Tính chất các cạnh đối diện và các góc của hình bình hành. Hình bình hành. Hình bình hành là tứ giác có các góc đối bằng nhau

Sự định nghĩa

Hình bình hành là một tứ giác có các cạnh đối song song với nhau.

Định lý (dấu hiệu đầu tiên của hình bình hành)

Nếu hai cạnh của một tứ giác bằng nhau và song song thì tứ giác đó là hình bình hành.

Bằng chứng

Giả sử các cạnh \(AB\) và \(CD\) song song trong tứ giác \(ABCD\) và \(AB = CD\) .

Hãy vẽ một đường chéo \(AC\) chia tứ giác này thành hai hình tam giác bằng nhau: \(ABC\) và \(CDA\) . Các tam giác này có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng (\(AC\) là cạnh chung, \(AB = CD\) theo điều kiện, \(\angle 1 = \angle 2\) là các góc chéo tại giao điểm của các đường thẳng song song \ (AB\) và \(CD\) cát tuyến \(AC\) ), vì vậy \(\angle 3 = \angle 4\) . Nhưng các góc \(3\) và \(4\) nằm ngang tại giao điểm của đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bởi cát tuyến \(AC\), do đó, \(AD\song song BC \) . Do đó, trong tứ giác \(ABCD\) các cạnh đối song song với nhau và do đó tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Định lý (dấu hiệu thứ hai của hình bình hành)

Nếu trong một tứ giác có các cạnh đối bằng nhau thì tứ giác này là hình bình hành.

Bằng chứng

Hãy vẽ một đường chéo \(AC\) của tứ giác này \(ABCD\) chia nó thành các tam giác \(ABC\) và \(CDA\) .

Các tam giác này có ba cạnh bằng nhau (\(AC\) – chung, \(AB = CD\) và \(BC = DA\) theo điều kiện), do đó \(\angle 1 = \angle 2\) – nằm chéo tại \(AB\) và \(CD\) và cát tuyến \(AC\) . Theo sau đó \(AB\parallel CD\) . Vì \(AB = CD\) và \(AB\song song CD\) , nên theo tiêu chí thứ nhất của hình bình hành, tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Định lý (dấu hiệu thứ ba của hình bình hành)

Nếu các đường chéo của một tứ giác cắt nhau và chia đôi cho giao điểm thì tứ giác này là hình bình hành.

Bằng chứng

Xét một tứ giác \(ABCD\) trong đó các đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại điểm \(O\) và bị chia đôi bởi điểm này.


Các tam giác \(AOB\) và \(COD\) bằng nhau theo dấu bằng nhau đầu tiên của các tam giác (\(AO = OC\), \(BO = OD\) theo điều kiện, \(\angle AOB = \angle COD\) là các góc thẳng đứng), vì vậy \(AB = CD\) và \(\angle 1 = \angle 2\) . Từ sự bằng nhau của các góc \(1\) và \(2\) (nằm ngang tại \(AB\) và \(CD\) và cát tuyến \(AC\) ) suy ra \(AB\song song CD \) .

Vậy trong tứ giác \(ABCD\) các cạnh \(AB\) và \(CD\) bằng nhau và song song, nghĩa là theo tiêu chuẩn thứ nhất của hình bình hành thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành .

Tính chất của hình bình hành:

1. Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau.

2. Các đường chéo của hình bình hành được chia làm đôi bởi điểm giao nhau.

Tính chất đường phân giác của hình bình hành:

1. Đường phân giác của hình bình hành cắt một tam giác cân khỏi nó.

2. Các đường phân giác của các góc kề nhau của hình bình hành cắt nhau thành một góc vuông.

3. Các phân giác của các góc đối diện thì bằng nhau và song song.

Bằng chứng

1) Cho \(ABCD\) là hình bình hành, \(AE\) là phân giác của góc \(BAD\) .


Các góc \(1\) và \(2\) bằng nhau, nằm ngang với các đường thẳng song song \(AD\) và \(BC\) và cát tuyến \(AE\). Các góc \(1\) và \(3\) bằng nhau vì \(AE\) là đường phân giác. Sau cùng \(\góc 3 = \góc 1 = \góc 2\), có nghĩa là tam giác \(ABE\) là tam giác cân.

2) Cho \(ABCD\) là hình bình hành, \(AN\) và \(BM\) lần lượt là phân giác của các góc \(BAD\) và \(ABC\).


