Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının ve açılarının özellikleri. Paralelkenar. Paralelkenar, karşılıklı açıları eşit olan bir dörtgendir
Tanım
Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir.
Teorem (paralelkenarın ilk işareti)
Bir dörtgenin iki kenarı eşit ve paralel ise bu dörtgen bir paralelkenardır.
Kanıt
\(AB\) ve \(CD\) kenarları \(ABCD\) ve \(AB = CD\) dörtgeninde paralel olsun.
Bu dörtgeni iki eşit üçgene bölen bir \(AC\) köşegeni çizelim: \(ABC\) ve \(CDA\) . Bu üçgenlerin iki tarafı eşit olup aralarındaki açı (\(AC\) ortak kenardır, \(AB = CD\) koşula göre, \(\angle 1 = \angle 2\) kesişme noktasındaki çapraz açılardır) paralel çizgiler \ (AB\) ve \(CD\) kesen \(AC\) ), yani \(\angle 3 = \angle 4\) . Ancak \(3\) ve \(4\) açıları, \(AD\) ve \(BC\) doğrularının \(AC\) sekantıyla kesiştiği noktada çapraz olarak uzanır, dolayısıyla \(AD\paralel BC) \). Böylece, \(ABCD\) dörtgeninde karşıt kenarlar ikili olarak paraleldir ve dolayısıyla \(ABCD\) dörtgeni bir paralelkenardır.
Teorem (paralelkenarın ikinci işareti)
Bir dörtgende karşılıklı kenarlar çiftler halinde eşitse, bu dörtgen bir paralelkenardır.
Kanıt
Bu dörtgen \(ABCD\)'nin köşegenini \(AC\) çizelim ve onu \(ABC\) ve \(CDA\) üçgenlerine bölelim.
Bu üçgenlerin üç tarafı eşittir (\(AC\) – ortak, \(AB = CD\) ve \(BC = DA\) koşula göre), dolayısıyla \(\angle 1 = \angle 2\) – çapraz uzanır \(AB\) ve \(CD\) ve sekant \(AC\) konumunda. Bunu takip eder \(AB\paralel CD\) . \(AB = CD\) ve \(AB\paralel CD\) olduğundan, paralelkenarın ilk kriterine göre \(ABCD\) dörtgeni bir paralelkenardır.
Teorem (paralelkenarın üçüncü işareti)
Bir dörtgenin köşegenleri kesişiyorsa ve kesişme noktasına göre ikiye bölünüyorsa, bu dörtgen bir paralelkenardır.
Kanıt
Köşegenlerin \(AC\) ve \(BD\) \(O\) noktasında kesiştiği ve bu nokta tarafından ikiye bölündüğü bir \(ABCD\) dörtgeni düşünün.
\(AOB\) ve \(COD\) üçgenleri, koşula göre (\(AO = OC\), \(BO = OD\), \(\angle AOB = \angle) üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre eşittir COD\) dikey açılar olarak), yani \(AB = CD\) ve \(\angle 1 = \angle 2\) . \(1\) ve \(2\) açılarının eşitliğinden (\(AB\) ve \(CD\)'de çapraz olarak uzanan ve \(AC\) sekantından, \(AB\paralel CD) sonucu çıkar \).
Yani, \(ABCD\) dörtgeninde \(AB\) ve \(CD\) kenarları eşit ve paraleldir; bu, paralelkenarın ilk kriterine göre, \(ABCD\) dörtgeninin bir paralelkenar olduğu anlamına gelir. .
Paralelkenarın özellikleri:
1. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir ve zıt açılar eşittir.
2. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür.
Paralelkenarın açıortayının özellikleri:
1. Bir paralelkenarın açıortayı ondan bir ikizkenar üçgeni keser.
2. Bir paralelkenarın komşu açılarının açıortayları dik açılarda kesişir.
3. Zıt açılı açıortay parçaları eşit ve paraleldir.
Kanıt
1) \(ABCD\) bir paralelkenar, \(AE\) \(BAD\) açısının açıortayı olsun.
\(1\) ve \(2\) açıları eşittir, \(AD\) ve \(BC\) paralel çizgileri ve \(AE\) keseniyle çapraz olarak uzanırlar. \(AE\) bir açıortay olduğundan \(1\) ve \(3\) açıları eşittir. Sonunda \(\açı 3 = \açı 1 = \açı 2\) Bu da \(ABE\) üçgeninin ikizkenar olduğu anlamına gelir.
