუთხე A$.
- პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ბისექტრები ერთმანეთის პერპენდიკულურია.
- პარალელოგრამის ორი მოპირდაპირე კუთხის ბისექტრები პარალელურია.
ერთი მხარის მიმდებარე პარალელოგრამის კუთხეების ჯამი არის $180^(\circ)$:
$$\კუთხე A+\კუთხე B=180^(\circ), \კუთხე B+\კუთხე C=180^(\circ)$$
$$\კუთხე C+\კუთხე D=180^(\circ), \კუთხე D+\კუთხე A=180^(\circ)$$
პარალელოგრამის დიაგონალები და გვერდები დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით:
$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$
პარალელოგრამის ნიშნები
ოთხკუთხედი $ABCD$ არის პარალელოგრამი if
- $A B=C D$ და $A B \| C D$
- $A B=C D$ და $B C=A D$
- $A O=O C$ და $B O=O D$
- $\კუთხე A=\კუთხე C$ და $\კუთხე B=\კუთხე D$
პარალელოგრამის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთ-ერთი შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:
$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$
$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$
პრობლემის გადაჭრის მაგალითები
მაგალითი
ვარჯიში.პარალელოგრამის ორი კუთხის ჯამი არის $140^(\circ)$. იპოვეთ პარალელოგრამის უდიდესი კუთხე.
გამოსავალი.პარალელოგრამში საპირისპირო კუთხეები ტოლია. პარალელოგრამის უფრო დიდი კუთხე ავღნიშნოთ $\alpha$-ით და პატარა კუთხე $\beta$-ით. $\alpha$ და $\beta$ კუთხეების ჯამი არის $180^(\circ)$, ამიტომ მოცემული ჯამი უდრის $140^(\circ)$ არის ორი მოპირდაპირე კუთხის ჯამი, შემდეგ $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. ამრიგად, უფრო მცირე კუთხე არის $\beta=70^(\circ)$. ჩვენ ვიპოვით უფრო დიდ კუთხეს $\alpha$ მიმართებიდან:
$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$
$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$
უპასუხე.$\alpha=110^(\circ)$
მაგალითი
ვარჯიში.პარალელოგრამის გვერდებია 18 სმ და 15 სმ, ხოლო უფრო მოკლე გვერდის სიმაღლე არის 6 სმ.
გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (ნახ. 2)
პირობის მიხედვით, $a=15$ სმ, $b=18$ სმ, $h_(a)=6$ სმ ფართობის საპოვნელად მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:
$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$
მოდით გავაიგივოთ ამ ტოლობების მარჯვენა მხარეები და გამოვხატოთ მიღებული ტოლობიდან $h_(b) $:
$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \მარჯვენა ისარი h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$
პრობლემის საწყისი მონაცემების ჩანაცვლებით, საბოლოოდ მივიღებთ:
$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \მარჯვენა ისარი h_(b)=5$ (სმ)