Сечение усеченного конуса плоскостью. Построение сечения конуса плоскостью. Определение промежуточных точек и построение проекций эллипса

Цилиндр представляет собой тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (Рис.1).

Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими.

Так как основания совмещаются параллельным переносом, то они равны. И так как они лежат в параллельных плоскостях, то образующие цилиндра параллельны и равны.

Если образующие перпендикулярны основанию, то цилиндр называется прямым.

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из образующих.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. А высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Сечение цилиндра плоскостями

Если взять сечение цилиндра плоскостью, проходящей по его оси, то получится прямоугольник. (Рис.1) Такое сечение называется осевым. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, также представляет собой прямоугольник. Две его стороны - образующие цилиндра, а две другие стороны - параллельные хорды оснований.

Теорема. Плоскость сечения цилиндра, параллельная его плоскости основания, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. (Рис.1.1)

Пусть плоскость α - секущая плоскость, параллельная основанию. Подвергнем плоскость α движению в верх вдоль оси цилиндра. Параллельным переносом совместим плоскость α с плоскостью верхнего основания цилиндра. Таким образом сечение боковой поверхности совпадет с окружностью верхнего основания. Теорема доказана.

Конус. Осевое сечение конуса. Сечения конуса плоскостями. Усеченный конус. Вписанные и описанные пирамиды и конусы

Конус — это тело, состоящее из круга, точки, не лежащей на плоскости круга, и отрезков, соединяющих эту точку с точками круга.

Основой конуса является круг, вершиной конуса является точка, не лежит в площади круга, образующими конуса являются отрезки, соединяющие вершину конуса с точками круга основы.

Прямым является конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром его основания, перпендикулярна к плоскости основания. Высотой конуса есть перпендикуляр, опущенный из вершины на площадь основания.

Осью прямого конуса прямая, содержащая его высоту.

Плоскость, параллельная основе прямого конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса.

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то его сечение — это равнобедренный треугольник, основание которого равен диаметру основания конуса, а боковые стороны являются образующими конуса. Такой сечение называется осевым.

Конус, осевой сечение которого является равносторонним треугольником , называется равносторонним конусом. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса под углом к плоскости основания, то его сечение — это равнобедренный треугольник, основание которого является хордой основания конуса, а боковые стороны — образующими конуса.

Если секущая плоскость проходит параллельно основанию конуса, то сечение является круг с центром на оси конуса. Такая секущая плоскость рассекает конус на две части — конус и усеченный конус. Круги, лежащие в параллельных плоскостях этого конуса, — его основания; отрезок, соединяющий их центры, — это высота усеченного конуса.

Пирамидой, вписанной в конус , называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в круг основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, является образующими конуса.

Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, основанием которой является многоугольник, описанный вокруг основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями к конусу.

Это интересно . Если в геометрии для изображения фигур используют параллельное проектирование, то в живописи, архитектуре, фотографии используют центральное проектирования.

Например, в пространстве зафиксировано некоторую точку О (центр проектирования) и плоскость α, не проходящей через эту точку. Через точку пространства и центр проектирования проведена прямая, которая пересекает заданную плоскость в точке, которую называют центральной проекцией точки на плоскость. Центральное проектирование не сохраняет параллельность. Изображение пространственных фигур на плоскости с помощью центрального проектирования называется перспективой. Теорией перспективы занимались художники Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер.

Конус. Сечение конуса плоскостями

Определение. Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет, называется конусом .

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении ломаной, состоящей из гипотенузы и катета, образует поверхность конуса .

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении катета, образует фигуру, которая называется основанием конуса .

Понятно, что основание конуса есть круг с центром на оси вращения, радиус которого равен длине катета вращаемого треугольника, не совпадающего с осью вращения.

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении гипотенузы треугольника, образует фигуру, которая называется боковой поверхностью конуса .

Гипотенуза треугольника называется образующей конуса. Длина катета, лежащего на оси вращения, называется высотой конуса.

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор , радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r . Площадь кругового сектора равна , где α - градусная мера дуги ABA ´, поэтому

Выразим α через l и r . Так как длина дуги ABA ´ равна 2πr , то , откуда . Подставив это выражение в формулу для боковой поверхности, получим

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями .

1. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник , основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым .

Конспект урока по теме:

«Конус. Сечение конуса плоскостями».

Разработала:

преподаватель математики ГБПОУ КТТ

Сарычева С.В.

