2 positional at non-positional number system. Ulat: Positional number system. Binary, octal, decimal, hexadecimal. Sistema ng desimal na numero

Notasyon- isang simbolikong paraan ng pagsulat ng mga numero, na kumakatawan sa mga numero gamit ang nakasulat na mga palatandaan.
Notasyon:
· nagbibigay ng mga representasyon ng isang hanay ng mga numero (mga integer at/o tunay);
· nagbibigay sa bawat numero ng isang natatanging representasyon (o hindi bababa sa isang karaniwang representasyon);
· sumasalamin sa algebraic at arithmetic na istraktura ng mga numero.
Sa mga non-positional number system, ang posisyon ng digit sa notation ng numero ay hindi nakadepende sa value na kinakatawan nito. Ang isang halimbawa ng isang non-positional number system ay ang Roman system, na gumagamit ng mga letrang Latin bilang mga numero.
Sa mga positional number system, ang value na tinutukoy ng isang digit sa isang numero ay depende sa posisyon nito. Ang bilang ng mga digit na ginamit ay tinatawag na base ng sistema ng numero. Ang lugar ng bawat digit sa isang numero ay tinatawag na posisyon. Ang unang sistemang kilala sa atin batay sa positional na prinsipyo ay Babylonian sexagesimal. Ang mga numero sa loob nito ay may dalawang uri, ang isa ay nagsasaad ng mga yunit, ang isa ay sampu.
Gayunpaman, ang Indo-Arabic decimal system ay naging pinakakaraniwang ginagamit. Ang mga Indian ang unang gumamit ng zero upang ipahiwatig ang posisyonal na kahalagahan ng isang dami sa isang string ng mga numero. Ang sistemang ito ay tinatawag na decimal dahil mayroon itong sampung digit.
Ang pagkakaiba sa pagitan ng positional at non-positional number system ay pinakamadaling maunawaan sa pamamagitan ng paghahambing ng dalawang numero. Sa positional number system, ang paghahambing ng dalawang numero ay nangyayari tulad ng sumusunod: sa mga numerong isinasaalang-alang, mula kaliwa hanggang kanan, ang mga digit sa parehong mga posisyon ay inihambing. Ang isang mas malaking numero ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng numero. Halimbawa, para sa mga numerong 123 at 234, ang 1 ay mas mababa sa 2, kaya ang 234 ay mas malaki sa 123. Sa isang non-positional number system, hindi nalalapat ang panuntunang ito. Ang isang halimbawa nito ay isang paghahambing ng dalawang numero IX at VI. Kahit na ako ay mas maliit kaysa sa V, ang IX ay mas malaki kaysa sa VI.
Mga sistema ng numero ng posisyon
Ang base ng sistema ng numero kung saan nakasulat ang isang numero ay karaniwang ipinapahiwatig ng isang subscript. Halimbawa, ang 5557 ay isang numerong nakasulat sa sistema ng decimal na numero. Kung ang isang numero ay nakasulat sa decimal system, kung gayon ang base ay karaniwang hindi ipinahiwatig. Ang base ng system ay isang numero din, at ipahiwatig namin ito sa karaniwang sistema ng decimal. Sa pangkalahatan, ang numerong x ay maaaring katawanin sa isang sistema na may base p bilang x = an·pn +an – 1·pn–1 + a1·p1 + a0·p0, kung saan ang an...a0 ay ang mga digit sa representasyon ng bilang na ito. Halimbawa,
103510=1·103 + 0·102 + 3·101 + 5·100;
10102 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 10.
Ang pinakamalaking interes kapag nagtatrabaho sa isang computer ay ang mga sistema ng numero na may mga base 2, 8 at 16. Sa pangkalahatan, ang mga sistema ng numero na ito ay karaniwang sapat para sa ganap na gawain ng isang tao at isang computer, ngunit kung minsan, dahil sa iba't ibang mga pangyayari , kailangan mo pa ring bumaling sa iba pang system number system, gaya ng ternary, septal, o base 32.
Upang gumana sa mga numerong nakasulat sa naturang mga hindi tradisyonal na sistema, kailangan mong tandaan na ang mga ito sa panimula ay hindi naiiba sa karaniwang sistema ng decimal. Ang pagdaragdag, pagbabawas, at pagpaparami sa mga ito ay isinasagawa ayon sa parehong pamamaraan.
Bakit hindi ginagamit ang ibang mga sistema ng numero? Higit sa lahat dahil sa pang-araw-araw na buhay ang mga tao ay bihasa sa paggamit ng sistema ng decimal na numero, at walang ibang kinakailangan. Sa mga kompyuter, ginagamit ang binary number system, dahil ito ay medyo simple upang gumana sa mga numerong nakasulat sa binary form.
Ang hexadecimal system ay kadalasang ginagamit sa computer science, dahil ang pagsusulat ng mga numero dito ay mas maikli kaysa sa pagsusulat ng mga numero sa binary system. Ang tanong ay maaaring lumitaw: bakit hindi gumamit ng isang sistema ng numero, halimbawa base 50, upang magsulat ng napakalaking numero? Ang ganitong sistema ng numero ay nangangailangan ng 10 ordinaryong digit kasama ang 40 na mga palatandaan, na tumutugma sa mga numero mula 10 hanggang 49, at malamang na walang sinuman ang gustong magtrabaho kasama ang apatnapung character na ito. Samakatuwid, sa totoong buhay, ang mga sistema ng numero batay sa mga base na higit sa 16 ay halos hindi ginagamit.
Non-positional number system
Sa sandaling nagsimulang magbilang ang mga tao, nagsimula na silang isulat ang mga numero. Ang mga paghahanap ng mga arkeologo sa mga site ng mga primitive na tao ay nagpapahiwatig na sa una ang bilang ng mga bagay ay ipinakita sa pamamagitan ng pantay na bilang ng ilang uri ng mga icon (tag): notches, dashes, tuldok.
Nang maglaon, upang gawing mas madali ang pagbibilang, ang mga icon na ito ay nagsimulang igrupo sa mga grupo ng tatlo o lima. Ang sistemang ito ng pagsulat ng mga numero ay tinatawag na unit (unary), dahil ang anumang numero sa loob nito ay nabuo sa pamamagitan ng pag-uulit ng isang tanda, na sumasagisag sa isa. Ang mga dayandang ng sistema ng numero ng yunit ay matatagpuan pa rin ngayon. Kaya, upang malaman kung saang kurso nag-aaral ang isang kadete ng paaralang militar, kailangan mong bilangin kung gaano karaming mga guhit ang natahi sa kanyang manggas. Nang hindi namamalayan, ginagamit ng mga bata ang sistema ng numero ng yunit, na ipinapakita ang kanilang edad sa kanilang mga daliri, at ginagamit ang mga counting stick upang turuan ang mga mag-aaral sa ika-1 baitang kung paano magbilang. Ang sistema ng yunit ay hindi ang pinaka-maginhawang paraan upang magsulat ng mga numero. Ang pag-record ng malalaking dami sa ganitong paraan ay nakakapagod, at ang mga rekord mismo ay napakahaba. Sa paglipas ng panahon, lumitaw ang iba pang mas maginhawang sistema ng numero.
Sinaunang Egyptian decimal non-positional number system. Sa paligid ng ikatlong milenyo BC, ang mga sinaunang Egyptian ay nakabuo ng kanilang sariling sistema ng numero, kung saan ang mga pangunahing numero ay 1, 10, 100, atbp. ginamit ang mga espesyal na icon - hieroglyph.
Ang lahat ng iba pang mga numero ay binubuo mula sa mga pangunahing numerong ito gamit ang operasyon ng karagdagan. Ang sistema ng numero ng Sinaunang Egypt ay decimal, ngunit hindi posisyonal.
Sa non-positional number system, ang quantitative equivalent ng bawat digit ay hindi nakadepende sa posisyon nito (lugar, posisyon) sa number record.
Halimbawa, upang ilarawan ang 3252, tatlong bulaklak ng lotus (tatlong libo), dalawang pinagsamang dahon ng palma (dalawang daan), limang arko (limang sampu) at dalawang poste (dalawang yunit) ang iginuhit. Ang laki ng numero ay hindi nakadepende sa pagkakasunud-sunod kung saan matatagpuan ang mga palatandaan ng bumubuo nito: maaaring isulat ang mga ito mula sa itaas hanggang sa ibaba, mula kanan hanggang kaliwa, o interspersed.
Roman number system. Ang isang halimbawa ng isang non-positional system na nakaligtas hanggang ngayon ay ang sistema ng numero na ginamit higit sa dalawa at kalahating libong taon na ang nakalilipas sa Sinaunang Roma. Ang sistema ng numero ng Romano ay batay sa mga palatandaan na I (isang daliri) para sa numero 1, V (bukas na palad) para sa numero 5, X (dalawang nakatiklop na palad) para sa 10, at ang mga unang titik ng kaukulang mga salitang Latin ay nagsimulang maging ginamit upang italaga ang mga numero 100, 500 at 1000 (Centum - isang daan, Demimille - kalahating libo, Mille - isang libo).
Upang isulat ang isang numero, nabulok ito ng mga Romano sa kabuuan ng libo, kalahating libo, daan-daan, limampu, sampu, takong, mga yunit. Halimbawa, ang decimal na numero 28 ay kinakatawan bilang mga sumusunod:
XXVIII=10+10+5+1+1+1 (tatlong sampu, takong, tatlo).
Upang maitala ang mga intermediate na numero, ginamit ng mga Romano hindi lamang ang karagdagan, kundi pati na rin ang pagbabawas. Sa kasong ito, inilapat ang sumusunod na panuntunan: ang bawat mas maliit na sign na inilagay sa kanan ng mas malaki ay idinaragdag sa halaga nito, at ang bawat mas maliit na sign na inilagay sa kaliwa ng mas malaki ay ibinabawas dito.
Halimbawa, ang IX ay nangangahulugang 9, ang XI ay nangangahulugang 11.
Ang decimal na numero 99 ay may sumusunod na representasyon:
XCIХ = -10+100-1+10.
Ang mga Roman numeral ay ginamit sa napakatagal na panahon. Kahit na 200 taon na ang nakalilipas, sa mga papeles ng negosyo, ang mga numero ay kailangang tukuyin ng mga Roman numeral (pinaniniwalaan na ang mga ordinaryong numerong Arabe ay madaling mapeke). Ang sistemang Roman numeral ay ginagamit ngayon pangunahin para sa pagbibigay ng pangalan sa mga mahahalagang petsa, volume, seksyon at mga kabanata sa mga aklat.

