Урок "сравнение отрезков и углов". Отрезок. Единицы измерения длины

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.

Способы сравнения двух отрезков

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.

Сравнить фигуры - значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.

Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; <; =). Например, длина отрезка АБ - 2 см, а ВГ - 8 см, записываем результат сравнения так: АБ < ВГ или ВГ > АБ.

Сравнивать фигуры можно разными способами , выбор которых зависит от возможностей или условий:

• визуальный способ;
• измерительный;
• сравнение наложением;
• сравнение в координатной сетке.

Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.

Измерение длины

Самый простой способ - измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки . Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.

Наложение друг на друга

Как происходит совмещение АБ и ВГ:

• Нужно конец, А одного из них совместить с концом В другого, если совпадают и другие концы этих отрезков - Б и Г, значит, они равны, что записывается с помощью знака равно.
• Если нет, значит, один из них длиннее другого, и записывается это также с помощью математических знаков больше или меньше (> или <).

Бывает так, что при наложении одного отрезка на другой ровно половина одного из них будет совмещена с другим. Точку, которая делит его на две равные части, называют серединной точкой. И если у нас есть серединная точка В, то АВ=ВБ.

Примерно так же наложением сравнивают не только прямые, но и другие геометрические фигуры, а также углы.

Можно сделать «линейку» из полоски бумаги, при этом такую линейку не нужно линовать, достаточно отметить на ней начало и конец одного из отрезков. Затем вы прикладываете импровизированную линейку ко второму, совмещая его начало с первой отметкой и, сравниваете расположение второй отметки по отношению к его концу. Таким способом можно сравнивать и довольно большие фигуры, например, расстояние между столбиками забора, но использовать при этом лучше не бумажную полоску, а веревку.

Два отрезка называются равными , если их можно совместить методом наложения. Если есть возможность приложить их друг к другу, просто посмотрите, какой из них длиннее. Но так можно сделать не всегда.

Если под рукой имеется циркуль, поставьте одну ножку циркуля в начало, а другую в конец первого отрезка. Затем не сдвигая ножки циркуля, установите одну из них в начало второго и посмотрите, если вторая ножка циркуля в точке, обозначающей конец - они равны. Если вторая ножка на самой прямой - первый отрезок меньше, если за ним - первый больше.

Сравнение в координатной сетке

Допустим, что у нас есть два отрезка, координаты которых мы знаем - а (Х1, Y1; Х2, Y2) и b (Х3, Y3; X4, Y4).

Первое, что нужно сделать - придать координатам числовые значения:

• Длина, а - Da = √((X1 - X2) ² + (Y1 - Y2) ²);
• Длина b - Db = √((X3 - X4) ² + (Y3 - Y4) ²).

Пусть X1 = -7, Y1 = 4, X2 = 3, Y2 = -4, X3 = -3, Y3 = -5, X4 = 0, Y4 = -3. Получаем:

Da = √ ((-7 - 3) ² + (4 - (-4)) ²) = √ (-10 ² + 8 ²) = √ 100 + 64 = √ 164

Db = √ ((-3 - 0) ² + (-5 - (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73

√ 164 > √ 73, значит, Da > Db.

Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.

Примеры

Рассмотрим сравнение методом наложения. У нас имеется два отрезка - АБ и ВГ.

Чтобы узнать, равны они или нет, просто приложим их друг к другу так, чтобы их «начала» были в одной точке, то есть совместим точки, А и В.

Если мы видим, что АБ получается частью ВГ, значит, он меньше, то есть АБ< ВГ, а если при наложении оба конца отрезков совмещаются - значит, они равны.

Теперь рассмотрим сравнение отрезков путем измерения. При помощи линейки вычисляем длину каждого отрезка. Например, длина AB = 2 см, а CD = 8 см. 8>2, значит, CD>AB, то есть отрезок CD длиннее AB.

Урок № 4 (15.09.16)

Предмет: геометрия, 7 класс.

Тема: Сравнение отрезков и углов.