2) \(ABCD\) bir paralelkenar olsun, \(AN\) ve \(BM\) sırasıyla \(BAD\) ve \(ABC\) açılarının açıortayı olsun.
Paralel doğrular ve bir çapraz için tek taraflı açıların toplamı \(180^(\circ)\)'a eşit olduğundan, o zaman \(\angle DAB + \angle ABC = 180^(\circ)\).
\(AN\) ve \(BM\) bisektör olduğundan, o zaman \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), Neresi \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\).
3. \(AN\) ve \(CM\) paralelkenarın \(ABCD\) açılarının ortaortayları olsun.
Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit olduğundan \(\açı 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \açı 1\). Ek olarak, \(1\) ve \(3\) açıları eşittir, \(AD\) ve \(BC\) paralel çizgileri ve \(CM\) sekantıyla çapraz olarak uzanırlar, sonra \(\angle 2 = \angle 3\) , bu da \(AN\paralel CM\) anlamına gelir. Ayrıca, \(AM\paralel CN\) , bu durumda \(ANCM\) bir paralelkenardır, dolayısıyla \(AN = CM\) .
Bu bölümde geometrik cisim paralelkenarına bakacağız. Paralelkenarın tüm elemanları dörtgenden miras alınmıştır, bu yüzden onları dikkate almayacağız. Ancak özellikleri ve özellikleri ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Şuna bakacağız:
- Bir işaretin bir mülkten farkı nedir?
- 8.sınıf programında işlenen temel özellik ve özelliklere bakalım;
- Destek problemlerini çözerken elde ettiğimiz iki ek özelliği formüle edelim.
2.1 Paralelkenarın tanımı
Geometrideki kavramları doğru bir şekilde tanımlamak için onları sadece ezberlemeniz değil, aynı zamanda nasıl oluştuklarını da anlamanız gerekir. Bu konuda genel kavram şemaları bize çok yardımcı oluyor. Bakalım neymiş.
Bizim Eğitim modülü"Dörtgenler" olarak adlandırılır ve dörtgen bu derste anahtar bir kavramdır. Dörtgenin tanımını şu şekilde verebiliriz:
Dörtgen-Bu çokgen, dört kenarı ve dört köşesi vardır.
Bu tanımda genel kavram çokgen olacaktır. Şimdi bir çokgen tanımlayalım:
Çokgen basit kapalı denir bozuk hat düzlemin sınırladığı kısmıyla birlikte.
Buradaki genel kavramın kesik çizgi kavramı olduğu açıktır. Daha ileri gidersek, doğru parçası kavramına, ardından da nokta ve düz çizginin son kavramlarına geleceğiz. Aynı şekilde diyagramımıza devam edebiliriz:
Bir dörtgenin iki tarafının paralel olmasını ve diğer tarafının paralel olmamasını istersek, yamuk adı verilen bir şekil elde ederiz.
Yamuk – dörtgen, iki kenarın paralel olduğu ve diğer ikisinin paralel olmadığı.
Ve tüm zıt kenarların paralel olması durumunda, bir paralelkenarla karşı karşıyayız.
Paralelkenar – dörtgen, karşılıklı kenarları paralel olan.
2.2 Paralelkenarın özellikleri
Mülk 1. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşit ve zıt açılar eşittir.
Bu özelliği kanıtlayalım.
Verilen: ABCD bir paralelkenardır.
Kanıtlamak:$\angle A = \angle C, \angle B = \angle D, AB = CD, AD = BC.$
Kanıt:
Herhangi bir geometrik nesnenin özelliklerini ispatlarken her zaman onun tanımını hatırlarız. Bu yüzden, paralelkenar-karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgen. Anahtar nokta burada tarafların paralelliği ortaya çıkıyor.
Dört çizginin tümüne bir sekant oluşturalım. Bu sekant köşegen BD olacaktır.
Açıkçası, enine ve paralel çizgilerin oluşturduğu açıları dikkate almamız gerekiyor. Doğrular paralel olduğundan üzerlerindeki açılar eşittir.