Vì tổng các góc một phía của các đường thẳng song song và một đường ngang bằng \(180^(\circ)\), nên \(\góc DAB + \góc ABC = 180^(\circ)\).

Vì \(AN\) và \(BM\) là các đường phân giác nên \(\góc BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), Ở đâu \(\góc AOB = 180^\circ - (\góc BAN + \góc ABM) = 90^\circ\).

3. Cho \(AN\) và \(CM\) là phân giác của các góc của hình bình hành \(ABCD\) .


Vì các góc đối diện trong hình bình hành bằng nhau nên \(\góc 2 = 0,5\cdot\góc BAD = 0,5\cdot\góc BCD = \góc 1\). Ngoài ra, các góc \(1\) và \(3\) bằng nhau, nằm chéo với các đường thẳng song song \(AD\) và \(BC\) và cát tuyến \(CM\) thì \(\angle 2 = \angle 3\) , ngụ ý rằng \(AN\parallel CM\) . Ngoài ra, \(AM\parallel CN\) , thì \(ANCM\) là hình bình hành, do đó \(AN = CM\) .

Trong phần này chúng ta xem xét hình bình hành đối tượng hình học. Tất cả các phần tử của hình bình hành đều được kế thừa từ một hình tứ giác nên chúng ta sẽ không xem xét chúng. Nhưng các tính chất và đặc điểm đáng được xem xét chi tiết. Chúng ta sẽ xem xét:

  • dấu hiệu khác với tài sản như thế nào?
  • Hãy cùng tìm hiểu những tính chất, đặc điểm cơ bản được học trong chương trình lớp 8;
  • Chúng ta hãy xây dựng hai tính chất bổ sung mà chúng ta thu được khi giải các bài toán hỗ trợ.

2.1 Định nghĩa hình bình hành

Để xác định chính xác các khái niệm trong hình học, bạn không chỉ cần ghi nhớ chúng mà còn phải hiểu cách chúng được hình thành. Trong vấn đề này, các lược đồ về các khái niệm chung sẽ giúp ích rất nhiều cho chúng ta. Hãy xem nó là gì.

Của chúng tôi mô-đun đào tạođược gọi là "Tứ giác" và tứ giác là khái niệm then chốt trong khóa học này. Ta có thể đưa ra định nghĩa về tứ giác như sau:

tứ giác-Cái này đa giác, có bốn cạnh và bốn đỉnh.

Trong định nghĩa này, khái niệm chung sẽ là đa giác. Bây giờ hãy xác định một đa giác:

Đa giác gọi là đóng đơn giản đường gãy cùng với phần mặt phẳng mà nó giới hạn.

Rõ ràng khái niệm chung ở đây là khái niệm đường đứt nét. Nếu đi xa hơn, chúng ta sẽ đến khái niệm đoạn thẳng, rồi đến khái niệm cuối cùng về điểm và đường thẳng. Theo cách tương tự, chúng ta có thể tiếp tục sơ đồ của mình:

Nếu chúng ta yêu cầu hai cạnh của một tứ giác song song còn hai cạnh thì không, thì chúng ta sẽ có một hình gọi là hình thang.

Hình thang – tứ giác, trong đó hai cạnh song song và hai cạnh kia không song song.

Và trong trường hợp tất cả các cạnh đối diện song song, chúng ta đang xử lý một hình bình hành.

Hình bình hành – tứ giác, có các cạnh đối diện song song.

2.2 Tính chất của hình bình hành

Tài sản 1. Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau.

Hãy chứng minh tính chất này.

Được cho: ABCD là hình bình hành.

Chứng minh:$\angle A = \angle C, \angle B = \angle D, AB = CD, AD = BC.$

Bằng chứng:

Khi chứng minh tính chất của bất kỳ đối tượng hình học nào, chúng ta luôn nhớ định nghĩa của nó. Vì thế, hình bình hành- Tứ giác có các cạnh đối song song. Điểm then chốtở đây sự song song của các cạnh xuất hiện.

Hãy xây dựng cát tuyến cho cả bốn dòng. Sec này sẽ là đường chéo BD.


Rõ ràng, chúng ta cần xét các góc tạo bởi các đường thẳng song song và ngang. Vì các đường thẳng song song nên các góc nằm trên chúng bằng nhau.

Bây giờ bạn có thể thấy hai hình tam giác bằng nhau theo dấu hiệu thứ hai.

Sự bằng nhau của các hình tam giác trực tiếp ngụ ý tính chất đầu tiên của hình bình hành.