Цели и задачи урока :

Образовательные: познакомить учащихся с понятием конической поверхности и конуса; рассмотреть основные элементы конуса; привить навыки построения конуса; рассмотреть различные виды сечений конуса; осуществить связь между новым материалом и изучением цилиндра. Прививать умение реализовывать полученные знания при решении задач различного уровня сложности, в том числе тестовых заданий.

Развивающие: способствовать развитию пространственного воображения; проводить аналогию с ранее изученным материалом; развивать логическое мышление учащихся, сообразительность, расширять их кругозор.

Воспитывающие: продолжать воспитывать у учащихся уважительное отношение друг к другу; воспитывать культуру речи, аккуратность.

Тип урока : урок изучения нового материала.

Методы обучения : информационно-иллюстративный, элементы информационных технологий, проблемный метод «неоконченных решений», элементы лекции.

Формы работы учащихся : индивидуальная и групповая.

Оборудование для урока : мультимедийный проектор, экран, ноутбук, презентация к уроку, модели тел вращения, учебник, штатив, проволока.

Прогнозируемый результат : уметь оперировать понятиями ось конуса, образующая, радиус, диаметр, высота, боковая поверхность, сечения; уметь распознавать их на рисунках, уметь приводить примеры предметов имеющих форму конуса, уметь решать задачи с использованием данных понятий.

План урока :

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Актуализация знаний.

Изучение конуса.

Программируемый опрос.

Решение задач.

Домашнее задание.

Подведение итогов урока.

Ход урока.

Организационный момент.

Проверить подготовку группы к работе, отметить отсутствующих. Настроить учащихся на работу.

Арабский математик Х века утверждал: «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». (Абу-р-Райхан ал - Бируни) (Слайд 1)

Проверка домашнего задания.

Для проверки теоретической части домашнего задания проводится фронтальный опрос. Учащимся предлагается ответить на вопросы альтернативного теста (ответы только «да» и «нет»).

Может ли осевое сечение цилиндра быть: квадратом, трапецией, прямоугольником, кругом?

Верно ли, что у прямого цилиндра образующая равна высоте?

Верно ли, что любое сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси, есть окружность, равная окружности основания?

Верно ли, что если радиус равен 12 см, то диаметр равен 240?

Во время фронтального опроса на доске воспроизводится решение домашних задач, если возникли вопросы по решению.

Актуализация знаний.

Вспомните, пожалуйста, как мы изучали цилиндр. С чего мы начинали изучение? С того, что попытались найти вокруг нас тела, имеющие цилиндрическую форму. Потом мы рассмотрели понятие цилиндра, его основные элементы, сечения.

Аналогичным образом сегодня мы будем знакомиться с конусом. Осмотритесь вокруг и назовите тела, которые имеют коническую форму. (Слайд 2-8)

Итак, тема урока «Конус. Сечение конуса плоскостями». (Слайд9-10) (Учащиеся записывают тему в тетрадь.)

Изложение нового материала.

Историческая справка. (Слайд 11)

Конус в переводе с греческого « konos » означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. Вопросами изучения конуса занимались Архимед, Демокрит, Платон, Сократ. Апполоний Пергский написал большой трактат о конических сечениях (260-170 гг. до н.э.). Он был учеником Евклида (III в. до н. э.). Евклид создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и в настоящее время, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

Конической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку А и пересекает данную линию MN . (Слайд 12)

Конусом называется тело, ограниченное частью поверхности, расположенной по одну сторону от неподвижной точки, и плоскостью, пересекающей все прямые по ту же сторону от точки. (Слайд 13)

Мы будем изучать конус, у которого плоскость, пересекающая прямые имеет вид круга. Дадим ему определение: конусом (круговым) называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания, - образующие. (Слайд 14)

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. (Слайд 15) (В тетради выполняется рисунок.)

Для расширения и углубления знаний учащихся по теме проводится эксперимент. Учащимся предлагается штатив и проволока, из которой необходимо выгнуть прямоугольный треугольник. Закрепив его на штативе, они вращают его вокруг одного из катетов. При этом получают наглядное представление о конусе. (Слайд 16)

Конус называется прямым, если высота перпендикулярна плоскости основания. (Слайд 17)

Рассмотрим основные элементы конуса. (Слайд 14)

(Учащиеся выполняют рисунок в тетради и делают необходимые записи.)

Познакомимся с сечениями конуса плоскостями.

Сечением конуса параллельным плоскости основания является круг.

Радиус сечения вычисляется по формуле , где – высота малого конуса, а высота большого конуса. (Слайд 17)

Осевое сечение конуса проходит через ось симметрии и диаметр основания.