Artık ikinci işarete göre iki eşit üçgeni görebilirsiniz.
Üçgenlerin eşitliği doğrudan paralelkenarın birinci özelliğini ima eder.
Mülk 2. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür.
Verilen: ABCD- paralelkenar.
Kanıtlamak:$AO = OC, BO = OD.$
Kanıt:
Buradaki ispatın mantığı önceki özelliktekiyle aynıdır: Kenarların paralelliği ve üçgenlerin eşitliği. İspatın ilk adımı ilk özellik ile aynıdır.
İkinci adım, üçgenlerin eşitliğinin ikinci kriterle kanıtlanmasıdır. Lütfen $BC=AD$ eşitliğinin kanıt olmadan kabul edilebileceğini unutmayın (kullanarak Özellik 1).
Bu eşitlikten şu sonuç çıkar: $AO = OC, BO = OD.$
2.3 Destek Problemi No. 4 (Paralelkenarın yükseklikleri arasındaki açının özelliği)
Verilen: ABCD - paralelkenar, B.K. Ve B.M. - yüksekliği, $\açı KBM = 60^0$.
Bulmak:$\angle ABK$, $\angle A$
Çözüm: Bu sorunu çözmeye başladığınızda aşağıdakileri aklınızda tutmanız gerekir:
Paralelkenarda yükseklik karşılıklı iki kenara diktir
Örneğin, bir $BM$ parçası $DC$ kenarına çizilirse ve yüksekliği ($BM \perp DC$) ise, o zaman aynı parça karşı tarafın yüksekliği ($BM \perp BA$) olacaktır. Bu, $AB \parallel DC$ kenarlarının paralelliğinden kaynaklanır.
Bu sorunu çözerken elde ettiğimiz mülk değerlidir.
Ek mülk. Bir paralelkenarın tepe noktasından çizilen yükseklikleri arasındaki açı, komşu tepe noktasındaki açıya eşittir.
2.4 Destek problemi No. 5 (Paralelkenarın açıortayının özelliği)
Açıortay A paralelkenar ABCD tarafı geçer M.Ö. noktada L, AD=12 cm, AB =10 cm. Segmentin uzunluğunu bulun LC.
Çözüm:
- $\angle 1 = \angle 2$ (AK - açıortay);
- $\angle 2 = \angle 3$ ($AD \parallel BC$ ve kesen AL ile çapraz açılar olarak);
- $\angle 1 = \angle 3$, $\bigtriangleup ABL -$ ikizkenar.
Sorunu çözerken aşağıdaki özelliği elde ettik:
Ek mülk. Bir paralelkenarın açısının açıortayı, ondan bir ikizkenar üçgeni keser.
Ders konusu
- Paralelkenarın köşegenlerinin özellikleri.
Dersin Hedefleri
- Yeni tanımlarla tanışın ve daha önce çalışılmış olanlardan bazılarını hatırlayın.
- Paralelkenarın köşegenlerinin özelliklerini belirtiniz ve kanıtlayınız.
- Problemleri çözerken şekillerin özelliklerini uygulamayı öğrenin.
- Gelişimsel – öğrencilerin dikkatini, azmini, azmini geliştirmek, mantıksal düşünme, matematiksel konuşma.
- Eğitim - ders aracılığıyla birbirlerine karşı dikkatli bir tutum geliştirin, yoldaşları dinleme yeteneğini, karşılıklı yardımlaşmayı ve bağımsızlığı aşılayın.
Dersin Hedefleri
- Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.
Ders planı
- Giriiş.
- Daha önce çalışılan materyalin tekrarı.
- Paralelkenar, özellikleri ve özellikleri.
- Görev örnekleri.
- Kendi kendine kontrol.
giriiş
"Büyük bir bilimsel keşif, büyük bir soruna çözüm sağlar, ancak her sorunun çözümünde bir miktar keşif vardır."
Paralelkenarın zıt kenarlarının özelliği
Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir.
Kanıt.
Verilen paralelkenar ABCD olsun. Ve köşegenlerinin O noktasında kesişmesine izin verin.
Üçgenlerin eşitliğinin ilk kriterine göre Δ AOB = Δ COD olduğundan (∠ AOB = ∠ COD, dikey olanlar olarak, AO=OC, DO=OB, paralelkenarın köşegenlerinin özelliğine göre), AB=CD. Aynı şekilde BOC ve DOA üçgenlerinin eşitliğinden BC = DA sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.