Tài sản 2. Các đường chéo của hình bình hành được chia làm đôi bởi điểm giao nhau.


Được cho: A B C D- hình bình hành.

Chứng minh:$AO = OC, BO = OD.$

Bằng chứng:

Logic của chứng minh ở đây cũng giống như ở tính chất trước: sự song song của các cạnh và sự bằng nhau của các tam giác. Bước đầu tiên của việc chứng minh cũng giống như đối với tính chất thứ nhất.

Bước thứ hai là chứng minh sự bằng nhau của các tam giác theo tiêu chí thứ hai. Xin lưu ý rằng đẳng thức $BC=AD$ có thể được chấp nhận mà không cần chứng minh (sử dụng Bất động sản 1).

Từ đẳng thức này suy ra $AO = OC, BO = OD.$


2.3 Hỗ trợ bài toán số 4 (Tính chất góc giữa hai đường cao của hình bình hành)


Được cho: A B C D - hình bình hành, B.K. Và B.M. - chiều cao của nó, $\góc KBM = 60^0$.

Tìm thấy:$\góc ABK$, $\góc A$

Giải pháp: Khi bắt đầu giải quyết vấn đề này, bạn cần lưu ý những điều sau:

chiều cao của hình bình hành vuông góc với cả hai cạnh đối diện

Ví dụ: nếu một đoạn $BM$ được vẽ về phía $DC$ và có chiều cao của nó ($BM \perp DC$), thì đoạn đó sẽ là chiều cao ở phía đối diện ($BM \perp BA$). Điều này suy ra từ sự song song của các cạnh $AB \parallel DC$.


Khi giải được bài toán này thì tài sản mà chúng ta thu được là có giá trị.

Tài sản bổ sung. Góc giữa các đường cao của hình bình hành vẽ từ đỉnh của nó bằng góc ở đỉnh liền kề.

2.4 Bài toán hỗ trợ số 5 (Tính chất phân giác của hình bình hành)


Phân giác góc MỘT hình bình hành A B C D băng qua một bên BC tại điểm L, AD=12 cm, AB = 10 cm. Tìm độ dài của đoạn L.C..

Giải pháp:

  1. $\angle 1 = \angle 2$ (AK - phân giác);
  2. $\angle 2 = \angle 3$ (là các góc chéo với $AD \parallel BC$ và cát tuyến AL);
  3. $\angle 1 = \angle 3$, $\bigtriangleup ABL -$ cân.

Trong quá trình giải bài toán, ta thu được tính chất sau:

Tài sản bổ sung.Đường phân giác của một góc của hình bình hành cắt một tam giác cân khỏi nó.

Chủ đề bài học

  • Tính chất các đường chéo của hình bình hành.

Mục tiêu bài học

  • Làm quen với các định nghĩa mới và ghi nhớ một số định nghĩa đã được nghiên cứu.
  • Phát biểu và chứng minh tính chất đường chéo của hình bình hành.
  • Học cách áp dụng các tính chất của hình dạng khi giải bài toán.
  • Phát triển – phát triển sự chú ý, sự kiên trì, kiên trì của học sinh, suy nghĩ logic, lời nói toán học.
  • Giáo dục - thông qua bài học, rèn luyện thái độ quan tâm đến nhau, rèn luyện khả năng lắng nghe đồng đội, giúp đỡ lẫn nhau và tính độc lập.

Mục tiêu bài học

  • Kiểm tra kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh.

Kế hoạch bài học

  1. Giới thiệu.
  2. Lặp lại các tài liệu đã học trước đó.
  3. Hình bình hành, tính chất và tính năng của nó.
  4. Ví dụ về nhiệm vụ.
  5. Tự kiểm tra.

Giới thiệu

“Một khám phá khoa học quan trọng cung cấp giải pháp cho một vấn đề lớn, nhưng trong giải pháp của bất kỳ vấn đề nào đều có một chút khám phá.”

Tính chất các cạnh đối diện của hình bình hành

Hình bình hành có các cạnh đối diện bằng nhau.

Bằng chứng.

Cho ABCD là hình bình hành đã cho. Và để các đường chéo của nó cắt nhau tại điểm O.
Vì Δ AOB = Δ COD theo tiêu chuẩn thứ nhất về sự bằng nhau của các tam giác (∠ AOB = ∠ COD, theo chiều dọc, AO=OC, DO=OB, theo tính chất đường chéo của hình bình hành), nên AB=CD. Tương tự, từ đẳng thức của các tam giác BOC và DOA, suy ra BC = DA. Định lý đã được chứng minh.

