Eksi artı artı işareti verir. Çarpma ve toplama için işaret kuralları

Eksi ve artı matematikte negatif ve pozitif sayıların işaretleridir. Kendileriyle farklı şekilde etkileşime girerler, bu nedenle sayılarla herhangi bir işlem gerçekleştirirken, örneğin bölme, çarpma, çıkarma, toplama vb. dikkate alınmalıdır. kuralları imzalamak. Bu kurallar olmadan en basit cebirsel veya geometrik problemi bile asla çözemezsiniz. Bu kuralları bilmeden sadece matematik değil, fizik, kimya, biyoloji ve hatta coğrafya çalışamazsınız.

İşaretlerin temel kurallarına daha yakından bakalım.

Bölüm.

“Artı”yı “eksi”ye bölersek her zaman “eksi” elde ederiz. “Eksi”yi “artı”ya bölersek her zaman “eksi” de elde ederiz. "Artı"yı "artı"ya bölersek "artı" elde ederiz. "Eksi"yi "eksi"ye bölersek, garip bir şekilde "artı" da elde ederiz.

Çarpma işlemi.

“Eksi”yi “artı” ile çarparsak her zaman “eksi” elde ederiz. “Artı”yı “eksi” ile çarparsak her zaman “eksi” de elde edilir. “Artı”yı “artı” ile çarparsak pozitif bir sayı yani “artı” elde ederiz. Aynı şey iki negatif sayı için de geçerlidir. "Eksi"yi "eksi" ile çarparsak "artı" elde ederiz.

Çıkarma ve ekleme.

Farklı prensiplere dayanmaktadırlar. Negatif bir sayının mutlak değeri pozitif sayımızdan büyükse, sonuç elbette negatif olacaktır. Elbette bir modülün ne olduğunu ve neden burada olduğunu merak ediyorsunuz. Her şey çok basit. Modül bir sayının değeridir ancak işareti yoktur. Örneğin -7 ve 3. Modulo -7 basitçe 7 olacak ve 3, 3 olarak kalacak. Sonuç olarak 7'nin daha büyük olduğunu görüyoruz, yani negatif sayımızın daha büyük olduğu ortaya çıkıyor. Yani -7+3 = -4 çıkıyor. Daha da basit hale getirilebilir. İlk sıraya pozitif bir sayı koyun ve sonuç 3-7 = -4 olacaktır, belki bu birisi için daha açıktır. Çıkarma işlemi tamamen aynı prensipte çalışır.

"Düşmanımın düşmanı dostumdur"

Uzun zaman önce insanlar yalnızca doğal sayıları biliyordu: Bunlar mutfak eşyaları, ganimetleri, düşmanları vb. saymak için kullanılıyordu. Ancak sayıların kendisi oldukça işe yaramaz; onlarla başa çıkabilmeniz gerekiyor. Toplama açık ve anlaşılırdır, üstelik iki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır (bir matematikçi, doğal sayılar kümesinin toplama işlemine göre kapalı olduğunu söyler). Doğal sayılardan bahsediyorsak çarpma aslında toplama ile aynıdır. Hayatta, bu iki işlemle ilgili eylemleri sıklıkla gerçekleştiririz (örneğin, alışveriş yaparken toplama ve çarpma yaparız) ve atalarımızın bunlarla daha az karşılaştığını düşünmek garip - toplama ve çarpma insanlık tarafından çok uzun süre ustalaştı evvel. Çoğu zaman bazı miktarları başkalarına bölmeniz gerekir, ancak burada sonuç her zaman doğal bir sayı olarak ifade edilmez - kesirli sayılar bu şekilde ortaya çıktı.

Elbette çıkarmadan da yapamazsınız. Ancak pratikte genellikle şunu çıkarırız: Daha daha küçüktür ve negatif sayıları kullanmaya gerek yoktur. (Şekerim varsa ve onu kız kardeşime verirsem, o zaman biraz şekerim kalır ama istesem bile ona şeker veremem.) Bu, insanların neden uzun süredir negatif sayıları kullanmadığını açıklayabilir.

MS 7. yüzyıldan beri Hint belgelerinde negatif sayılar görülüyor; Görünüşe göre Çinliler bunları biraz daha erken kullanmaya başladı. Borçları hesaba katmak için veya denklemlerin çözümünü basitleştirmek için ara hesaplamalarda kullanıldılar - bu sadece olumlu bir cevap elde etmek için bir araçtı. Negatif sayıların pozitif sayıların aksine herhangi bir varlığın varlığını ifade etmemesi güçlü bir güvensizliğe neden oldu. İnsanlar kelimenin tam anlamıyla negatif sayılardan kaçınıyordu: Eğer bir problemin olumsuz bir cevabı varsa, hiçbir cevabın olmadığına inanıyorlardı. Bu güvensizlik çok uzun süre devam etti ve hatta modern matematiğin “kurucularından” biri olan Descartes bile onları “yanlış” olarak nitelendirdi (17. yüzyılda!).