Paralelkenarın zıt açılarının özelliği
Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir.
Kanıt.
Verilen paralelkenar ABCD olsun. Ve köşegenlerinin O noktasında kesişmesine izin verin.
Bir paralelkenarın karşıt kenarlarının özelliklerine ilişkin teoremde kanıtlanmış olandan Δ ABC = üç kenardaki Δ CDA (kanıtlanmış olandan AB=CD, BC=DA, AC – genel). Üçgenlerin eşitliğinden ∠ ABC = ∠ CDA sonucu çıkar.
∠ ABD = ∠ CDB'den çıkan ∠ DAB = ∠ BCD olduğu da kanıtlanmıştır. Teorem kanıtlandı.
Paralelkenarın köşegenlerinin özelliği
Paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür.
Kanıt.
Verilen paralelkenar ABCD olsun. AC köşegenini çizelim. Üzerinde ortadaki O'yu işaretleyelim. DO segmentinin devamında DO'ya eşit olan OB 1 segmentini bir kenara koyacağız.
Önceki teoreme göre AB 1 CD bir paralelkenardır. Bu nedenle AB 1 doğrusu DC'ye paraleldir. Ancak A noktasından DC'ye paralel yalnızca bir doğru çizilebilir. Bu, düz AB 1'in düz AB ile çakıştığı anlamına gelir.
Ayrıca BC 1'in BC ile çakıştığı da kanıtlanmıştır. Bu, C noktasının C1 ile çakıştığı anlamına gelir. ABCD paralelkenarı AB 1 CD paralelkenarı ile çakışıyor. Sonuç olarak, paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür. Teorem kanıtlandı.
Ders kitaplarında normal okullar(örneğin Pogorelov'da) şu şekilde kanıtlanmıştır: köşegenler paralelkenarı 4 üçgene böler. Bir çifti düşünelim ve eşit olduklarını öğrenelim: tabanları zıt taraflardır, ona bitişik karşılık gelen açılar, paralel çizgilerle dikey açılar gibi eşittir. Yani çapraz bölümler çiftler halinde eşittir. Tüm.
Hepsi bu?
Yukarıda, eğer varsa, kesişme noktasının köşegenleri ikiye böldüğü kanıtlanmıştır. Yukarıdaki mantık hiçbir şekilde onun varlığını kanıtlamaz. Yani, "paralelkenarın köşegenleri kesişir" teoreminin bir kısmı kanıtlanmamıştır.
İşin komik yanı bu kısmı kanıtlamanın çok daha zor olmasıdır. Bu arada, bu daha fazlasından kaynaklanıyor genel sonuç: Herhangi bir dışbükey dörtgenin kesişen köşegenleri olacaktır, ancak dışbükey olmayan herhangi bir dörtgen kesişmeyecektir.
Bir kenar ve iki bitişik açı boyunca üçgenlerin eşitliği (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti) ve diğerleri.
Thales, bir kenar boyunca iki üçgenin ve iki komşu açının eşitliği konusunda önemli bir teorem buldu pratik kullanım. Denizdeki bir geminin mesafesini belirlemek için Milet limanına bir uzaklık ölçer inşa edildi. Üç adet tahrikli A, B ve C çivisinden (AB = BC) ve CA'ya dik işaretli bir düz çizgi SC'den oluşuyordu. SK düz çizgisi üzerinde bir gemi göründüğünde, D, .B ve E noktaları aynı düz çizgi üzerinde olacak şekilde D noktasını bulduk. Çizimden de anlaşılacağı üzere yerdeki CD mesafesi gemiye olan istenilen mesafedir.
Sorular
- Bir karenin köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür mü?
- Paralelkenarın köşegenleri eşit midir?
- Paralelkenarın zıt açıları eşit midir?
- Paralelkenarın tanımını söyler misiniz?
- Paralelkenarın kaç işareti var?
- Eşkenar dörtgen paralelkenar olabilir mi?