8.Pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa

Sa modernong teknolohiya sa pag-compute, ang impormasyon ay kadalasang naka-encode gamit ang isang sequence ng mga signal ng dalawang uri lamang: on o off, magnetized o unmagnetized, mataas o mababang boltahe, atbp. Nakaugalian na tukuyin ang isang estado na may numerong 0, at ang isa ay may 1. Ang representasyong ito ng impormasyon sa digital na anyo ay tinatawag na binary. Ang isang set (sequence) ng mga zero at isa ay tinatawag na binary code.

Ang sistema ng numero ay isang hanay ng mga pamamaraan para sa pagbibigay ng pangalan at pagtatalaga ng mga numero. Ang mga sistema ng numero ay nahahati sa dalawang pangkat: positional at non-positional. Ang positional number system ay isang sistema ng numero kung saan ang halaga ng isang digit ay nakasalalay sa lugar nito (posisyon) sa isang serye ng mga digit na nagsasaad ng isang numero. Ang mga system na walang ganitong katangian ay tinatawag na non-positional (Roman number system). Ang base ng positional number system ay ang bilang ng mga digit na ginagamit sa pagsulat.

Ang mga computer ay madalas na gumagamit ng octal at hexadecimal number system. Sa octal number system, ang mga numero ay isinusulat gamit ang walong digit (0 1 2 3 4 5 6 7). Ang walong mismo ay nakasulat na may dalawang digit: 10. Upang magsulat ng mga numero sa hexadecimal system, dapat mayroon ka nang labing-anim na magkakaibang simbolo na ginamit bilang mga digit:

Ika-10: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Ika-16: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Halimbawa 1. I-convert natin ang decimal na numero 45 sa binary number system.