Örnek olarak denklemi ele alalım. Bu şekilde çözülebilir: bilinmeyenli terimleri sol tarafa ve geri kalanını sağa taşıyın, ortaya çıkıyor , , . Bu çözüm sayesinde negatif sayılarla bile karşılaşmadık.

Ancak bunu yanlışlıkla farklı bir şekilde yapmak mümkündü: bilinmeyenli terimleri sağ tarafa taşıyın ve , alın. Bilinmeyeni bulmak için bir negatif sayıyı diğerine bölmeniz gerekir: . Ancak doğru cevap biliniyor ve şu sonuca varmak gerekiyor.

Bu basit örnek neyi gösteriyor? İlk olarak, negatif sayılara ilişkin eylemlerin kurallarını belirleyen mantık netleşiyor: Bu eylemlerin sonuçları, negatif sayılar olmadan farklı bir şekilde elde edilen cevaplarla örtüşmelidir. İkinci olarak, negatif sayıların kullanılmasına izin vererek, tüm eylemlerin yalnızca doğal sayılar. Üstelik artık her seferinde dönüştürülen niceliklerin anlamlılığı hakkında düşünmeyebiliriz - ve bu zaten matematiği soyut bir bilime dönüştürme yolunda atılmış bir adımdır.

Negatif sayılarla çalışma kuralları hemen oluşturulmadı, ancak uygulamalı problemleri çözerken ortaya çıkan çok sayıda örneğin genelleştirilmesi haline geldi. Genel olarak, matematiğin gelişimi aşamalara ayrılabilir: sonraki her aşama, nesneleri incelerken yeni bir soyutlama düzeyiyle bir öncekinden farklılık gösterir. Böylece, 19. yüzyılda matematikçiler, tüm dış farklılıklarına rağmen, tamsayılar ve polinomların pek çok ortak noktasının olduğunu fark ettiler: her ikisi de toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Bu işlemler hem sayılar hem de polinomlar açısından aynı yasalara tabidir. Ancak tam sayıları birbirine bölerek sonucun yine tam sayı olmasını sağlamak her zaman mümkün olmuyor. Polinomlarda da durum aynıdır.

Daha sonra bu tür işlemlerin gerçekleştirilebileceği diğer matematiksel nesne kümeleri keşfedildi: biçimsel kuvvet serileri, sürekli fonksiyonlar... Son olarak, işlemlerin özelliklerini incelerseniz sonuçların hepsine uygulanabileceği anlayışı geldi. bu nesne kümeleri (bu yaklaşım tüm modern matematik için tipiktir).

Bunun sonucunda yeni bir kavram ortaya çıktı: yüzük. Bu yalnızca bir dizi öğe artı bunlar üzerinde gerçekleştirilebilecek eylemlerden oluşur. Buradaki temel kurallar, kümenin öğelerinin doğası değil, tam olarak eylemlerin tabi olduğu kurallardır (bunlara aksiyom denir) (işte burada, yeni seviye soyutlamalar!). Önemli olanın aksiyomları ortaya koyduktan sonra ortaya çıkan yapı olduğunu vurgulamak isteyen matematikçiler şöyle derler: bir tamsayılar halkası, bir polinomlar halkası vb. Aksiyomlardan yola çıkarak halkaların diğer özellikleri çıkarılabilir.

Halkanın aksiyomlarını formüle edeceğiz (bunlar elbette tamsayılarla işlem yapma kurallarına benzer) ve ardından herhangi bir halkada bir eksiyi bir eksi ile çarpmanın bir artı ürettiğini kanıtlayacağız.

Bir halka, geleneksel olarak toplama ve çarpma olarak adlandırılan iki ikili işlemden (yani her işlem halkanın iki öğesini içerir) ve aşağıdaki aksiyomlardan oluşan bir kümedir:

En çok halkaların olduğuna dikkat edin Genel tasarım, çarpmanın değiştirilebilirliğini veya tersine çevrilebilirliğini (yani her zaman bölemezsiniz) veya çarpmada nötr bir öğe olan bir birimin varlığını gerektirmez. Bu aksiyomları ortaya koyarsak farklı cebirsel yapılar elde ederiz, ancak bunlarda halkalar için kanıtlanmış tüm teoremler doğru olacaktır.

Şimdi herhangi bir eleman ve rastgele bir halka için ilk olarak , ikinci olarak da bunun doğru olduğunu kanıtlayalım. Birimlerle ilgili ifadeler buradan kolayca çıkarılabilir: ve .