Kullanılan kaynakların listesi
- Kuznetsov A.V., matematik öğretmeni (5-9. Sınıflar), Kiev
- “Birleşik Devlet Sınavı 2006. Matematik. Öğrencileri hazırlamak için eğitim ve öğretim materyalleri / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
- Mazur K. I. “M. I. Skanavi tarafından düzenlenen koleksiyonun matematikteki ana rekabet problemlerini çözme”
- L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometri, 7 – 9: eğitim kurumları için ders kitabı”
Ders üzerinde çalıştık
Kuznetsov A.V.
Poturnak S.A.
Evgeniy Petrov
Hakkında bir soru sorun çağdaş eğitim, bir fikri ifade edin veya acil bir sorunu çözün, şunları yapabilirsiniz: Eğitim forumu Yeni düşünce ve eylemden oluşan bir eğitim konseyinin uluslararası alanda toplandığı yer. Yarattıktan Blog, Yalnızca yetkin bir öğretmen olarak statünüzü geliştirmekle kalmayacak, aynı zamanda geleceğin okulunun gelişimine de önemli bir katkı sağlayacaksınız. Eğitim Liderleri Birliğiüst düzey uzmanlara kapıları açar ve onları dünyanın en iyi okullarını yaratma konusunda işbirliği yapmaya davet eder.
Tanım
Paralelkenar karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir.
Şekil 1 $A B C D, A B\|C D, B C\| paralelkenarını göstermektedir. Bir D$.
Paralelkenarın özellikleri
- Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir: $A B=C D, B C=A D$ (Şekil 1).
- Paralelkenarda karşılıklı açılar $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$'a eşittir (Şekil 1).
- Paralelkenarın kesişme noktasındaki köşegenleri $A O=O C, B O=O D$ olarak ikiye bölünür (Şekil 1).
- Paralelkenarın köşegeni onu iki eşit üçgene böler.
- Bir paralelkenarda, yükseklikler arasındaki açı dar açısına eşittir: $\angle K B H=\angle A$.
- Paralelkenarın bir kenarına bitişik açıların açıortayları birbirine diktir.
- Paralelkenarın karşılıklı iki açısının açıortayları paraleldir.
Bir kenara bitişik bir paralelkenarın açılarının toplamı 180$^(\circ)$'dır:
$$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle B+\angle C=180^(\circ)$$
$$\angle C+\angle D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$
Paralelkenarın köşegenleri ve kenarları aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:
$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$
Paralelkenarın işaretleri
$ABCD$ dörtgeni bir paralelkenardır, eğer
- $A B=C D$ ve $A B \| C D$
- $A B=C D$ ve $B C=A D$
- $A O=O C$ ve $B O=O D$
- $\angle A=\angle C$ ve $\angle B=\angle D$
Paralelkenarın alanı aşağıdaki formüllerden biri kullanılarak hesaplanabilir:
$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$
$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$
Problem çözme örnekleri
Örnek
Egzersiz yapmak. Paralelkenarın iki açısının toplamı 140$^(\circ)$'dır. Paralelkenarın en büyük açısını bulun.
Çözüm. Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir. Paralelkenarın büyük açısını $\alpha$, küçük açısını ise $\beta$ olarak gösterelim. $\alpha$ ve $\beta$ açılarının toplamı 180$^(\circ)$'dır, yani 140$^(\circ)$'a eşit belirli bir toplam, iki zıt açının toplamıdır, bu durumda $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Böylece daha küçük olan açı $\beta=70^(\circ)$ olur. Daha büyük olan $\alpha$ açısını ilişkiden buluyoruz:
$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$
$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$
Cevap.$\alpha=110^(\circ)$
Örnek
Egzersiz yapmak. Paralelkenarın kenarları 18 cm ve 15 cm olup, kısa kenara çizilen yükseklik 6 cm'dir. Paralelkenarın diğer yüksekliğini bulunuz.
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 2)
Koşula göre $a=15$ cm, $b=18$ cm, $h_(a)=6$ cm Bir paralelkenar için alanı bulmak için aşağıdaki formüller geçerlidir:
$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$
Bu eşitliklerin sağ taraflarını eşitleyelim ve elde edilen eşitlikten $h_(b) $'ı ifade edelim:
$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Rightarrow h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$
Sorunun ilk verilerini değiştirerek sonunda şunu elde ederiz:
$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \Rightarrow h_(b)=5$ (cm)