Panuntunan: Upang i-convert ang isang positibong integer decimal na numero sa isang sistema ng numero na may ibang base, kailangan mong hatiin ang numerong ito sa base. Hatiin muli ang resultang quotient sa base, atbp. hanggang ang quotient ay mas mababa sa base. Bilang resulta, isulat sa isang linya ang huling quotient at lahat ng natitira, simula sa huli.

Halimbawa 2. I-convert natin ang decimal number na 672 sa octal number system.

Halimbawa 3. I-convert natin ang decimal na numerong 934 sa hexadecimal number system.

Halimbawa 4. I-convert natin ang positive decimal fraction 0.3 sa binary number system.

Panuntunan: Upang i-convert ang positibong decimal fraction sa binary, kailangan mong i-multiply ang fraction sa 2. Kunin ang buong bahagi ng produkto bilang unang decimal na digit sa binary fraction, at i-multiply muli ang fractional na bahagi sa 2. Kunin ang buong bahagi ng produktong ito bilang susunod na digit ng binary fraction, at i-multiply muli ang fractional na bahagi ng produkto sa 2, atbp. hanggang sa makuha ang tinukoy na bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point.

Ang fractional na bahagi 0.6 ay nasa ikalawang hakbang ng mga kalkulasyon. Samakatuwid, ang mga kalkulasyon ay uulitin. Samakatuwid, sa binary number system, ang numero 0.3 ay kinakatawan bilang isang periodic fraction:

0,3 = 0,0(1001) 2 .

Halimbawa 5. I-convert natin ang positive decimal fraction na 0.625 sa binary number system.

0,625 = 0,101 2 .

Tandaan: Ang conversion ng isang decimal na numero sa binary number system ay isinasagawa nang hiwalay para sa integer at fractional na mga bahagi nito.

Halimbawa 6. I-convert natin ang binary number 1011.011 sa decimal number system.

Panuntunan: Upang i-convert ang isang numero mula sa binary system patungo sa decimal na sistema ng numero, kailangan mong katawanin ang binary na numero bilang isang kabuuan ng mga kapangyarihan ng dalawa na may mga digit na coefficient at hanapin ang kabuuan na ito.

1011,0112 = 1 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +0 2 –1 +1 2 –2 +1 2 –3 =1 8+1 2+1+1 (1/2)2+1 (1/2)3 = 8+2+1+1/4+1/8 = 11,375

1011,011 2 = 11,375 10 .

Halimbawa 7. I-convert natin ang octal number 511 sa decimal number system.

5118 = 5 8 2 +1 8 1 +1 8 0 =5 64+1 8+1 = 329

511 8 = 329 10 .

Halimbawa 8. I-convert natin ang hexadecimal number 1151 sa decimal number system.

1 16 3 +1 16 2 +5 16 1 +1 16 0 = 1 4096+1 256+5 16+1 = 4096+256+80+1 = 4433.

1151 16 = 4433 10 .

Halimbawa 9. I-convert natin ang binary number 1100001111010110 sa octal form.

Panuntunan: Upang i-convert ang binary na numero sa octal, kailangan mong hatiin ang binary sequence sa mga pangkat ng tatlong digit mula kanan pakaliwa at palitan ang bawat pangkat ng katumbas na octal digit. Ginagawa nila ang parehong kapag nagko-convert sa hexadecimal system, tanging ang binary sequence ay nahahati hindi sa tatlo, ngunit sa apat na digit.

I-convert natin ang ating numero sa octal at hexadecimal system:

1 100 001 111 010 110 1100 0011 1101 0110

1 4 1 7 2 6 C 3 D 6

Ang reverse conversion ay isinasagawa nang katulad: para dito, ang bawat digit ng isang octal o hexadecimal na numero ay pinapalitan ng isang pangkat ng tatlo o apat na digit. Halimbawa:

A B 5 1 1 7 7 2 0 4

1010 1011 0101 0001 1 111 111 010 000 100

Sistema ng numero ay isang paraan ng pagsulat ng mga numero bilang kumbinasyon ng mga graphic na simbolo. Ang numero ay ilang abstract na entity upang ilarawan ang dami, at ang mga numero ay mga palatandaan na ginagamit sa pagsulat ng mga numero. Sa ngayon, ang pinakakaraniwan ay Arabic numeral, Roman numeral ay hindi gaanong karaniwan. Ang sistema ng Roman numeral ay batay sa paggamit ng mga espesyal na palatandaan para sa mga decimal na lugar: I=1, X=10, C=100, M=1000 at ang kanilang mga kalahati: V=5, L=50, D=500. Mayroong maraming iba pang mga paraan upang magsulat ng mga numero. Halimbawa, ginamit ng mga sinaunang Griyego ang mga titik ng kanilang alpabeto para sa layuning ito, at ang mga sinaunang Sumerian ay gumamit ng mga karakter na cuneiform. Umiiral posisyonal At hindi nakaposisyon mga sistema ng numero.

Sistema ng numero ng posisyon – sistemapagtatala ng mga numero bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga character kung saan ang numerical na halaga ng bawat karakter ay nakasalalay sa posisyon nito sa record.

Ang isang halimbawa ng isang positional system ay ang kilalang decimal number system. Ang isang halimbawa ng isang non-positional system ay ang sistemang Romano. Ang pagsasagawa ng mga operasyong aritmetika sa mga numero sa isang non-positional system ay napaka-inconvenient. Samakatuwid, ang mga positional system ay kasalukuyang pinakalaganap.

Ang pag-imbento ng positional system ay iniuugnay sa mga Sumerians at Babylonians. Pagkatapos ito ay binuo ng mga Hindu. Sa medieval Europe, lumitaw ang positional decimal system salamat sa mga mangangalakal na Italyano, na hiniram ito sa mga Muslim. Noong ika-9 na siglo, unang inilarawan ng mahusay na Arabong matematiko na si Muhammad ibn Musa Al Khwarizmi ang sistema ng decimal na numero at ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga simpleng operasyong arithmetic dito. Noong ika-12 siglo, ang kanyang mga gawa ay isinalin sa Latin, salamat sa kung saan ang Europa ay naging pamilyar sa pag-imbento ng pag-iisip ng tao.