Bunu yapmak için bazı gerçekleri ortaya koymamız gerekecek. Öncelikle her elemanın yalnızca bir zıttı olabileceğini kanıtlıyoruz. Aslında bir öğenin iki zıttı olsun: ve . Yani . Miktarı dikkate alalım. Birleşme ve değişme yasalarını ve sıfırın özelliğini kullanarak, bir yandan toplamın eşit, diğer yandan eşit olduğunu buluruz. Araç, .

Şimdi her ikisinin de ve aynı öğenin karşıtları olduğuna dikkat edin, dolayısıyla eşit olmaları gerekir.

İlk gerçek şu şekilde ortaya çıkıyor: Yani zıttır, yani eşittir.

Matematiksel olarak titiz olmak için, herhangi bir element için nedenini de açıklayalım. Aslında, . Yani eklenmesi miktarı değiştirmez. Yani bu çarpım sıfıra eşit.

Ve halkada tam olarak bir sıfır olduğu gerçeğini (sonuçta aksiyomlar böyle bir unsurun var olduğunu söylüyor, ancak onun benzersizliği hakkında hiçbir şey söylenmiyor!), basit bir alıştırma olarak okuyucuya bırakacağız.

Evgeniy Epifanov
"Elementler"

Jacques Sesiano

İki bin yıl boyunca sayısal alanda üç önemli genişleme yaşandı. İlk olarak, MÖ 450 civarında. Pisagor okulundan bilim adamları irrasyonel sayıların varlığını kanıtladılar. Başlangıçtaki hedefleri birim karenin köşegenini ölçmekti. İkincisi, XIII-XV. yüzyıllarda Avrupalı ​​bilim adamları, sistemleri çözüyorlar. doğrusal denklemler, tek bir olumsuz karar olasılığına izin verdi. Üçüncüsü, 1572'de İtalyan cebirci Raphael Bombelli, belirli bir kübik denklemin gerçek çözümünü elde etmek için karmaşık sayıları kullandı.

Proskuryakov I.V.

Bu kitabın amacı sayıları, polinomları ve cebirsel kesirleri kesin bir şekilde tanımlamak ve bunların okuldan zaten bilinen özelliklerini gerekçelendirmek ve okuyucuyu yeni özelliklerle tanıştırmak değildir. Bu nedenle okuyucu burada kendisi için yeni gerçekleri bulamayacak (bazı özellikler, gerçek ve karmaşık sayılar hariç), ancak "iki kere iki dört eder" ile başlayarak kendisi tarafından iyi bilinen şeylerin nasıl kanıtlandığını öğrenecek ve polinomlarla işlem kurallarıyla biten Ve cebirsel kesirler. Ancak okuyucu cebirde önemli rol oynayan bir takım genel kavramlarla tanışacaktır.

Ilya Shchurov

Matematikçi Ilya Shchurov, Pi sayısının ondalık kesirler, aşkınlığı ve irrasyonelliği üzerine.

Leon Takhtajyan

Bunlar dört kısa hikaye olacak. Sayılarla başlayacağız, sonra hareketten, değişimden bahsedeceğiz, sonra şekiller ve boyutlardan, sonra da başlangıç ​​ve bitişten bahsedeceğiz. Biraz şifreli olan bu üslupla matematiğe içeriden ve dışarıdan, tam olarak bir konu olarak bakmaya çalışacağız. Matematikçilerin ne düşündüğü ve neyle yaşadığı - bunu daha sonra konuşabiliriz.

Vladlen Timorin

Matematikçi Vladlen Timorin karmaşık sayıların avantajlarını, Hamilton kuaterniyonlarını, sekiz boyutlu Cayley sayılarını ve geometrideki sayıların çeşitliliğini anlatıyor.