Цели урока:

1) Обучающая: формирование теоретических знаний по теме «Сравнение отрезков и углов»; формирование навыков решения задач на сравнение отрезков и углов.

2) Развивающая : развитие умений применять полученные теоретические знания при выполнении практических заданий.

3) Воспитывающая : воспитание интереса к изучению математики, ответственности, самостоятельности.

Оборудование: учебник «Геометрия 7 – 9 класс» Л.С. Атанасян и др., рабочая тетрадь, карандаш, линейка, раздаточный материал, фигуры из картона.

Тип урока: изучение нового материала

План урока:

Организационный момент.

Актуализация опорных знаний.

Получение знаний.

Закрепление нового материала.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся. Ставятся цели и определяются задачи урока.

Объявляется тема урока. Учащиеся записывают тему урока и дату в рабочих тетрадях.

2. Актуализация опорных знаний.

Давайте вспомним из материала предыдущего урока, что такое отрезок и угол (Учащимся предлагается ответить на вопросы):

– Что такое отрезок?

– Как можно обозначать отрезки?

– Что называют углом?

– Как обозначают углы?

– Изобразите развёрнутый и неразвёрнутый углы.

Сегодня на уроке мы снова поговорим об отрезках и углах, а точнее выясним, как сравнить два отрезка или два угла. Также познакомимся с новым для вас понятием биссектрисы угла.

3. Получение знаний.

Каждому из вас известно, что в окружающем нас мире встречаются предметы, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Например, два одинаковых карандаша, два одинаковых автомобиля, два одинаковых будильника.

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Давайте возьмём две фигуры F 1 и F 2 (рисунок 1), вырезанные из бумаги.

Рисунок 1.

Чтобы установить, равны они или нет, наложим одну фигуру на другую. Предположим, что наши фигуры совместились, тогда можем сказать, что они равны.

А вот некоторые фигуры P 1 и P 2 (рисунок 2).

Рисунок 2.

Если попробуем наложить их друг на друга эти две фигуры, то увидим, что их совместить невозможно, а, следовательно, они не равны.

Можем сделать следующий вывод:

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением .

Поговорим, как сравнить два отрезка. Возьмём два произвольных отрезка (рисунок 3).

Рисунок 3.

Чтобы установить, равны данные отрезки или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого (рисунок 3). При этом совместятся и два других конца отрезков, а, следовательно, отрезки равны.

Теперь возьмём отрезок АВ и отрезок АС (рисунок 4), и наложим их друг на друга таким же образом. Видим, что отрезки не совместились полностью, а значит, они не равны.

Рисунок 4.

Из рисунка также видно, что отрезок АВ составляет часть отрезка АС, поэтому отрезок АВ меньше отрезка АС. Записывают это так: АВ < АС.

Поговорим о том, что же называют серединой отрезка . Рассмотрим отрезок АВ. Отметим на нём точку С, которая делит его на две равные части (рисунок 5). Таким образом, можно сказать, что точка С и есть середина отрезка АВ, т.е. отрезок АС равен отрезку СВ.

Рисунок 5.

Сформулируем определение:

Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка .

Далее рассмотрим два неразвёрнутых угла: угол 1 и угол 2 (рисунок 6). Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон.

Рисунок 6.

Если две другие стороны также совместятся, то и углы полностью совместятся, а, значит, они равны. Но в нашем случае эти стороны не совместились, следовательно, наши углы не равны, и меньшим является угол, который составляет часть другого, а это угол 1.

Записываем это так: 1 < 2.

Возьмём неразвёрнутый угол АОС и развёрнутый угол ВОС (рисунок 7), наложим их друг на друга указанным выше способом (рисунок 8), то увидим, что неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого, а, следовательно, развёрнутый угол больше неразвёрнутого, т.е. угол ВОС больше угла АОС.

Рисунок 7.

Рисунок 8.

Следует отметить, что любые два развёрнутых угла , очевидно, равны.