Decimal system

Mayroong iba't ibang mga positional number system, na naiiba sa bilang ng mga sign na ginamit. Upang makilala ang mga numero sa iba't ibang mga sistema ng numero, isang index ang inilalagay sa dulo ng numero - isang simbolo ng system. Halimbawa, ang entry ay nangangahulugan ng karaniwang numero 483.56 sa decimal notation, at ang entry
ay nangangahulugang isang ganap na magkaibang numero (kahit na magkatulad sa hitsura) sa hexadecimal na sistema ng numero(sa decimal ito ay 1155.335938). Kung malinaw sa konteksto na ang sistemang desimal lamang ang ginagamit (o hexadecimal lang, o iba pa), kung gayon kapag nagsusulat ng isang numero, kadalasang inaalis ang index.

Gumagamit ang decimal system ng sampung magkakaibang palatandaan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - na kumakatawan sa mga natural na numero sa pataas na pagkakasunud-sunod mula sa zero hanggang siyam. Ang numero 10 ay ang batayan ng sistema ng decimal. Wala itong espesyal na tanda, ngunit ipinahiwatig gamit ang unang dalawang karakter ng sistemang ito.

Halimbawa, ang pagsusulat ng 483.56 sa decimal ay nangangahulugan na ang numero ay binubuo ng apat na raan (
), walo sampu (
), tatlong yunit (
), limang ikasampu ng isang yunit (
) at anim na raan ng isang yunit (
). Sa madaling salita, maaari nating isulat:

Binary system

Ang binary number system ay ang pinakasimple sa lahat ng positional system. Naglalaman lamang ito ng dalawang character 0 at 1, at ginagamit sa teknolohiya ng computer dahil sa pagiging simple at mataas na pagiging maaasahan nito. Ang binary system ay naimbento ng mahusay na German scientist na si Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), na ginamit ito sa isang mekanikal na pagdaragdag ng makina na kanyang nilikha. Sa unang hanay ng talahanayan. Ipinapakita ng 2.1 ang mga decimal na numero, at ang pangalawa ay nagpapakita ng kaukulang mga binary na numero.

Talahanayan 2.1

Sabihin nating kailangan nating i-convert ang isang binary number na may fractional na bahagi ng 1100.1011 sa isang mas pamilyar na decimal na numero. Sa mesa Ipinapakita ng 2.2 kung paano isinasagawa ang pagbabagong ito.

Talahanayan 2.2

Baliktarin ang conversion ng decimal d sa isang binary number (binary code) ay isinasagawa alinsunod sa sumusunod na algorithm. Italaga sa numero d index
(
), at maghanap ng integer , nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay

,
. (2.2)

Kung
, pagkatapos ay nakumpleto ang gawain - ang nais na binary na numero ay naglalaman ng isa sa pinaka makabuluhang bit at mga zero sa likod nito.

Kung
, pagkatapos ay kinakalkula namin ang pagkakaiba
, at hanapin ang kaukulang numero para dito , gamit ang formula (2.2) na may
. Operasyon ng pagkalkula ng pagkakaiba
at paghahanap
ulitin hanggang sa isang punto
hindi matutugunan ang kundisyon:
.

Obvious naman yun
(mga.
). Kapag gumagawa ng gustong binary na numero, gamitin ang panuntunan: mga numerical na halaga tumutugma sa mga piraso ng binary code, kung saan mayroong mga. Ang natitirang mga piraso ay puno ng mga zero.

Ginagamit namin ang panuntunang ito upang mahanap ang binary code para sa decimal na numero 108.5. Ayon sa formula (2.2), nakukuha natin ang: .

Ang kinakailangang binary number ay: 1101100.1. Ang unang yunit sa kaliwa sa talaan ng numero ay tumutugma sa ika-6 na digit, ang pangalawa pagkatapos nito ay tumutugma sa ikalimang digit. Walang pang-apat na digit, kaya sumusulat kami ng zero pagkatapos ng unang dalawa. Mayroong pangatlo at pangalawang digit - pagkatapos ng zero ay nagsusulat kami ng dalawa. Wala ring isa at zero na digit - pagkatapos ng dalawa ay sumusulat kami ng dalawang zero. May minus na unang digit, kaya nagsusulat kami ng isa pagkatapos ng decimal point.

Ang mga operasyon ng aritmetika sa binary system ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng sa decimal system ("haligi"). Halimbawa, kunin natin ang mga numerong 0111 (
) at 0101 (
), at magsagawa ng mga pagpapatakbo ng pagdaragdag at pagpaparami:

,

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng 1100 (
) at 100011 (
), na dapat asahan.

Grey na code

Bilang karagdagan sa mga binary na numero, ang iba pang mga code na gumagamit ng dalawang mga palatandaan: 0 at 1 ay ginagamit din sa pagsasanay Sa seksyong ito, makikilala natin ang Grey code. Kapag nag-uuri ng data, ang natural na representasyon ay ang karaniwang integer na paglalarawan, dahil sa sampung digit, ang bawat digit ay 1 higit pa kaysa sa nauna. Kapag lumipat sa isang binary na paglalarawan, nawawala ang pagiging natural na ito. Isaalang-alang ang bit na representasyon ng mga numero 6, 7, 8 at 9:

0110 0111 1000 1001.

Ang mga numero 6 at 7, pati na rin ang 8 at 9, ay naiiba sa bawat isa nang kaunti. Gayunpaman, ang mga numero 7 at 8 ay walang pagkakatulad sa isa't isa! Ang katangiang ito ng representasyon ay maaaring magdulot ng malalaking problema kapag nilulutas ang mga problema na nangangailangan ng sistematisasyon ng numerical data. Upang malutas ang problema ng heterogeneity ng representasyon, ginamit ang Grey code.

Grey na code – isang sistema ng pagnunumero kung saan ang dalawang katabing halaga ay nagkakaiba lamang ng isang digit.

Ang Grey code ay ipinapakita sa ikatlong column ng talahanayan. 2.1. Kadalasang ginagamit sa pagsasanay reflexive binary grey code, bagama't sa pangkalahatan ay mayroong walang katapusang bilang ng mga Grey na code para sa mga sistema ng numero na may anumang base. Sa karamihan ng mga kaso, ang terminong "Gray code" ay tumutukoy sa reflexive binary Grey code. Ang pangalan na reflexive binary code ay nagmula sa katotohanan na ang pangalawang kalahati ng mga halaga sa Grey code ay katumbas ng unang kalahati, lamang sa reverse order, maliban sa pinaka makabuluhang bit, na simpleng baligtad. Kung muli mong hahatiin ang bawat kalahati, ang ari-arian ay mapangalagaan para sa bawat kalahati ng kalahati, atbp.