Jacques Sesiano

Diophantus hakkında çok az şey biliyoruz. Sanırım İskenderiye'de yaşıyordu. 4. yüzyıldan önce hiçbir Yunan matematikçi ondan bahsetmemiştir, dolayısıyla muhtemelen 3. yüzyılın ortalarında yaşamıştır. Diophantus'un en önemli eseri olan “Aritmetik” (Ἀριθμητικά), 13 “kitap”ın (βιβλία), yani bölümlerin başında yer almıştır. Bugün bunlardan 10 tanesine sahibiz: 6'sı Yunanca metinde ve 4'ü ortaçağ metninde. Arapça çeviri Yeri Yunanca kitapların ortasında olan: Yunanca I-III, Arapça IV-VII, Yunanca VIII-X kitapları. Diophantus'un "Aritmetik"i öncelikle toplamda 260 civarında problemden oluşan bir derlemedir. Gerçeği söylemek gerekirse herhangi bir teori yoktur; sadece var genel talimatlar kitabın tanıtımında ve gerektiğinde bazı problemlerde özel yorumlara yer verilmiştir. "Aritmetik" zaten bir cebirsel incelemenin özelliklerine sahiptir. İlk Diophantus'un kullanımları farklı işaretler bilinmeyeni ve onun güçlerini ifade etmek, ayrıca bazı hesaplamalar yapmak; Orta Çağ'ın tüm cebirsel sembolizmi gibi, onun sembolizmi de matematiksel kelimelerden gelir. Daha sonra Diophantus problemin cebirsel olarak nasıl çözüleceğini açıklıyor. Ancak Diophantus'un problemleri alışılmış anlamda cebirsel değildir, çünkü neredeyse hepsi belirsiz bir denklemin veya bu tür denklem sistemlerinin çözümüne dayanmaktadır.

Matematik dünyası onlarsız, asal sayılar olmadan düşünülemez. Ne oldu asal sayılar onları özel kılan şey nedir ve onlar için önemi nedir? Gündelik Yaşam? Bu filmde İngiliz matematik profesörü Marcus du Sautoy asal sayıların sırrını ortaya çıkaracak.

Georgy Şabat

Okulda hepimize, Q rasyonel sayılar kümesinde, tüm aritmetik işlemlerin sürekli olduğu benzersiz bir doğal mesafenin (fark modülü) olduğu şeklindeki hatalı fikir aşılanmıştır. Bununla birlikte, her p sayısı için bir tane olmak üzere, p-adic adı verilen sonsuz sayıda mesafe de vardır. Ostrovsky'nin teoremine göre, "sıradan" mesafe, tüm p-adik mesafelerle birlikte, gerçekten de tüm makul mesafeleri tüketiyor Q. Adelik demokrasi terimi, Yu I. Manin tarafından tanıtıldı. Adelik demokrasi ilkesine göre, Q üzerindeki tüm makul mesafeler matematik yasaları önünde eşittir (belki de sadece geleneksel “biraz=biraz eşit…”). Kurs, çalışmanıza olanak tanıyan adelik halkayı tanıtacaktır. tüm bu mesafelerle aynı anda.

Vladimir Arnold

J.L. Lagrange, (belirli bir yerden başlayan) tamamlanmamış bölümler dizisinin ancak ve ancak x sayısının ikinci dereceden bir irrasyonel olması durumunda periyodik olduğunu kanıtladı. R. O. Kuzmin, hemen hemen her gerçek sayının eksik bölümleri dizisinde, m eksik bölüme eşit d_m kesirinin aynı olduğunu kanıtladı (tipik gerçek sayılar için). d_m kesri m→∞ kadar 1/m^2 kadar azalır ve değeri Gauss tarafından tahmin edilmiştir (hiçbir şey kanıtlamamıştır). V.I. Arnol, (20 yıl önce) Gauss-Kuzmin istatistiklerinin d_m'nin ikinci dereceden x^2+px+q=0 (p ve q tamsayılarıyla) köklerinin devam eden kesirleri için de geçerli olduğu hipotezini ifade etmişti: p^2+q^2≤R^2 ile bu tür denklemlerin köklerinin tüm devam eden kesirlerinin periyotlarını oluşturan eksik bölümleri birlikte yazarsak, aralarındaki tamamlanmamış bölüm m'nin kesri sayıya yönelecektir. d_m, R→∞ olarak. V. A. Bykovsky ve Habarovsk öğrencileri yakın zamanda bu uzun süredir devam eden hipotezi kanıtladılar. Buna rağmen, x^2+px+q=0 denkleminin herhangi bir x köküne ait sürekli kesirlerin periyotları olan harflerden değil, bunlardan oluşan kelimelerden oluşan istatistik sorunu çözülmekten çok uzaktır.

Kamış Milleri

Başlığı ve özeti mümkün olduğu kadar belirsiz bırakıyorum, böylece o gün ne hissediyorsam onun hakkında konuşabiliyorum. Çeşitlerin sınıflandırılmasında ilgi duyulan pek çok çeşit, bir Gorenstein halkasının Spec veya Proj'u olarak elde edilir. ⩽3 kod boyutunda, iyi bilinen yapı teorisi, Gorenstein halkalarıyla hesaplama yapmak için açık yöntemler sağlar. Buna karşılık, 4 eş boyutlu halkalar için kullanışlı bir yapı teorisi yoktur. Bununla birlikte, birçok durumda Gorenstein izdüşümü (ve bunun tersi olan Kustin-Miller izdüşümsüzlüğü) bu halkalara saldırmanın yöntemlerini sağlar. Bu yöntemler, düzenli cebirsel yüzeylerin kanonik halkalarının sporadik sınıflarına ve Q-Fano 3 katlarının, bunlar arasındaki Sarkisov bağlantılarının ve Mori teorisinin A Tipi 3 kat ters çevirmelerinin daha sistematik yapılarına uygulanır.