Tính chất các góc đối diện của hình bình hành

Trong hình bình hành, các góc đối diện bằng nhau.

Bằng chứng.

Cho ABCD là hình bình hành đã cho. Và để các đường chéo của nó cắt nhau tại điểm O.
Từ điều đã được chứng minh trong định lý về tính chất các cạnh đối diện của hình bình hành Δ ABC = Δ CDA trên ba cạnh (AB=CD, BC=DA từ điều đã chứng minh, AC – tổng quát). Từ đẳng thức của các tam giác suy ra ∠ ABC = ∠ CDA.
Người ta cũng chứng minh được rằng ∠ DAB = ∠ BCD, suy ra từ ∠ ABD = ∠ CDB. Định lý đã được chứng minh.

Tính chất các đường chéo của hình bình hành

Các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại điểm giao nhau.

Bằng chứng.

Cho ABCD là hình bình hành đã cho. Hãy vẽ đường chéo AC. Hãy đánh dấu chữ O ở giữa trên đó. Khi tiếp tục đoạn DO, chúng ta sẽ đặt đoạn OB 1 bằng DO.
Theo định lý trước thì AB 1 CD là hình bình hành. Do đó, đường thẳng AB 1 song song với DC. Nhưng qua điểm A chỉ có thể vẽ được một đường thẳng song song với DC. Điều này có nghĩa là đường thẳng AB 1 trùng với đường thẳng AB.
Người ta cũng chứng minh BC 1 trùng với BC. Điều này có nghĩa là điểm C trùng với C 1. hình bình hành ABCD trùng với hình bình hành AB 1 CD. Do đó, các đường chéo của hình bình hành cắt nhau và chia đôi tại điểm giao nhau. Định lý đã được chứng minh.

Trong sách giáo khoa dành cho trường học bình thường(ví dụ, ở Pogorelov) người ta đã chứng minh như thế này: các đường chéo chia hình bình hành thành 4 hình tam giác. Chúng ta hãy xem xét một cặp và tìm ra - chúng bằng nhau: đáy của chúng là các cạnh đối diện, các góc tương ứng liền kề với nó bằng nhau, giống như các góc thẳng đứng với các đường thẳng song song. Nghĩa là, các đoạn của đường chéo bằng nhau theo cặp. Tất cả.

Đó là tất cả?
Ở trên đã chứng minh rằng giao điểm chia đôi các đường chéo - nếu nó tồn tại. Lý do trên không chứng minh được sự tồn tại của nó dưới bất kỳ hình thức nào. Nghĩa là, một phần của định lý “các đường chéo của hình bình hành cắt nhau” vẫn chưa được chứng minh.

Điều buồn cười là phần này khó chứng minh hơn nhiều. Nhân tiện, điều này tiếp theo từ nhiều hơn kết quả chung cuộc: mọi tứ giác lồi sẽ có các đường chéo cắt nhau, nhưng mọi tứ giác không lồi thì không.

Về sự bằng nhau của các tam giác dọc theo một cạnh và hai góc kề nhau (dấu hiệu thứ hai về sự bằng nhau của các tam giác) và các góc khác.

Thales tìm ra định lý quan trọng về sự bằng nhau của hai tam giác có một cạnh và hai góc kề nhau công dụng thực tế. Một máy đo khoảng cách được chế tạo ở cảng Miletus để xác định khoảng cách tới một con tàu trên biển. Nó bao gồm ba chốt định hướng A, B và C (AB = BC) và một đường thẳng SC được đánh dấu, vuông góc với CA. Khi một con tàu xuất hiện trên đường thẳng SK, ta tìm được điểm D sao cho các điểm D, .B và E cùng nằm trên một đường thẳng. Như đã thấy rõ trên bản vẽ, khoảng cách CD trên mặt đất là khoảng cách mong muốn tới con tàu.

Câu hỏi

  1. Các đường chéo của hình vuông có được chia đôi cho điểm giao nhau không?
  2. Các đường chéo của hình bình hành có bằng nhau không?
  3. Các góc đối diện của hình bình hành có bằng nhau không?
  4. Nêu định nghĩa hình bình hành?
  5. Hình bình hành có bao nhiêu dấu hiệu?
  6. Hình thoi có thể là hình bình hành không?