Ang code ni Gray ay binuo ni Frank Gray, isang researcher ng Bell Labs. Ginamit niya ang code na ito sa kanyang sistema ng komunikasyon sa pulso (natanggap ang patent No. 2632058 para dito).

Kapag nagko-convert ng binary sa decimal, pinaparami namin ang zero o isa sa , Saan
– ang bilang ng bit na posisyon sa binary code (; atbp.), at pagkatapos ay ibubuod namin ang mga resulta.

Kapag nagko-convert ng Gray code sa isang decimal na numero, i-multiply namin ang zero o isa sa (
), Saan
– bit na numero ng posisyon sa Grey code (; atbp.). Susunod, ibawas namin mula sa resulta na naaayon sa mas mataas na yunit ang resulta na naaayon sa yunit ng mas mababang ranggo, idagdag ang resulta na naaayon sa yunit ng isang mas mababang ranggo, atbp. (tingnan ang huling hanay ng talahanayan 2.1).

Sistema ng numero ng ternary

Sistema ng numero ng ternary – isang positional number system na may integer base na katumbas ng 3. Ito ay umiiral sa dalawang bersyon: walang simetriko At simetriko ternary system. Karaniwang ginagamit ng isang sistemang walang simetriko ang mga simbolo: 0, 1 at 2. Symmetrical: –1, 0, +1. Sa mesa Ang Figure 2.3 ay nagpapakita ng mga decimal na numero at ang kanilang mga katumbas na numero sa ternary number system.

Talahanayan 2.3

Ang mga elemento ng sistemang ternary ay umiral kahit sa mga sinaunang Sumerian. Ang isang ganap na symmetric ternary system ay unang iminungkahi ng isang Italyano na matematiko Fibonacci (Leonardo ng Pisa) (1170–1250). Ang symmetric ternary system ay nagpapahintulot sa mga negatibong numero na maipakita nang hindi gumagamit ng hiwalay na minus sign.

Sa panahon ng kapanganakan ng teknolohiya ng computer, ang ternary system ay isang seryosong katunggali sa binary system. Ang kalamangan nito ay nagbibigay ito ng pinakadakilang density ng numero kumpara sa ibang integer system. Ilarawan natin ito sa sumusunod na halimbawa.

Ipagpalagay na sa isang computer ay gumagamit kami ng mga numero sa isang positional system na may integer base . Bukod dito, ang bawat numero ay may maximum discharges. Nangangahulugan ito na upang i-save ang isang numero sa memorya ng computer na kailangan mo memory cell, at ang bawat cell ay dapat na may kakayahang makapasok estado. Ang mga gastos sa hardware ay:
.

Paggamit ng base system At discharges, nagagawa nating isipin magkaibang numero. Ang pagiging epektibo ng sistema ng numero na ginagamit sa isang computer ay maaaring masuri gamit ang sumusunod na pamantayang numero:

. (2.3)

Kung mas maraming numero ang maaari nating katawanin sa isang ibinigay na sistema ng numero, at mas mababa ang mga gastos sa hardware, mas mahusay ang system ayon sa pamantayang ito.

Mas madalas ang pamantayan ng kahusayan ay ginagamit sa form na ito

. (2.4)

Sa pagsasagawa, ang criterion (2.4) ay katumbas ng criterion (2.3), ngunit mas maginhawang gamitin. Ang pagkakapareho ay batay sa katotohanan: kung
, Iyon
. Graph ng isang function
ipinapakita sa Fig. 2.1.

Fig.2.1. Graph ng isang function

Ang function na ito ay may maximum para sa . Para sa mga halaga ng integer ang maximum ay naabot para sa = 3.

;

;

.

Kaya, ang pinaka-epektibo ayon sa criterion (2.4) ay ang ternary number system (ginagamit sa ternary computer), na sinusundan ng binary number system (tradisyonal na ginagamit sa karamihan ng mga computer) at ang quaternary number system.

Noong 1958, si Nikolai Petrovich Brusentsov mula sa Moscow State University ay nagtayo ng unang serial electronic ternary computer na "Setun" sa mga cell ng ferrite diode magnetic amplifiers ng alternating current, na tumatakbo sa isang two-bit ternary code ay hindi ginamit ang ika-apat na estado ng dalawang bits; Noong 1970, itinayo ni Brusentsov ang pangalawang serial electronic ternary computer na "Setun-70".

Noong 1973, unang nilikha ang isang eksperimentong ternary computer sa USA, at noong 2008, isang ternary digital computer system na TCA2 ang itinayo doon gamit ang 1484 integrated transistors.

Gayunpaman, ang mga binary computer ay kasalukuyang nangingibabaw sa teknolohiya ng computer dahil sa kanilang pagiging simple at mataas na pagiging maaasahan.

Octal at hexadecimal na mga sistema ng numero

Ang isang positional number system ay maaaring itayo gamit ang anumang base. Gayunpaman, ang mga pinakapraktikal ay: binary, decimal, octal at hexadecimal. Bukod dito, ang huling dalawa ay pangunahing ginagamit hindi para sa mga kalkulasyon, ngunit para sa pagtatanghal. binary code sa isang form na maginhawa para sa mga tao.

Sa mesa Ang 2.4 ay nagpapakita ng isang 24-bit na binary na salita at ang katumbas nitong octal at hexadecimal code.

Talahanayan 2.4

Malinaw, mas madali para sa isang tao na makita ang binary code sa anyo ng octal o hexadecimal code. Kapag gumagamit ng octal code, ang tatlong bit ng binary na salita ay kino-convert sa isang character. Kapag gumagamit ng isang hex na salita, ang bawat apat na bit ng binary na salita ay kino-convert sa isang character. Sa mesa Ipinapakita ng Figure 2.5 kung paano isinasagawa ang pagbabagong ito. Tulad ng nakikita mo, ang mga hexadecimal na numero ay kinakatawan gamit ang 10 Arabic numerals at anim na Latin na titik.