Eksi çarpı eksi neden artı verir?

• • (1 çubuk) - (2 çubuk) = ((1 çubuk)+(2 çubuk))= 2 çubuk (Ve iki çubuk eşittir + çünkü bir kutupta 2 çubuk vardır)))

Eksi eksi artı verir çünkü okul kuralı. Açık şu an Bana göre neden olduğuna dair kesin bir cevap yok. Bu kuraldır ve yıllardır böyledir. Sadece şerit için şeridin bir mandal verdiğini hatırlamanız gerekir.

Eksi çarpı eksinin artı verdiğini okul matematik dersinden biliyoruz. Bu kuralın basitleştirilmiş, esprili bir açıklaması da var: Eksi bir satırdır, iki eksi iki satırdır, artı iki satırdan oluşur. Bu nedenle eksi eksi artı işareti verir.

Ben şöyle düşünüyorum: eksi bir çubuktur - bir eksi çubuğu daha ekleyin - sonra iki çubuk elde edersiniz ve bunları çapraz olarak bağlarsanız + işaretini alırsınız, soruyla ilgili fikrim hakkında söylediklerim bunlar: eksi eksi artı .

Eksi yerine eksi her zaman artı vermez, matematikte bile. Ama temel olarak bu ifadeyi, en sık ortaya çıktığı matematikle karşılaştırıyorum. Ayrıca levye ile bayılttıklarını da söylüyorlar - ben de bunu bir şekilde dezavantajlarla ilişkilendiriyorum.

100 ruble ödünç aldığınızı hayal edin. Şimdi puanınız: -100 ruble. Daha sonra bu borcu ödediniz. Yani borcunuzu (-100) aynı miktarda azaltmışsınız (-) ortaya çıkıyor. Şunu elde ederiz: -100-(-100)=0

Eksi işareti bunun tersini gösterir: 5'in karşıt sayısı -5'tir. Ancak -(-5) zıt sayının zıttıdır, yani. 5.

Şakada olduğu gibi:

1-Neredesin burada? ters taraf sokaklar mı?

2. - diğer tarafta

1. - ve bunun üzerine şunu söylediler...

İki kaseli bir terazi hayal edelim. Sağ kasede her zaman artı işareti olan şeyin, sol kasede her zaman eksi işareti vardır. Artık artı işaretli bir sayıyla çarpmak aynı kasede gerçekleştiği anlamına gelecek, eksi işaretli bir sayıyla çarpmak ise sonucun başka bir kaseye taşınması anlamına gelecektir. Örnekler. 5 elmayı 2 ile çarpıyoruz. Sağdaki kaseye 10 elma alıyoruz. 5 elmayı 2 ile çarpıyoruz ve soldaki kaseye 10 elma yani -10 elma alıyoruz. Şimdi -5'i -2 ile çarpın. Bu, sol kasedeki 5 elmanın 2 ile çarpılıp sağ kaseye aktarılması anlamına geliyor, yani cevap 10. İlginçtir ki, bir artıyı eksi ile çarpmak, yani sağ kasedeki elmaları çarpmak negatif sonuç veriyor. yani elmalar sola doğru hareket eder. Ve soldaki eksi elmaları bir artıyla çarpmak onları sol kasedeki ekside bırakıyor.

Bunun aşağıdaki şekilde gösterilebileceğini düşünüyorum. Beş elmayı beş sepete koyarsanız toplamda 25 elma olur. Sepetlerde. Ve eksi beş elma, onları bildirmediğim, beş sepetin her birinden çıkardığım anlamına geliyor. ve aynı 25 elma ortaya çıktı, ancak sepetlerde değil. Bu nedenle sepetler eksi olarak gidiyor.

Bu aynı zamanda aşağıdaki örnekle de mükemmel bir şekilde gösterilebilir. Evinizde yangın çıkarsa bu bir eksidir. Ancak küvetteki musluğu kapatmayı da unutursanız ve su baskını yaşarsanız, bu da bir eksidir. Ama bu ayrı. Ancak bunların hepsi aynı anda gerçekleşirse, o zaman eksi artıya karşılık gelir ve dairenizin hayatta kalma şansı vardır.

Talimatlar

Dört tür matematiksel işlem vardır: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Bu nedenle dört tür örnek olacaktır. Örnekteki negatif sayılar matematiksel işlemi karıştırmamak için vurgulanmıştır. Örneğin, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) veya 34:(-17).