Оно имеет вид равнобедренного треугольника, у которого равные стороны являются образующими, а основание – диаметром круга. . Высота, образующая и радиус составляют прямоугольный треугольник и связаны теоремой Пифагора : . (Слайд 18)

5. Программируемый опрос.

Цель опроса – проверить усвоение разобранной темы. Задание высвечивается на экране с помощью проектора. Учащиеся имеют два листочка, на которых под копирку пишут ответы на вопросы. Один листок сдается учителю, второй остается у них, чтобы выполнить самопроверку.

По рисунку укажите (слайд 20-21)

Радиусы основания конуса.

Высоту конуса.

Образующие конуса.

Осевое сечение

6. Решение задач.

№ 1. Для участия в маскараде необходимо изготовить колпак высотой 40 см. Какой длины должна быть боковая сторона колпака и его радиус, если размер головы 36 см? (Слайд 22)

№ 2. Какой высоты должна быть палатка, если диаметр основания равен 5 м, а растяжки, удерживающие палатку равны 8 м? (Слайд 23)

7. Домашнее задание.

П. 184 – 185 стр.322-324, № 9 и № 10 на стр. 335. (Слайд 24)

8. Подведение итогов урока.

Для подведения итогов урока вернемся к слайду с прогнозируемыми результатами. Скажите, достигли ли мы поставленных целей. Для опроса можно поднять 2-3 учащихся.

Приложение:

Слайд 1 Слайд 2

Слайд 19 Слайд 20

Слайд 21 Слайд 22

Слайд 23 Слайд 24

1) Окружность (фиг.308,а), если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса;
2) Эллипс (фиг.308,б) - замкнутую кривую, если секущая плоскость наклонена к оси вращения и пересекает все образующие конуса;
3) Параболу (фиг.308,в) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей конуса;
4) Гиперболу (фиг.308,г) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (в частности, когда секущая плоскость параллельна оси конуса);
5) Прямые (фиг.308,д), если секущая плоскость проходит через вершину конуса.
В третьем и четвертом случаях секущая плоскость не пересекает всех образующих конуса, вследствие чего кривая сечения будет разомкнутая.
1. Сечение прямого кругового конуса фронтально- проектирующей плоскостью, проходящей через вершину конуса по двум образующим (фиг.309).

Фронтально - проектирующая плоскость δ пересекает поверхность конуса по образующим SA и SB и хорде АВ основания конуса.
I. Фронтальная проекция S 2 A 2 и S 2 B 2 образующих представляет собой отрезки" совпадающие с фронтальной проекцией δ 2 ; фронтальная проекция хорды АВ является точкой В 2 = А 2 .
Горизонтальная проекция сечения изобразится равнобедренным треугольником A 1 S 1 B 1 сторонами которого будут проекции S 1 A 1 и S 1 B 1 образующих и основанием - проекция А 1 В 1 хорды.
II. Построение изометрической проекции усеченного конуса осуществляем в следующем порядке: строим изометрическую проекцию неусеченного конуса; на его основании проводим хорду АВ , пользуясь размером k . Точки А" и В" соединяем прямыми с вершиной S" . Обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
фиг.310).

Горизонтальная плоскость уровня λ пересекает боковую поверхность конуса по окружности - параллели.
I. Фронтальная проекция фигуры сечения представляет собой отрезок, равный диаметру круга сечения D 1 совпадающий с фронтальной проекцией λ 2 . Горизонтальная проекция - круг.
II. Построение аксонометрической проекции (диметрии) усеченного конуса выполняется в следующем порядке.
II, а : на оси z" намечаем точку О" - центр основания и точку О" 1 - центр фигуры сечения на расстоянии, равном Н 1 . Приняв эти точки за центры, строим аксонометрические проекции основания и фигуры сечения - два овала, пользуясь размерами D и D 1 взятыми с горизонтальной проекции.
II, б. Проводим контурные образующие, обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
фиг. 311).