Ang iba't ibang mga sistema ng numero na umiral sa nakaraan at ginagamit ngayon ay maaaring hatiin sa mga sistema ng hindi posisyonal at posisyonal na numero. Ang mga palatandaan na ginagamit sa pagsulat ng mga numero ay tinatawag na mga digit.

SA hindi nakaposisyon Sa mga sistema ng numero, ang posisyon ng isang digit sa notasyon ng isang numero ay hindi tumutukoy sa halaga na kinakatawan nito. Ang isang halimbawa ng isang non-positional na sistema ng numero ay ang sistemang Romano, na gumagamit ng mga letrang Latin bilang mga numero:

Sa mga numero, ang mga numero ay isinusulat mula kaliwa hanggang kanan sa pababang pagkakasunod-sunod. Ang magnitude ng isang numero ay tinukoy bilang ang kabuuan o pagkakaiba ng mga digit sa numero. Kung ang mas maliit na numero ay nasa kaliwa ng mas malaking numero, pagkatapos ito ay ibabawas, kung sa kanan, ito ay idinagdag. Halimbawa, VI = 5 + 1 = 6, at IX = 10 - 1 = 9, CССXXVII=100+100+100+10+10+5+1+1=327.

SA posisyonal Sa mga sistema ng numero, ang halaga na tinutukoy ng isang digit sa isang numero ay nakasalalay sa posisyon nito. Ang bilang ng mga digit na ginamit ay tinatawag batayan mga sistema ng numero. Ang lugar ng bawat digit sa numero ay tinatawag posisyon.

Ang unang sistemang kilala sa atin batay sa positional na prinsipyo ay Babylonian sexagesimal. Ang mga numero sa loob nito ay may dalawang uri, ang isa ay nagsasaad ng mga yunit, ang isa ay sampu. Ang mga bakas ng sistemang Babylonian ay nakaligtas hanggang ngayon sa mga pamamaraan ng pagsukat at pagtatala ng mga anggulo at mga agwat ng oras.

Gayunpaman, ang Hindu-Arabic decimal system ang pinakamahalaga sa atin. Ang mga Indian ang unang gumamit ng zero upang ipahiwatig ang posisyonal na kahalagahan ng isang dami sa isang string ng mga numero. Pinangalanan ang sistemang ito decimal sistema ng numero dahil mayroon itong sampung digit.

Upang mas maunawaan ang pagkakaiba sa pagitan ng positional at non-positional number system, isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahambing ng dalawang numero. Sa positional number system, ang paghahambing ng dalawang numero ay nangyayari tulad ng sumusunod: sa mga numerong isinasaalang-alang, mula kaliwa hanggang kanan, ang mga digit sa parehong mga posisyon ay inihambing. Ang isang mas malaking numero ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng numero. Halimbawa, para sa mga numerong 123 at 234, ang 1 ay mas mababa sa 2, kaya ang 234 ay mas malaki sa 123. Sa isang non-positional number system, hindi nalalapat ang panuntunang ito. Ang isang halimbawa nito ay isang paghahambing ng dalawang numero IX at VI. Kahit na ako ay mas maliit kaysa sa V, ang IX ay mas malaki kaysa sa VI.

Ang base ng sistema ng numero kung saan nakasulat ang isang numero ay karaniwang ipinapahiwatig ng isang subscript. Halimbawa, ang 555 7 ay isang numerong nakasulat sa septenary number system. Kung ang isang numero ay nakasulat sa decimal system, kung gayon ang base ay karaniwang hindi ipinahiwatig. Ang base ng system ay isang numero din, at ipahiwatig namin ito sa karaniwang sistema ng decimal. Sa pangkalahatan, ang numero x ay maaaring katawanin sa isang sistema na may base p, Paano

x=a n *p n +a n ―1*p n―1 + a 1 *p 1 +a 0 *p 0 ,

kung saan a n ...a 0 ang mga numero sa representasyon ng numerong ito.

Kaya, halimbawa, 1035 10 =1*10 3 +0*10 2 +3*10 1 +5*10 0 ;

1010 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 10.

Ang pinakamalaking interes kapag nagtatrabaho sa isang computer ay ang mga sistema ng numero na may mga base 2, 8 at 16. Sa pangkalahatan, ang mga sistema ng numero na ito ay karaniwang sapat para sa ganap na gawain ng isang tao at isang computer. Gayunpaman, kung minsan, dahil sa iba't ibang mga pangyayari, kinakailangan na bumaling sa iba pang mga sistema ng numero, halimbawa, sa mga sistema ng numero ng ternary, septal o base 32.

Upang normal na gumana sa mga numerong nakasulat sa naturang mga hindi tradisyunal na sistema, mahalagang maunawaan na sa panimula ang mga ito ay hindi naiiba sa decimal na sistema ng numero na pamilyar sa atin. Ang pagdaragdag, pagbabawas, at pagpaparami sa mga ito ay isinasagawa ayon sa parehong pamamaraan.

Bakit hindi tayo gumamit ng ibang mga sistema ng numero? Higit sa lahat dahil sa ating pang-araw-araw na buhay ay nakasanayan na nating gamitin ang sistema ng decimal na numero at hindi na natin kailangan ng iba pang sistema ng numero. Sa mga kompyuter, ginagamit ang binary number system, dahil medyo simple ang pagpapatakbo sa mga numerong nakasulat sa binary form.

Ang hexadecimal system ay kadalasang ginagamit sa computer science, dahil ang pagsusulat ng mga numero dito ay mas maikli kaysa sa pagsusulat ng mga numero sa binary system. Ang tanong ay maaaring lumitaw: bakit hindi gumamit ng isang sistema ng numero, halimbawa base 50, upang magsulat ng napakalaking numero? Ang ganitong sistema ng numero ay nangangailangan ng 10 ordinaryong digit kasama ang 40 na mga palatandaan, na tumutugma sa mga numero mula 10 hanggang 49, at malamang na walang sinuman ang gustong magtrabaho kasama ang apatnapung character na ito. Samakatuwid, sa totoong buhay, ang mga sistema ng numero batay sa mga base na higit sa 16 ay halos hindi ginagamit.