Ek. Bu eylem şu şekilde görünebilir: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Değiştirme eylemi: önce parantez açılır, “+” işareti tersine çevrilir, daha sonra büyük (modülo) sayıdaki “6” sayısından küçük olan “3” çıkarılır ve ardından cevaba bir sayı atanır. daha büyük işaret, yani “-”.
2) -3+6=3. Bu, ("6-3") ilkesine göre veya "küçük olanı büyükten çıkarın ve cevaba büyüğün işaretini atayın" ilkesine göre yazılabilir.
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Açarken, toplama eyleminin yerini çıkarma işlemi alır, ardından modüller toplanır ve sonuca eksi işareti verilir.

Çıkarma.1) 8-(-5)=8+5=13. Parantez açılır, eylemin işareti ters çevrilir ve bir toplama örneği elde edilir.
2) -9-3=-12. Örneğin elemanları eklenir ve elde edilir genel işaret "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Parantez açıldığında işaret tekrar “+” olur, daha sonra büyük sayıdan küçük olan sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti cevaptan çıkarılır.

Çarpma ve bölme: Çarpma veya bölme işlemi yapılırken işaret, işlemin kendisini etkilemez. Sayıları cevapla çarparken veya bölerken “eksi” işareti atanır; sayılar aynı işaretlere sahipse sonuç her zaman “artı” işaretine sahiptir 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Kaynaklar:

• eksileri olan tablo

Nasıl karar verilir? örnekler? Ev ödevlerinin evde yapılması gerekiyorsa çocuklar genellikle bu soruyu ebeveynlerine sorarlar. Çok basamaklı sayıları toplama ve çıkarma örneklerinin çözümü bir çocuğa doğru şekilde nasıl açıklanır? Bunu çözmeye çalışalım.

İhtiyacın olacak

• 1. Matematik ders kitabı.
• 2. Kağıt.
• 3. Tutma.

Talimatlar

Örneği oku. Bunu yapmak için her bir çoklu değerliyi sınıflara bölün. Sayının sonundan başlayarak üç rakamı birer birer sayın ve bir nokta koyun (23.867.567). Sayının sonundan itibaren ilk üç rakamın birim, sonraki üç rakamın sınıf, ardından milyonlar geldiğini hatırlatalım. Sayıyı okuyoruz: yirmi üç sekiz yüz altmış yedi bin altmış yedi.

Bir örnek yazın. Lütfen her basamağın birimlerinin tam olarak birbirinin altına yazıldığını unutmayın: birimler altında birimler, onlar altında onlar, yüzler yüzler altında vb.

Toplama veya çıkarma işlemini gerçekleştirin. Eylemi birimlerle gerçekleştirmeye başlayın. Sonucu işlemi gerçekleştirdiğiniz kategorinin altına yazın. Sonuç sayı() ise, cevabın yerine birimleri yazar ve rakamın birimlerine onlar sayısını ekleriz. Çıkarılan rakamın herhangi bir rakamının birim sayısı çıkan rakamdan az ise bir sonraki rakamın 10 birimini alıp işlemi gerçekleştiriyoruz.

Cevabı okuyun.

Konuyla ilgili video

Not

Bir örneğin çözümünü kontrol etmek için bile çocuğunuzun hesap makinesi kullanmasını yasaklayın. Toplama çıkarmayla, çıkarma da toplamayla test edilir.

Yararlı tavsiye

Çocuk 1000 içinde yazılı hesaplama tekniklerinde iyi ustalaşırsa, o zaman ile eylemler çok basamaklı sayılar benzer şekilde gerçekleştirilen, zorluklara neden olmayacaktır.
Çocuğunuza 10 dakikada kaç örnek çözebileceğini görmek için bir yarışma verin. Bu tür eğitim, hesaplama tekniklerinin otomatikleştirilmesine yardımcı olacaktır.

Çarpma, dört temel matematik işleminden biridir ve daha birçok karmaşık fonksiyonun temelini oluşturur. Aslında çarpma, toplama işlemine dayanır: bunun bilgisi, herhangi bir örneği doğru bir şekilde çözmenize olanak tanır.

Çarpma işleminin özünü anlamak için, burada üç ana bileşenin yer aldığını hesaba katmak gerekir. Bunlardan biri birinci faktör olarak adlandırılan ve çarpma işlemine konu olan bir sayıdır. Bu nedenle, daha az yaygın olan ikinci bir adı vardır - “çarpılabilir”. Çarpma işleminin ikinci bileşenine genellikle ikinci faktör denir: çarpılan sayıyı temsil eder. Bu nedenle, bu bileşenlerin her ikisine de çarpan adı verilir, bu da onların eşit durumlarının yanı sıra değiştirilebilecekleri gerçeğini de vurgular: çarpmanın sonucu değişmeyecektir. Son olarak çarpma işleminin sonucunda ortaya çıkan üçüncü bileşene çarpım adı verilir.