И напоследок, возьмём некоторый угол hk . Проведём луч l из вершины этого угла так, чтобы он разделил его на два равных угла (рисунок 9).

Рисунок 9.

Таким образом, сформулируем следующее определение:

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла . В нашем случае луч l – биссектриса угла hk .

4. Закрепление нового материала.

Для закрепления материала учащимся предлагается выполнить следующие практические задания.

Задание 1. На прямой A отмечены точки C и D , которые лежат между точками A и B , точка C лежит между точками А и D , отрезки A D и CB равны. Является ли середина отрезка A B серединой отрезка CD (рисунок 10)?

Решение:

Рисунок 10.

А D = AC + CD , CB = CD + DB ,так как AD = CB , то АС= DB .

Пусть точка О – середина отрезка С D , т. е. СО=OD, CD = CO + OD .

AB=AO+OB, AO= АС + С O, OB=OD+DB. А так как АС= DB и СО=OD, то и АО=ОВ, а следовательно, О является серединой и отрезка АВ.

Задание 2. Углы AOB и COD на рисунке 11 равны, луч OE – биссектриса угла ВОС . Является ли луч OE биссектрисой угла AOD ?

Рисунок 11.

Решение: Рассмотрим ∠ AOD .

∠ AOD = ∠ AOE + ∠ EOD . Так как ∠ AOE = ∠ AO В + ∠ ВOE и ∠ EOD = ∠ EO С + ∠ СOD , причём ∠ AO В = ∠ СOD (по условию задачи), ∠ ВOE = =∠ EO С (так как ОЕ – биссектриса ∠ ВОС ), то ∠ AOE = ∠ EOD . Следовательно, ОЕ является биссектрисой ∠ AOD .

5. Рефлексия.

Подводятся итоги урока, обсуждается, что учащиеся узнали. Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы записанной на доске:

сегодня я узнал…

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я понял, что…

я научился…

у меня получилось … Оценивается работа учащихся на уроке.

6. Домашнее задание: п. 5,6 стр.10-12, № 18, 20, 30 (доп-но).

Раздаточный материал.

Сравнение геометрических фигур

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Сравнение позволяет судить о равенстве фигур, и один из способов сравнить фигуры – наложение.

(Если две геометрические фигуры удаётся совместить наложением, они равны).

Сравнение отрезков и углов

А) Как происходит совмещение отрезков AB и CD ?

Конец A одного отрезка совмещают с концом C другого отрезка. Если совпадают и другие концы B и D , то эти отрезки равны AB = CD .

Если нет, то один отрезок меньше другого и этот факт записывают также, как при сравнении чисел: AB < CD

Если совместить один конец отрезка с другим, то одна половина отрезка будет совмещена с другой.

На отрезке точку, которая делит его на две равные части, называют серединной отрезка.

Если точка K серединная точка отрезка JL , то JK = KL .

Б) Как происходит совмещение углов ∡ ABC и ∡ MNK ?

Вершину B одного угла совмещают с вершиной N другого угла и сторону BA одного угла накладывают на сторону NM другого угла так, чтобы другие стороны BC и NK были по одну сторону от совместившихся сторон.

§ 3. Сравнение отрезков и углов - Геометрия 7 класс (Атанасян Л. С.)

Краткое описание:

Вы прилежный ученик или ученица. В тетрадке у вас порядок. Вы четко понимаете, что вы делаете и как. Отрезок? Нет проблем. Вы берете карандаш, отмечаете на тетрадном листе две точки. Даже назовете их буквами: А и В. Затем берете линеечку и аккуратненько подводите ее так, чтоб провести прямую через эти две точки. И готово. Готов отрезок, и назвать вы его можете этими буквами. Что ж тут особенного и не понятного? А потом вы случайно заглядываете в тетрадку своего соседа. Там тоже начерчен отрезок. И тоже назван такими же А и В. Все так, но что-то не так. Отрезок какой-то другой. Он как-будто бы больше, или, кажется, он меньше. Понятно одно, — он лучше! Это же ваш отрезок! Но все-таки…
А если говорить об углах? Как сравнить углы? И какими должны быть эти равные углы?
На эти вопросы Геометрия дает вам однозначный ответ, предлагая воспользоваться методом наложения. Прочтите параграф, и вы сможете увидеть равные даже среди сложных геометрических фигур.
В конце параграфа вы познакомитесь с биссектрисой. Настал и ваш черед насладиться любимой всеми школьниками присказкой: «Биссектриса это такая крыса, которая бегает по всем углам и делит угол пополам!»