I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком A 2 В 2 , сливающимся с проекцией δ 2 и равным большой оси эллипса.
Горизонтальные проекции А 1 и В 1 концов отрезка лежат на горизонтальных проекциях контурных образующих, места которых определяются при помощи вертикальных линий связи.
Фронтальная проекция малой оси эллипса выявлена точкой С 2 = D 2 , находящейся на середине отрезка A 2 B 2 . Горизонтальные проекции C 1 и D 1 концов малой оси лежат на проекциях образующих S 1 K 1 и S 1 K , у которых расстояние между точками С 1 и D 1 равно малой оси эллипса. Точки А, В и С, D - концы осей, называются опорными (характерными).
I, б. Горизонтальные проекции промежуточных точек Е, F, N и ¯М определяются при помощи дополнительных образующих; так же как и проекции точек С, D .
I. в. Натуральная величина фигуры сечения - эллипс - найдена способом перемены плоскости проекций, причем достаточно найти только опорные точки А, В, С и D ; зная, что длина отрезка А 2 В 2 равна большой оси эллипса, а расстояние между точками C 1 D 1 - малой оси, можно построить эллипс (см.фиг.150).
II. Для получения развертки поверхности усеченного конуса строят развертку поверхности неусеченного конуса, затем на развертку боковой поверхности наносят параллели радиусами R, R 1 , R 2 , R 3 и R 4 и образующие, при помощи которых найдены опорные и промежуточные точки. Для этого делят участки дуг на горизонтальной проекции между точками К 2 1 и К 1 1 ; К 1 1 и К 0 1 ; К 0 1 и К 3 1 на более мелкие части.
Через точки пересечения образующих с соответствующими параллелями проводят кривую линию сечения. Пристроив к любой точке линии сечения, например к точке В , соответствующей точкой эллипс - сечение, получают развертку поверхности усеченного конуса.
III. При построении аксонометрической проекции (изометрия) можно придерживаться такого порядка:
III, а. Строят аксонометрическую проекцию основания конуса; в основании на оси х" отмечают точки А" 1 , II" 1 , О" 1 , IV" 1 ,В" 1 , пользуясь размерами, взятыми с горизонтальной проекции. На прямых, проведенных из точек А" 1 и B" 1 откладывают высоты этих точек.
Затем соединяют полученные точки А", В" прямой и на ней, путем проведения вертикальных прямых из точек II" 1 ,O" 1 , IV" 1 , получают точки II" 1 , О" 1 , IV" 1 .
Через точки II", О", IV" проводят прямые, параллельные оси y" и на них находят точки F" и Е", D" и С", N" и М" , пользуясь размерами, взятыми на горизонтальной проекции сечения.
Точки А", Е", С, M", В", N", D", F и А" соединяют последовательно кривой; проводят контурные образующие и обводят видимые и невидимые элементы.
.

I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком, сливающимся с проекцией δ 2
Горизонтальную проекцию сечения находят при помощи параллелей.
На проекциях боковой поверхности конуса наносят проекции параллелей (например, трех), причем меньшая должна проходить через точку D 2 пересечения проекции δ 2 проекцией контурной образующей.
I, б. Проекция δ 2 пересекает проекции основания и параллелей в точках A 2 , В 2 , С 2 , D 2 и С 1 2 , В 1 2 , А 1 2 .
Пользуясь вертикальными линиями связи, находят горизонтальные проекции A 1 , B 1 , C 1 , D 1 и С 1 1 , В 1 1 , A 1 1 этих точек.
Проведенная плавная кривая через точки А 1 В 1 С 1 D 1 С 1 1 , В 1 1 и А 1 1 явится горизонтальной проекцией линии пересечения, а прямая А 1 А 1 1 - проекцией линии сечения основания конуса.
I, в. Фигуру сечения конуса возможно найти или способом перемены плоскостей проекции, или путем построения параболы по данной вершине D 1 и точкам А 1 А 1 1 , положение которых определяется по комплексному чертежу.
II. Построение развертки боковой поверхности аналогично приведенному в предыдущем примере. Для получения полной развертки пристраивают к соответствующей точке дуги сектора, например к точке IV круг - основание конуса; проводят хорду A 1 0 A 0 , пользуясь размером k , и пристраивают к этой хорде сечение.
III, а. Для построения аксонометрической проекции (изометрии) сначала строят аксонометрическую проекцию основания конуса, проводят на нем хорду A 1 1 A 1 , пользуясь размером k , и отмечают вторичные проекции точек В" 1 , C" 1 , D" 1 , C" 1 1 , B" 1 1 используя размеры x 1 , x 2 , х 3 и y 1 , y 2 . На вертикальных линиях, проведенных из этих точек, откладывают высоты z 1 , z 2 и z 3 , получают аксонометрические проекции точек параболы. Затем соединяют последовательно точки А" 1 , В", С 1 ", D", О", В 1 " и А 1 1 " плавной кривой и получают аксонометрическую проекцию параболы.
III. б. Потом проводят контурную образующую и обводят видимые и невидимые элементы.