Çarpma işleminin sırası

Çarpma örneklerini çözme

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

• 2019'da çarpma

Çarpma, hem okulda hem de günlük yaşamda sıklıkla kullanılan dört temel aritmetik işlemden biridir. İki sayıyı hızlı bir şekilde nasıl çarpabilirsiniz?

En karmaşık matematiksel hesaplamaların temeli dört ana unsurdan oluşur: Aritmetik işlemler: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Üstelik bu operasyonlar, bağımsız olmalarına rağmen daha yakından incelendiğinde birbiriyle bağlantılı olduğu ortaya çıkıyor. Örneğin toplama ile çarpma arasında böyle bir bağlantı mevcuttur.

Sayı çarpma işlemi

Çarpma işleminin özünün aslında toplamaya dayandığı unutulmamalıdır: bunu gerçekleştirmek için belirli sayıda ilk faktörün bir araya getirilmesi gerekir ve bu toplamın terim sayısı ikinciye eşit olmalıdır. faktör. Bu algoritma, söz konusu iki faktörün çarpımını hesaplamanın yanı sıra, ortaya çıkan sonucu kontrol etmek için de kullanılabilir.

Çarpma problemini çözmeye bir örnek

Ayrıca çarpma işleminde, orijinal örnekte çarpanların yerlerinin değiştirilmesinin sonucu değiştirmeyeceğini belirten değişme kanununun geçerli olduğu da unutulmamalıdır. Böylece 4 sayısını 8 kez toplayarak aynı çarpımı elde edebilirsiniz - 32.

Çarpım tablosu

Konuyla ilgili video

Bir matematik öğretmenini dinleyen çoğu öğrenci materyali bir aksiyom olarak algılar. Aynı zamanda, çok az kişi işin özüne inmeye ve "eksi" ile "artı"nın neden "eksi" işareti verdiğini anlamaya çalışıyor ve iki negatif sayıyı çarparken pozitif bir sonuç çıkıyor.

Matematik kanunları

Çoğu yetişkin bunun neden olduğunu kendilerine veya çocuklarına açıklayamaz. Okulda bu materyale sıkı bir şekilde hakim oldular, ancak bu tür kuralların nereden geldiğini bulmaya bile çalışmadılar. Ama boşuna. Çoğu zaman, modern çocuklar bu kadar saf değildir; meselenin özüne inmeleri ve örneğin bir "artı" ve "eksi"nin neden "eksi" verdiğini anlamaları gerekir. Ve bazen erkek fatma, yetişkinlerin anlaşılır bir cevap veremedikleri anın tadını çıkarmak için kasıtlı olarak zor sorular sorar. Ve genç bir öğretmenin başının derde girmesi gerçekten felakettir...

Bu arada yukarıda bahsettiğimiz kuralın hem çarpma hem de bölme için geçerli olduğunu belirtelim. Negatif ve pozitif bir sayının çarpımı yalnızca “eksi” verir. Eğer “-” işaretli iki rakamdan bahsediyorsak sonuç pozitif bir sayı olacaktır. Aynı şey bölme için de geçerli. Sayılardan biri negatifse bölümde de “-” işareti bulunur.

Bu matematik yasasının doğruluğunu açıklamak için halkanın aksiyomlarını formüle etmek gerekir. Ama önce ne olduğunu anlamalısın. Matematikte, bir halkaya genellikle iki öğeli iki işlemin yer aldığı bir küme denir. Ancak bunu bir örnekle anlamak daha iyidir.

Halka aksiyomu

Birkaç matematik kanunu vardır.

• Bunlardan ilki değişmeli olup ona göre C + V = V + C'dir.
• İkincisine çağrışımsal (V + C) + D = V + (C + D) denir.

Çarpma (V x C) x D = V x (C x D) de bunlara uymaktadır.

Parantezlerin açıldığı kuralları kimse iptal etmedi (V + C) x D = V x D + C x D; C x (V + D) = C x V + C x D olduğu da doğrudur.

Ek olarak, halkaya özel, ilave-nötr bir elemanın eklenebileceği, kullanıldığında aşağıdakilerin doğru olacağı tespit edilmiştir: C + 0 = C. Ayrıca, her C için, bunu yapabilen bir zıt eleman vardır. (-C) olarak gösterilecektir. Bu durumda C+(-C)=0 olur.