Видеоурок «Сравнение отрезков и углов» содержит учебный материал по данной теме геометрии и формирует представление ученика о способах сравнения различных фигур.

Особенно удачным способом демонстрации операций по сравнению фигур является анимация, которая наглядно показывает особенности операции, ее результат. При помощи анимации можно четко увидеть разницу в фигурах при их наложении. С использованием видеоурока учителю не требуется дополнительных пособий для демонстрации проведения операций с фигурами.

Согласно программе курса геометрии понятие равенства фигур уже имеется у учеников. Теперь им необходимо научиться решать геометрические задачи для поиска решения о том, равны ли геометрические фигуры. Ученикам предлагается рассмотреть простейший пример по сравнению геометрических фигур - сравнение двух отрезков. На экране изображены два отрезка, расположенные на плоскости под разными углами. Согласно изученному ранее свойству равных фигур о совмещении их путем наложения, диктор предлагает произвести эту процедуру с данными простыми фигурами.

Демонстрируется верный способ сравнения отрезков - сначала необходимо совместить один конец отрезков и наложить их друг на друга. Если второй конец также совпадет, то отрезки равны. На данном рисунке начерчены отрезки разных размеров, они при наложении не совпали, следовательно, не равны. При этом меньший отрезок может быть назван частью большего. При помощи анимации ученикам демонстрируется меньший отрезок, так как при наложении он является всего лишь частью большего. Далее производится математическое описание произведенной операции. Исследуемым отрезкам присваивается название, которое используется в математическом описании задачи. Диктор отмечает, что отрезок АС меньше отрезка АВ. Результат сравнения описывается при помощи условных обозначений АС<АВ.

Далее рассматривается понятие середины отрезка. Отрезок АВ делится на две равные части точкой С, которая в данном случае называется серединой отрезка. Описание математическим языком звучит как «точка С - середина отрезка АВ», так как образованные отрезки АС=СВ.

Следующими фигурами для сравнения берутся углы. Это простейшие фигуры, при сравнении которых обнаруживаются свои особые свойства. Способ проведения операции сравнения такой же, как и ранее - наложение. При наложении двух углов друг на друга, необходимо произвести сначала наложение одной из сторон, а вторые расположить с одно стороны от нее. При этом различия в углах могут быть подмечены оценкой положения второй стороны. При совпадении второй стороны фигуры называют равными. Так как оставшаяся сторона не совпала, можно говорить о различии между углами. При этом меньший угол составляет часть большего угла. При математическом описании данного факта указывается, что 1<2. Так следует записывать результат сравнения двух данных углов. Частным случаем сравнения двух углов является сравнения любого неразвернутого угла с развернутым. Отмечается, что неразвернутый угол всегда будет частью развернутого угла, так как он всегда будет меньше. Демонстрируется очевидный факт, что любые два развернутых угла всегда будут равными.

После рассмотрения понятия равных углов, а также сравнения двух углов ученикам может быть подано определение биссектрисы, как луча, выходящего из вершины угла и делящего угол на две равные части. Разъяснение сопровождается математическим описанием проведенной операции - в результате разбиения угла hkна два угла и при этом hl=lk формируется понятие биссектрисы угла hk - луча l.

Видеоурок «Сравнение отрезков и углов» создан для учителем в качестве наглядного пособия при объяснении нового материала по данной теме. Также материал может заменить объяснение учителя при дистанционном обучении, рекомендоваться в качестве пособия при самостоятельном освоении материала учеником.