Ang pamamaraan ng kumakatawan sa impormasyon sa binary form ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng paglalaro ng sumusunod na laro. Kailangan nating makuha ang impormasyong interesado tayo mula sa kausap sa pamamagitan ng pagtatanong, ngunit tumatanggap lamang ng isa sa dalawang OO o HINDI bilang tugon. Ang isang kilalang paraan upang makuha ang binary form ng impormasyon sa panahon ng pag-uusap na ito ay upang ilista ang lahat ng posibleng mga kaganapan. Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng kaso ng pagkuha ng impormasyon. Isang tanong lang ang itatanong mo: "Umuulan ba?" Kasabay nito, sumasang-ayon kami na may pantay na posibilidad na inaasahan mo ang sagot: "OO" o "HINDI". Madaling makita na ang alinman sa mga sagot na ito ay nagdadala ng pinakamaliit na piraso ng impormasyon. Ang bahaging ito ay tumutukoy sa isang yunit ng impormasyon na tinatawag na bit. Salamat sa pagpapakilala ng konsepto ng isang yunit ng impormasyon, naging posible na matukoy ang laki ng anumang impormasyon sa pamamagitan ng bilang ng mga bit. Sa makasagisag na pagsasalita, kung, halimbawa, ang dami ng lupa ay tinutukoy sa metro kubiko, kung gayon ang dami ng impormasyon ay tinutukoy sa mga piraso. Sumang-ayon tayo na katawanin ang bawat positibong sagot na may numero 1, at bawat negatibong sagot na may numero 0. Pagkatapos ang pagtatala ng lahat ng mga sagot ay bumubuo ng isang multi-valued na pagkakasunud-sunod ng mga numero na binubuo ng mga zero at isa, halimbawa 0100.

Mas gusto ng mga tao ang decimal system marahil dahil nagbibilang sila sa kanilang mga daliri mula pa noong sinaunang panahon. Ngunit ang mga tao ay hindi palaging at hindi sa lahat ng dako ay gumagamit ng sistema ng decimal na numero. Sa China, halimbawa, ang sistema ng quinary number ay ginamit sa mahabang panahon. Ginagamit ng mga computer ang binary system dahil marami itong pakinabang sa iba:

• Upang ipatupad ito, ginagamit ang mga teknikal na elemento na may dalawang posibleng estado (mayroong kasalukuyang - walang kasalukuyang, magnetized - non-magnetized);
• ang pagtatanghal ng impormasyon sa pamamagitan lamang ng dalawang estado ay maaasahan at lumalaban sa ingay;
• posibleng gamitin ang apparatus ng Boolean algebra upang magsagawa ng mga lohikal na pagbabago ng impormasyon;
• Ang binary arithmetic ay mas simple kaysa sa decimal na arithmetic (ang binary na karagdagan at multiplication table ay napakasimple).

Sa binary number system mayroon lamang dalawang digit, na tinatawag na binary digits. Ang pagdadaglat ng pangalang ito ay humantong sa paglitaw ng terminong bit, na naging pangalan ng digit ng isang binary na numero. Ang mga timbang ng mga digit sa binary system ay nag-iiba sa kapangyarihan ng dalawa. Dahil ang bigat ng bawat digit ay pinarami ng alinman sa 0 o 1, ang resultang halaga ng numero ay tinutukoy bilang ang kabuuan ng mga katumbas na kapangyarihan ng dalawa. Kung ang anumang bit ng isang binary na numero ay 1, kung gayon ito ay tinatawag na makabuluhang bit. Ang pagsulat ng isang numero sa binary ay mas mahaba kaysa sa pagsulat sa sistema ng decimal na numero.

Ang mga operasyong aritmetika na isinagawa sa binary system ay sumusunod sa parehong mga patakaran tulad ng sa decimal system. Sa binary number system lamang ang paglilipat ng mga unit sa pinaka makabuluhang digit ay nangyayari nang mas madalas kaysa sa decimal number system. Ito ang hitsura ng isang karagdagan na talahanayan sa binary:

Tingnan natin kung paano nangyayari ang proseso ng pagpaparami ng mga binary na numero. I-multiply natin ang bilang na 1101 sa 101 (ang parehong mga numero ay nasa binary number system). Ginagawa ito ng makina sa sumusunod na paraan: ito ay tumatagal ng numero 1101 at, kung ang unang elemento ng pangalawang kadahilanan ay 1, pagkatapos ay ipinasok ito sa kabuuan. Pagkatapos ay inililipat nito ang numero 1101 sa kaliwa ng isang posisyon, sa gayon ay nakakakuha ng 11010, at kung ang pangalawang elemento ng pangalawang kadahilanan ay katumbas ng isa, pagkatapos ay idinagdag din ito sa kabuuan. Kung ang elemento ng pangalawang multiplier ay zero, kung gayon ang kabuuan ay hindi nagbabago.

Binary division ay batay sa paraang pamilyar sa iyo mula sa decimal division, iyon ay, ito ay bumababa sa pagsasagawa ng multiplication at subtraction operations. Ang pagsasagawa ng pangunahing pamamaraan - pagpili ng isang numero na isang multiple ng divisor at nilayon upang bawasan ang dibidendo - ay mas simple dito, dahil ang naturang numero ay maaari lamang maging alinman sa 0 o ang divisor mismo.

Dapat pansinin na ang karamihan sa mga calculator na ipinatupad sa isang computer ay nagpapahintulot sa iyo na magtrabaho sa mga sistema ng numero na may mga base 2, 8, 16 at, siyempre, 10.

Kapag nagse-set up ng computer hardware o gumagawa ng bagong program, kinakailangan na "tumingin sa loob" ng memorya ng makina upang masuri ang kasalukuyang estado nito. Ngunit lahat ng bagay doon ay puno ng mahabang pagkakasunud-sunod ng mga zero at mga binary na numero. Ang mga pagkakasunud-sunod na ito ay napaka-inconvenient para sa isang tao na sanay sa mas maikling notasyon ng mga decimal na numero. Bilang karagdagan, ang mga likas na kakayahan ng pag-iisip ng tao ay hindi nagpapahintulot sa amin na mabilis at tumpak na tantiyahin ang laki ng isang numero na kinakatawan, halimbawa, sa pamamagitan ng kumbinasyon ng 16 na mga zero at isa.