Negatif sayılar için aksiyomların türetilmesi

Yukarıdaki ifadeleri kabul ettikten sonra şu soruya cevap verebiliriz: “Artı ve eksi hangi işareti verir?” Negatif sayılarla çarpma aksiyomunu bildiğimizden, gerçekten (-C) x V = -(C x V) olduğunu doğrulamak gerekir. Ayrıca şu eşitlik de doğrudur: (-(-C)) = C.

Bunu yapmak için öncelikle her elementin karşısında yalnızca bir "kardeş" bulunduğunu kanıtlamanız gerekir. Aşağıdaki kanıt örneğini düşünün. C için iki sayının zıt olduğunu hayal etmeye çalışalım - V ve D. Bundan C + V = 0 ve C + D = 0, yani C + V = 0 = C + D sonucu çıkar. komütasyon ve 0 sayısının özellikleri hakkında, üç sayının toplamını düşünebiliriz: C, V ve D. V'nin değerini bulmaya çalışalım. V = V + 0 = V + (C) olması mantıklıdır. + D) = V + C + D, çünkü yukarıda varsayıldığı gibi C + D'nin değeri 0'a eşittir. Bu, V = V + C + D anlamına gelir.

D değeri de aynı şekilde türetilir: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Buna dayanarak V = D olduğu anlaşılır.

“Artı”nın “eksi”ye neden hala “eksi” verdiğini anlamak için şunu anlamalısınız. Yani (-C) elemanı için C ve (-(-C)) zıttır yani birbirlerine eşittirler.

O halde 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V olduğu açıktır. Bundan, C x V'nin (-)C x V'nin tersi olduğu sonucu çıkar, bunun anlamı (- C) x V = -(C x V).

Tam bir matematiksel kesinlik için, herhangi bir öğe için 0 x V = 0 olduğunun doğrulanması da gereklidir. Mantığı izlerseniz, o zaman 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V olur. Bu, 0 x V ürününün eklenmesinin belirlenen miktarı hiçbir şekilde değiştirmediği anlamına gelir. Sonuçta bu çarpım sıfıra eşittir.

Tüm bu aksiyomları bilerek, yalnızca “artı” ve “eksi”nin ne kadar verdiğini değil, aynı zamanda negatif sayıları çarparken ne olacağını da çıkarabilirsiniz.

İki sayıyı “-” işaretiyle çarpmak ve bölmek

Matematiksel nüansların derinliklerine inmezseniz daha fazlasını deneyebilirsiniz basit bir şekilde Negatif sayılarla ilgili kuralları açıklayın.

Diyelim ki C - (-V) = D, bundan yola çıkarak C = D + (-V), yani C = D - V. V'yi aktarıyoruz ve C + V = D elde ediyoruz. Yani, C + V = C - (-V). Bu örnek, arka arkaya iki “eksi” bulunan bir ifadede, söz konusu işaretlerin neden “artı” olarak değiştirilmesi gerektiğini açıklamaktadır. Şimdi çarpma işlemine bakalım.

(-C) x (-V) = D, ifadeye değeri değişmeyecek iki özdeş çarpımı ekleyip çıkarabilirsiniz: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Parantezlerle çalışma kurallarını hatırlayarak şunu elde ederiz:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Bundan C x V = (-C) x (-V) sonucu çıkar.

Benzer şekilde, iki negatif sayıyı bölmenin pozitif bir sayıyla sonuçlanacağını kanıtlayabilirsiniz.

Genel matematik kuralları

Elbette bu açıklama soyut negatif sayıları yeni öğrenmeye başlayan ilkokul öğrencileri için uygun değildir. Aşina oldukları aynanın ardındaki terimi manipüle ederek görünür nesneler üzerinde açıklama yapmak onlar için daha iyidir. Mesela icat edilmiş ama olmayan oyuncaklar orada bulunuyor. “-” işaretiyle görüntülenebilirler. İki ayna nesnesinin çarpımı onları gerçek dünyaya eşit olan başka bir dünyaya aktarır, yani sonuç olarak elimizde pozitif sayılar. Ancak soyut çarpma negatif sayı olumlu olarak bakıldığında yalnızca herkesin aşina olduğu bir sonuç verir. Sonuçta “artı” ile “eksi” çarpımı “eksi”yi verir. Doğru, çocuklar aslında tüm matematiksel nüansları anlamaya çalışmıyorlar.

Bununla birlikte, kabul edelim ki, birçok insan için, hatta Yüksek öğretim Birçok kural gizemli kalıyor. Herkes öğretmenlerinin onlara öğrettiklerini olduğu gibi kabul eder ve matematiğin gizlediği tüm karmaşıklıkları derinlemesine araştırmakta zorluk çekmez. "Eksi" yerine "eksi", "artı" verir - istisnasız herkes bunu bilir. Bu hem tam hem de kesirli sayılar için geçerlidir.