Danh sách các nguồn được sử dụng

  1. Kuznetsov A.V., giáo viên toán (lớp 5-9), Kyiv
  2. “Kỳ thi Thống nhất năm 2006. Toán. Tài liệu giáo dục và đào tạo để chuẩn bị cho sinh viên / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
  3. Mazur K. I. “Giải các bài toán cạnh tranh chính trong toán học của tuyển tập M. I. Skanavi”
  4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Hình học, 7 – 9: sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục”

Chúng tôi đã làm việc trên bài học

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Đặt một câu hỏi về giáo dục hiện đại, bày tỏ một ý tưởng hoặc giải quyết một vấn đề cấp bách, bạn có thể diễn đàn giáo dục, nơi hội đồng giáo dục với những suy nghĩ và hành động mới mẻ gặp gỡ trên phạm vi quốc tế. Đã tạo Blog, Bạn sẽ không chỉ nâng cao vị thế của mình như một giáo viên có năng lực mà còn đóng góp đáng kể vào sự phát triển của ngôi trường trong tương lai. Hiệp hội các nhà lãnh đạo giáo dục mở ra cánh cửa cho các chuyên gia hàng đầu và mời họ hợp tác để tạo ra những ngôi trường tốt nhất trên thế giới.

Môn học > Toán > Toán lớp 8

Sự định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

Hình 1 thể hiện hình bình hành $A B C D, A B\|C D, B C\| Một đô la D.

Tính chất của hình bình hành

  1. Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau: $A B=C D, B C=A D$ (Hình 1).
  2. Trong hình bình hành, các góc đối diện bằng $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ (Hình 1).
  3. Các đường chéo của hình bình hành tại giao điểm được chia đôi $A O=O C, B O=O D$ (Hình 1).
  4. Đường chéo của hình bình hành chia nó thành hai hình tam giác bằng nhau.

    5. Tổng các góc của hình bình hành kề với một cạnh là $180^(\circ)$:

    $$\góc A+\góc B=180^(\circ), \angle B+\góc C=180^(\circ)$$

    $$\góc C+\góc D=180^(\circ), \angle D+\góc A=180^(\circ)$$

    Các đường chéo và các cạnh của hình bình hành có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ sau:

    $$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

  5. Trong hình bình hành, góc giữa hai đường cao bằng góc nhọn của nó: $\angle K B H=\angle A$.
  6. Các đường phân giác của các góc kề với một cạnh của hình bình hành thì vuông góc với nhau.
  7. Các đường phân giác của hai góc đối diện của hình bình hành thì song song.

Dấu hiệu của hình bình hành

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu

  1. $A B=C D$ và $A B \| C D$
  2. $A B=C D$ và $B C=A D$
  3. $A O=O C$ và $B O=O D$
  4. $\góc A=\góc C$ và $\góc B=\góc D$

Diện tích của hình bình hành có thể được tính bằng một trong các công thức sau:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Ví dụ

Bài tập. Tổng hai góc của một hình bình hành là $140^(\circ)$. Tìm góc lớn nhất của hình bình hành.

Giải pháp. Trong hình bình hành, các góc đối diện bằng nhau. Hãy biểu thị góc lớn hơn của hình bình hành là $\alpha$ và góc nhỏ hơn là $\beta$. Tổng các góc $\alpha$ và $\beta$ là $180^(\circ)$, do đó, tổng đã cho bằng $140^(\circ)$ là tổng của hai góc đối diện, khi đó $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Do đó góc nhỏ hơn là $\beta=70^(\circ)$. Chúng tôi tìm thấy góc lớn hơn $\alpha$ từ mối quan hệ:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Trả lời.$\alpha=110^(\circ)$

Ví dụ

Bài tập. Các cạnh của hình bình hành là 18 cm và 15 cm, và chiều cao vẽ theo cạnh ngắn hơn là 6 cm.

Giải pháp. Hãy vẽ một bản vẽ (Hình 2)

Theo điều kiện, $a=15$ cm, $b=18$ cm, $h_(a)=6$ cm, Đối với hình bình hành, các công thức sau đây hợp lệ để tính diện tích:

$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$

Chúng ta hãy đánh đồng các vế phải của các đẳng thức này và biểu thị, từ đẳng thức thu được, $h_(b) $:

$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Rightarrow h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$

Thay thế dữ liệu ban đầu của bài toán, cuối cùng chúng ta nhận được:

$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \Rightarrow h_(b)=5$ (cm)