Upang gawing mas madaling makita ang isang binary na numero, nagpasya silang hatiin ito sa mga pangkat ng mga digit, halimbawa, tatlo o apat na digit. Ang ideyang ito ay naging napaka-matagumpay, dahil ang pagkakasunod-sunod ng tatlong bits ay may 8 kumbinasyon, at ang pagkakasunod-sunod ng 4 na bits ay may 16. Ang mga numero 8 at 16 ay mga kapangyarihan ng dalawa, kaya madaling itugma ang mga binary na numero. Sa pagbuo ng ideyang ito, dumating kami sa konklusyon na ang mga grupo ng mga bit ay maaaring ma-encode habang binabawasan ang haba ng pagkakasunud-sunod ng mga character. Upang mag-encode ng tatlong bit, walong digit ang kinakailangan, kaya kumuha kami ng mga numero mula 0 hanggang 7 ng decimal system. Upang mag-encode ng apat na bits, labing-anim na character ang kailangan; Upang gawin ito, kumuha kami ng 10 digit ng decimal system at 6 na titik ng Latin na alpabeto: A, B, C, D, E, F. Ang mga nagresultang sistema, na may mga base na 8 at 16, ay tinawag na octal at hexadecimal, ayon sa pagkakabanggit.

Gumagamit ang octal number system ng walong magkakaibang digit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ang base ng system ay 8. Kapag nagsusulat ng mga negatibong numero, isang minus sign ang inilalagay sa harap ng sequence ng mga digit. . Ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga numero na kinakatawan sa sistema ng octal na numero ay ginagawa nang napakasimple tulad ng ginagawa sa kilalang sistema ng numero ng decimal. Sa iba't ibang mga programming language, ang mga octal na numero ay nagsisimula sa 0, halimbawa, ang 011 ay nangangahulugang ang numero 9.

Ang sistema ng hexadecimal na numero ay gumagamit ng sampung magkakaibang digit at ang unang anim na titik ng alpabetong Latin. Kapag nagsusulat ng mga negatibong numero, maglagay ng minus sign sa kaliwa ng pagkakasunod-sunod ng mga numero. Upang makilala ang mga numerong nakasulat sa hexadecimal mula sa iba kapag nagsusulat ng mga programa sa computer, inilalagay ang 0x sa harap ng numero. Ibig sabihin, magkaibang numero ang 0x11 at 11. Sa ibang mga kaso, maaari mong ipahiwatig ang base ng sistema ng numero na may isang subscript.

Ang sistema ng hexadecimal na numero ay malawakang ginagamit upang tukuyin ang iba't ibang kulay ng kulay kapag nag-encode ng graphic na impormasyon (modelo ng RGB). Kaya, sa Netscape Composer hypertext editor, maaari kang magtakda ng mga kulay para sa background o teksto sa parehong decimal at hexadecimal na mga sistema ng numero.

Ang Wikispaces ay itinatag noong 2005 at mula noon ay ginamit na ng mga tagapagturo, kumpanya at indibidwal sa buong mundo.

Sa kasamaang palad, dumating na ang oras kung saan kailangan nating gumawa ng mahirap na desisyon sa negosyo na wakasan ang serbisyo ng Wikispaces.

Una naming inanunsyo ang pagsasara ng site noong Enero 2018, sa pamamagitan ng isang banner sa buong site na lumitaw sa lahat ng naka-log in na user at kailangang i-click upang i-dismiss

Sa panahon ng pagsasara, isang hanay ng mga banner ang ipinakita sa mga user, kabilang ang isang countdown banner sa huling buwan. Bilang karagdagan, ang home page ng Wikispaces.com ay naging isang blog, na nagdedetalye ng mga dahilan para sa pagsasara. Ang mga Administrator ng Site ng Pribadong Label ay hiwalay na nakipag-ugnayan tungkol sa pagsasara

Bakit isinara ang Wikispaces?

Humigit-kumulang 18 buwan na ang nakalipas, nakumpleto namin ang isang teknikal na pagsusuri ng imprastraktura at software na ginamit namin upang maghatid ng mga user ng Wikispaces. Bilang bahagi ng pagsusuri, naging maliwanag na ang kinakailangang pamumuhunan upang maisama ang imprastraktura at code na naaayon sa mga modernong pamantayan ay napakalaki. Ginalugad namin ang lahat ng posibleng opsyon para mapanatiling tumatakbo ang Wikispaces ngunit kailangan naming tapusin na hindi na mabubuhay ang patuloy na patakbuhin ang serbisyo sa mahabang panahon. Kaya, nakalulungkot, kinailangan naming isara ang site - ngunit naantig kami sa mga mensahe mula sa mga user sa buong mundo na nagsimulang lumikha ng mga wiki gamit ito at ngayon ay nagpapatakbo ng mga ito sa mga bagong platform.

Nais naming samantalahin ang pagkakataong ito upang magpasalamat sa iyong suporta sa mga nakaraang taon.

Notasyon ay isang paraan ng pagsulat ng isang numero gamit ang isang tinukoy na hanay ng mga espesyal na character (digit).

Notasyon:

• nagbibigay ng representasyon ng isang set ng mga numero (integers at/o reals);

• nagbibigay sa bawat numero ng isang natatanging representasyon (o hindi bababa sa isang karaniwang representasyon);

• ipinapakita ang algebraic at arithmetic na istraktura ng isang numero.

Ang pagsulat ng isang numero sa ilang sistema ng numero ay tinatawag code ng numero.

Ang isang hiwalay na posisyon sa isang display ng numero ay tinatawag discharge, na nangangahulugang ang numero ng posisyon ay numero ng ranggo.

Ang bilang ng mga digit sa isang numero ay tinatawag kaunting lalim at sumasabay sa haba nito.

Ang mga sistema ng numero ay nahahati sa posisyonal At hindi nakaposisyon. Ang mga sistema ng numero ng posisyon ay nahahati

sa homogenous At magkakahalo.

octal number system, hexadecimal number system at iba pang sistema ng numero.

Pagsasalin ng mga sistema ng numero. Maaaring ma-convert ang mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa.

Talaan ng mga sulat ng mga numero sa iba't ibang sistema ng numero.